Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int 5^{x}dx=F(x)+C$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $5^x$, tức $F^{\prime }(x)=5^x$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 405, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos 3x\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\sin 3x+C$ vì ${\left(\frac{\sin 3x}{3}\right)}^{\prime }=\cos 3x$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã đề 405 (Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (A, mã đề 405).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Đáp án trùng với bảng đáp án đề 404 (Câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos 3xdx=\frac{\sin 3x}{3}+C$ vì ${\left(\frac{\sin 3x}{3}\right)}^{\prime }=\cos 3x$. Đáp án trùng với mã đề 404, câu 12 là B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát: $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$.

a) Với $F(3)=15$: $\frac{27}{2}+3-2\ln 3+C=15\Rightarrow C=\frac{15}{2}+2\ln 3$, nên $F(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+\frac{15}{2}+2\ln 3\ne \frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+15$. Sai.

b) Vì $G$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ nên hằng số có thể khác nhau trên hai khoảng $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_1$ với $x>0$, $G(x)=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C_2$ với $x<0$.
Trên $(0;+\infty )$: $G(2)=8-2\ln 2+C_1=1\Rightarrow C_1=-7+2\ln 2$, suy ra $G(5)=\frac{71}{2}+2\ln 2-2\ln 5$.
Trên $(-\infty ;0)$: $G(-5)=\frac{65}{2}-2\ln 5+C_2$. Từ $G(5)+G(-5)=10$: $68+2\ln 2-4\ln 5+C_2=10\Rightarrow C_2=-58-2\ln 2+4\ln 5$.
Khi đó $G(-10)=150-10-2\ln 10+C_2=82-4\ln 2+2\ln 5$, tức $a=-4,b=2,c=82$, nên $a+b+c=80$. Đúng.

c) ${\int }_1^{2}f(x)dx=\left(\frac{3\cdot 4}{2}+2-2\ln 2\right)-\left(\frac{3}{2}+1\right)=8-2\ln 2-\frac{5}{2}=\frac{11}{2}-2\ln 2$. Đúng.

d) $\int f(x)dx=\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$, không phải $3+x-2\ln |x|+C$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(3)=15$ suy ra $C=\frac{15}{2}+2\ln 3$, không phải $C=15$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Do nguyên hàm có hằng số khác nhau trên $(0;+\infty )$ và $(-\infty ;0)$: $C_1=-7+2\ln 2$, $C_2=-58-2\ln 2+4\ln 5$, suy ra $G(-10)=82-4\ln 2+2\ln 5$, nên $a+b+c=-4+2+82=80$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_1^{2}f(x)dx=\frac{11}{2}-2\ln 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{3x^2}{2}+x-2\ln |x|+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\int 5^{x}dx=F(x)+C$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $5^x$, do đó $F^{\prime }(x)=5^x$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 404 (Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. b) Sai: nếu $F(x)=\frac{1}{x}$ thì $F^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$, không phải $\ln |x|$ (thực tế $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$, tức $\ln |x|$ là nguyên hàm của $\frac{1}{x}$, không phải ngược lại). c) Đúng: họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ là $\int f(x)dx=F(x)+C$. d) Đúng: $F(x)=\int (2x+1)dx=x^2+x+C$; với $F(0)=5\Rightarrow C=5$, suy ra $F(x)=x^2+x+5$. Kết quả khớp đáp án nguồn: A-Đ; B-S; C-Đ; D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F^{\prime }(x)=f(x),\forall x\in \mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nếu $F(x)=\frac{1}{x}$ thì $F^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}\ne \ln |x|$. (Ngược lại, $\ln |x|$ là nguyên hàm của $\frac{1}{x}$.)
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $\int f(x)dx=F(x)+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+C$, $F(0)=5\Rightarrow C=5$, nên $F(x)=x^2+x+5$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2\cos x+3)\mathrm{d}x=2\sin x+3x+C$ vì $\int \cos x\mathrm{d}x=\sin x$ và $\int 3\mathrm{d}x=3x$. Đạo hàm của $2\sin x+3x+C$ là $2\cos x+3=f(x)$, đúng. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 222 (Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Đáp án trùng với bảng đáp án (Câu 8: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (x+3)dx=\frac{x^2}{2}+3x+C$. Kiểm tra từng đáp án bằng cách đạo hàm: A: $F^{\prime }(x)=x+3$ (là nguyên hàm); B: $F^{\prime }(x)=x+3$ (là nguyên hàm); C: $F^{\prime }(x)=2x+3\ne x+3$ (không là nguyên hàm); D: $F^{\prime }(x)=x+3$ (là nguyên hàm). Vậy hàm không là nguyên hàm của $f(x)=x+3$ là $F(x)=x^2+3x$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án.

a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $F(x)=e^{3x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=3e^{3x}$, do đó $\int \left[f(x)+\frac{1}{x}\right]dx=e^{3x}+\ln |x|+C$ với $x\ne 0$. b) Đúng: $F(x)=x^2-e^x+C$, $F(0)=-1+C=2\Rightarrow C=3$, nên $F(1)=1-e+3=4-e$. c) Sai: $\int \sin xdx=-\cos x+C$, không phải $\cos x+C$. d) Đúng: theo định nghĩa nguyên hàm, $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: DDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)=e^{3x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $\int f(x)dx=e^{3x}+C$, cộng thêm $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ (với $x\ne 0$) được $e^{3x}+\ln |x|+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=\int (2x-e^x)dx=x^2-e^x+C$; $F(0)=-1+C=2\Rightarrow C=3$; $F(1)=1-e+3=4-e$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \sin xdx=-\cos x+C$ vì $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$; còn $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm, $f(x)$ là một nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$, nên $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=6x^2-5$ là $F(x)=2x^3-5x+d$. Với $F(0)=-2$ thì $d=-2$. Vậy $a=2,b=3,c=-5,d=-2$, nên $a+b+c+d=2+3-5-2=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-2).

Câu 1: a) Tìm $\int \left(\sin x-5^x\right)dx$.

$\int \left(\sin x-5^x\right)dx=-\cos x-\frac{5^x}{\ln 5}+C$ (0,25 + 0,25 điểm)

b) Tính $\underset{-5}{\overset{-1}{\int }}\frac{3}{x}dx$.

$\underset{-5}{\overset{-1}{\int }}\frac{3}{x}dx=3\ln |x|{|}_{-5}^{-1}=-3\ln 5$ (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên tập $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó khẳng định đúng là B. Các phương án khác sai vì: A sai vì $\int F(x)dx$ là nguyên hàm của $F(x)$, không phải $f(x)+C$; C sai vì $\int f(x)dx=F(x)+C$ (thiếu hằng số $C$); D sai vì quan hệ đúng là $F^{\prime }(x)=f(x)$ chứ không phải $f^{\prime }(x)=F(x)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (B) và bảng đáp án mã đề 1002, câu 2: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có công thức nguyên hàm: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$. Áp dụng với $a=7$: $\int 7^{x}dx=\frac{7^x}{\ln 7}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{7^x}{\ln 7}\right)}^{\prime }=\frac{7^x\ln 7}{\ln 7}=7^x=f(x)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án in đậm trong đề và bảng đáp án mã đề 1002 (Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$ với mọi $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\tan x+C$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân của tích hai hàm số không bằng tích hai tích phân. Ví dụ với $f(x)=g(x)=x$: $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$, còn $\int xdx\cdot \int xdx=\left(\frac{x^2}{2}+C_1\right)\left(\frac{x^2}{2}+C_2\right)$, hai biểu thức khác nhau. Các tính chất tuyến tính của tích phân (A, B, C) đều đúng. Vậy mệnh đề sai là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: D).