Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tích phân bất định có tính chất tuyến tính: hiệu, tổng và nhân với hằng số đều đúng (A, B, C đúng). Mệnh đề D sai vì tích phân không có tính chất $\int f(x)g(x)dx=f(x)\int g(x)dx$; tích hai hàm phải tính bằng tích phân từng phần hoặc đổi biến. Phản ví dụ: $f(x)=g(x)=x$ thì $\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$ còn $f(x)\int g(x)dx=x\cdot \frac{x^2}{2}=\frac{x^3}{2}$, khác nhau. Khớp đáp án nguồn: D (Mã đề 1001, Câu 10).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $\int \cos xdx=\sin x+C$ (đạo hàm của $-\sin x$ là $-\cos x$). b) Đúng: $F(x)=e^{2x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=2e^{2x}$, do đó $\int \left[f(x)-\frac{1}{x}\right]dx=e^{2x}-\ln |x|+C$ với $x\ne 0$. c) Đúng theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$. d) Sai: $F(x)=e^x-x^2+C$; từ $F(0)=-2$ suy ra $1+C=-2\Rightarrow C=-3$, nên $F(1)=e-1-3=e-4\ne e-1$. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: SDDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Sai vì $\int \cos xdx=\sin x+C$, không phải $-\sin x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: $F(x)=e^{2x}\Rightarrow f(x)=F^{\prime }(x)=2e^{2x}$, nên $\int \left[f(x)-\frac{1}{x}\right]dx=e^{2x}-\ln |x|+C$ với $x\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng: theo định nghĩa, $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sai: $F(x)=e^x-x^2+C$, $F(0)=-2\Rightarrow C=-3$, nên $F(1)=e-4\ne e-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=8x^3-3$ là $F(x)=2x^4-3x+C$. Điều kiện $F(0)=-5$ cho $C=-5$, nên $F(x)=2x^4-3x-5$ với $a=2,b=4,c=-3,d=-5$. Vậy $a+b+c+d=2+4-3-5=-2$, khớp với đáp án nguồn.

Câu 1: a) Tìm $\int \left(\cos x-3^x\right)dx$.

$\int \left(\cos x-3^x\right)dx=\sin x-\frac{3^x}{\ln 3}+C$ (0,25 + 0,25 điểm)

b) Tính $\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\frac{2}{x}dx$.

$\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\frac{2}{x}dx=2\ln |x|{|}_{-3}^{-1}=-2\ln 3$ (0,25 + 0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên tập $K$ nghĩa là $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó khẳng định đúng là B. Các phương án khác sai vì: $\int F(x)dx\ne f(x)+C$ (A), $\int f(x)dx=F(x)+C$ chứ không phải $F(x)$ thiếu hằng số (C), và $f^{\prime }(x)=F(x)$ không đúng theo định nghĩa nguyên hàm (D). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, mã đề 1001: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có công thức nguyên hàm: $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$ với $a>0,a\ne 1$. Áp dụng với $a=5$: $\int 5^{x}dx=\frac{5^x}{\ln 5}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{5^x}{\ln 5}\right)}^{\prime }=\frac{5^x\ln 5}{\ln 5}=5^x=f(x)$, đúng. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$, do đó $\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\cot x+C$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$ vì ${\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2\cos 2x=\cos 2x=f(x)$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (đề 0002, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \cos 2xdx=\frac{1}{2}\sin 2x+C$ vì ${\left(\frac{1}{2}\sin 2x\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2\cos 2x=\cos 2x$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (đề 0001, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int f(x)dx=x^2+3x+C$.
a) ${\int }_0^{2}f(x)dx=(x^2+3x){|}_0^2=10$; ${\int }_5^{2}f(x)dx=(x^2+3x){|}_5^2=10-40=-30$; ${\int }_{-1}^{0}f(x)dx=0-(1-3)=2$. Tổng: $10-(-30)+2=42$ → đúng.
b) $F(1)=4+C=2\Rightarrow C=-2\Rightarrow F(x)=x^2+3x-2\ne x^2+3x+2$ → sai.
c) $V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\pi {\int }_1^3(x^4+6x^3+5x^2-12x+4)dx$. Nguyên hàm: $\frac{x^5}{5}+\frac{3x^4}{2}+\frac{5x^3}{3}-6x^2+4x$. Tại $x=3$: $\frac{243}{5}+\frac{243}{2}+45-54+12=\frac{1731}{10}$; tại $x=1$: $\frac{1}{5}+\frac{3}{2}+\frac{5}{3}-2=\frac{41}{30}$. Hiệu: $\frac{1731}{10}-\frac{41}{30}=\frac{2576}{15}$, nên $V=\frac{2576\pi }{15}$ → đúng.
d) $f(x)=0\iff x=-\frac{3}{2}$. Diện tích $={\int }_{-2}^{-3/2}-(2x+3)dx+{\int }_{-3/2}^1(2x+3)dx=\frac{1}{4}+\frac{25}{4}=\frac{13}{2}=6,5\ne 6$ → sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (2a Đ, 2b S, 2c Đ, 2d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các tích phân bằng $10+30+2=42$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $F(1)=2$ thì $C=-2$, nên $F(x)=x^2+3x-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_1^3(x^2+3x-2{)}^{2}dx=\frac{2576\pi }{15}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích thực tế là $\frac{13}{2}=6,5$, không phải 6.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{e^{2x+3}}{2}+C$. Với $F(-1)=\frac{e^1}{2}+C=\frac{e}{2}$ suy ra $C=0$, do đó $F(x)=\frac{e^{2x+3}}{2}$. Khi đó $F(1)=\frac{e^5}{2}$ nên $2F(1)=e^5$, và ${\ln }^3\left[2F(1)\right]=(\ln e^5{)}^3=5^3=125$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (125).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\left(e^x\right)}^2=e^{2x}$. Nguyên hàm: $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$ (vì ${\left(\frac{1}{2}{e}^{2x}\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot 2e^{2x}=e^{2x}$). Vậy họ các nguyên hàm là $\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f(x)=2x+1$ là $F(x)=x^2+x+C$. Với $F(1)=1$: $1+1+C=1\Rightarrow C=-1$, nên $F(x)=x^2+x-1$. Suy ra $F(-1)=1-1-1=-1$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (3\cos x-4\sin x)dx=3\int \cos xdx-4\int \sin xdx=3\sin x+4\cos x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(3\sin x+4\cos x+C{)}^{\prime }=3\cos x-4\sin x=f(x)$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 122, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)={\left(e^x\right)}^2=e^{2x}$. Do đó $\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$ là $\frac{1}{2}\cdot 2e^{2x}=e^{2x}=f(x)$, đúng. Vậy họ các nguyên hàm là $\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$, khớp với đáp án đã cho (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3\cos xdx=3\sin x+C$ và $\int (-4\sin x)dx=4\cos x+C$. Vậy một nguyên hàm của $f(x)=3\cos x-4\sin x$ là $F(x)=3\sin x+4\cos x+C$. Kiểm tra: $F^{\prime }(x)=3\cos x-4\sin x=f(x)$. Đáp án khớp với key nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{e^{3x+1}}{3}+C$. Với $F(0)=\frac{e}{3}$ ta được $\frac{e}{3}+C=\frac{e}{3}\Rightarrow C=0$, nên $F(x)=\frac{e^{3x+1}}{3}$. Suy ra $F(1)=\frac{e^4}{3}$, do đó $3F(1)=e^4$ và ${\ln }^3\left[3F(1)\right]=(\ln e^4{)}^3=4^3=64$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (64).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=x^2+x+C$. Với $F(1)=1+1+C=1$ suy ra $C=-1$, nên $F(x)=x^2+x-1$. Do đó $F(-1)=1-1-1=-1$. Khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int x^{3}dx=\frac{x^4}{4}+C$. Các hàm $\frac{x^4}{4}-1$, $\frac{x^4}{4}$, $\frac{x^4}{4}+1$ đều có đạo hàm bằng $x^3$, nên là nguyên hàm của $f(x)=x^3$. Riêng $F(x)=3x^2$ có $F^{\prime }(x)=6x\ne x^3$, nên không phải là nguyên hàm của $f(x)=x^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2463, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3\cos xdx=3\sin x+C$ và $\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}+C$ (với $x>0$). Vậy $\int f(x)dx=3\sin x-\frac{1}{x}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(3\sin x-\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=3\cos x+\frac{1}{x^2}=f(x)$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (D).