Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề về tính chất của nguyên hàm. A và C đúng do tính tuyến tính: nguyên hàm của tổng (hiệu) hai hàm liên tục bằng tổng (hiệu) các nguyên hàm. B đúng vì $\int dx=x+C$. Xét D: với $k=0$, vế trái $\int 0dx=C$ là một họ nguyên hàm với hằng số tùy ý, còn vế phải $0\cdot \int f(x)dx=0$ chỉ là một hàm cụ thể, không còn dạng họ nguyên hàm. Do đó mệnh đề D phát biểu 'với mọi hằng số $k$' là sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn của mã đề 2463: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2-5\sin x$, nên $f(x)=\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=2x+5\cos x+C$. Vì $f(0)=10$ nên $0+5+C=10\Rightarrow C=5$, do đó $f(x)=2x+5\cos x+5$.
a) Đúng: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int (2-5\sin x)\mathrm{d}x=2x+5\cos x+C$.
b) Sai: ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }(2x+5\cos x+5)\mathrm{d}x={\left[x^2+5\sin x+5x\right]}_0^{\pi }={\pi }^2+5\pi \approx 25,56\ne 5$.
c) Sai: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$ (họ nguyên hàm), không đẳng thức với $f(x)$ cụ thể.
d) Đúng: từ $f(0)=10$ suy ra $C=5$, nên $f(x)=2x+5\cos x+5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2-5\sin x)\mathrm{d}x=2x+5\cos x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi }(2x+5\cos x+5)\mathrm{d}x={\pi }^2+5\pi \approx 25,56\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$, là họ nguyên hàm chứ không bằng $f(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2x+5\cos x+C$ và $f(0)=10\Rightarrow C=5$, nên $f(x)=2x+5\cos x+5$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\int (2x+e^x)dx=x^2+e^x+C$. Với $F(0)=1+C=2024$ suy ra $C=2023$. Do đó $F(1)=1+e+2023=2024+e\approx 2026,72$, làm tròn đến hàng đơn vị là $2027$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int -x^{3}dx=-\frac{x^4}{4}+C$, nên mọi hàm dạng $-\frac{x^4}{4}+C$ (các phương án A, B, C) đều là nguyên hàm của $f(x)=-x^3$. Với phương án D: $F(x)=-3x^2$ thì $F^{\prime }(x)=-6x\ne -x^3$, nên $F(x)=-3x^2$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$. Đáp án trùng với mã đề 1458, câu 10: D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=2-5\cos x$. a) Sai: nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ là $f(x)+C$, thiếu hằng số $C$. b) Đúng: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int (2-5\cos x)\mathrm{d}x=2x-5\sin x+C$. c) Sai: từ b), $f(x)=2x-5\sin x+C$; với $f(0)=9$ suy ra $C=9$, vậy $f(x)=2x-5\sin x+9$, không phải $2x+5\sin x+5$. d) Sai: ${\int }_0^{\pi }f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi }(2x-5\sin x+9)\mathrm{d}x={\left[x^2+5\cos x+9x\right]}_0^{\pi }={\pi }^2-5-5+9\pi ={\pi }^2+9\pi -10\approx 28,14\ne 5$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f^{\prime }(x)$ là $f(x)+C$, phát biểu thiếu hằng số $C$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int (2-5\cos x)\mathrm{d}x=2x-5\sin x+C$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=2x-5\sin x+C$ và $f(0)=9\Rightarrow C=9$, nên $f(x)=2x-5\sin x+9\ne 2x+5\sin x+5$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{\pi }(2x-5\sin x+9)\mathrm{d}x={\pi }^2+9\pi -10\approx 28,14\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=x^2+e^x+C$. Vì $F(0)=1+C=2024$ nên $C=2023$. Do đó $F(-1)=1+e^{-1}+2023=2024+e^{-1}\approx 2024,368\approx 2024$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 3\cos xdx=3\sin x+C$ và $\int -\frac{1}{x^2}dx=\frac{1}{x}+C$ (vì ${\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$). Vậy $\int f(x)dx=3\sin x+\frac{1}{x}+C$, khớp với đáp án A (đáp án nguồn cho mã đề 1458, câu 3 là A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề về tính chất nguyên hàm: A và D đúng theo tính chất tuyến tính của tích phân bất định (tích phân của tổng/hiệu bằng tổng/hiệu các tích phân). B đúng vì $\int dx=x+C$. Mệnh đề C phát biểu $\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k$ là sai, vì với $k=0$: vế trái $\int 0dx=C$ (họ nguyên hàm với hằng số tùy ý), còn vế phải $0\cdot \int f(x)dx=0$ (không còn hằng số tùy ý), hai vế không tương đương. Tính chất này chỉ đúng khi $k\ne 0$. Vậy mệnh đề sai là C, khớp với đáp án mã đề 1458 (trang 14, cột câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, nên họ tất cả nguyên hàm của $f(x)=\cos x$ là $\int \cos xdx=\sin x+C$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề (Mã đề 102, Câu 12: B).

Đề: Câu 1. Tính nguyên hàm $$\int (2+\cos x)dx.$$ Ý 1: $$\int (2+\cos x)dx=\int 2dx+\int \cos xdx.$$ (0,25 điểm) Ý 2: $$\int 2dx=2x$$ (0,25 điểm) Ý 3: $$\int \cos xdx=\sin x$$ (0,25 điểm) Ý 4: $$\int (2+\cos x)dx=\int 2dx+\int \cos xdx=2x+\sin x+C$$ (0,25 điểm). Tổng điểm/câu: 1.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân bất định: $\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$ với mọi $f,g$ liên tục trên khoảng $K$. Do đó mệnh đề A đúng; B, D sai dấu/tính chất; C sai vì tích hai tích phân không bằng tích phân của tích. Đáp án A trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó mệnh đề đúng là C. Đáp án này cũng khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$, nên họ tất cả nguyên hàm của $f(x)=\cos x$ là $\int \cos xdx=\sin x+C$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án của đề (Mã đề 101, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Do đó mệnh đề đúng là D. Các phương án A, B sai vì đảo vai trò $f$ và $F$; phương án C sai vì đạo hàm của nguyên hàm bằng đúng $f(x)$, không cộng thêm hằng số $C$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 11, Mã đề 101: D).

Đề: Câu 1. Tính nguyên hàm $$\int (2+\cos x)dx.$$ Ý 1: $$\int (2+\cos x)dx=\int 2dx+\int \cos xdx.$$ (0,25 điểm) Ý 2: $$\int 2dx=2x$$ (0,25 điểm) Ý 3: $$\int \cos xdx=\sin x$$ (0,25 điểm) Ý 4: $$\int (2+\cos x)dx=\int 2dx+\int \cos xdx=2x+\sin x+C$$ (0,25 điểm). Tổng điểm/câu: 1.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất tuyến tính của tích phân bất định: $\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$. Do đó mệnh đề đúng là A, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì $\int 0dx=C$. B đúng vì $\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C$. C sai vì $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$ (thiếu giá trị tuyệt đối). D đúng vì $\int e^{x}dx=e^x+C$. Vậy khẳng định sai là C, trùng đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 1: C).

Ta có: $F(x)=\int f(x)dx=\int (4x^3+1)dx=x^4+x+C$. Theo giả thiết $F(0)=1$ nên $C=1\Rightarrow F(1)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(e^x+1{)}^2=e^{2x}+2e^x+1$. Do đó $\int f(x)dx=\int e^{2x}dx+2\int e^{x}dx+\int dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2e^x+x+C$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, Câu 2 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (\sin x+\cos x)dx=-\cos x+\sin x+C$. Với $F(0)=-1+C=2\Rightarrow C=3$, nên $F(x)=-\cos x+\sin x+3$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}+3=0+1+3=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn C.