Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Tính nguyên hàm từng thành phần: $\int 7x^{6}dx=x^7$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|$; $\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-\frac{1}{x}$; $\int (-2)dx=-2x$. Vậy $\int f(x)dx=x^7+\ln |x|-\frac{1}{x}-2x+C$. Khớp với đáp án A (đáp án nguồn: Mã đề 102, câu 9 = A). Loại B vì dấu của $\frac{1}{x}$ sai; loại C vì thiếu giá trị tuyệt đối trong $\ln$; loại D vì thiếu hằng số $C$.

Ta có: $F(x)=\int f(x)dx=\int (4x^3+1)dx=x^4+x+C$. Theo giả thiết $F(0)=1$ nên $C=1\Rightarrow F(1)=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì $\int 0\mathrm{d}x=C$. B đúng vì ${\left(\frac{x^5}{5}\right)}^{\prime }=x^4$. C sai vì $\int \frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln |x|+C$; chỉ khi $x>0$ mới viết $\ln x+C$, dạng tổng quát phải có giá trị tuyệt đối. D đúng vì $({\mathrm{e}}^x{)}^{\prime }={\mathrm{e}}^x$. Vậy khẳng định sai là C, trùng đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F(x)=\int (\sin x+\cos x)dx=-\cos x+\sin x+C$. Với $F(0)=2$: $-\cos 0+\sin 0+C=-1+C=2\Rightarrow C=3$. Vậy $F(x)=-\cos x+\sin x+3$ và $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+\sin \frac{\pi }{2}+3=0+1+3=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng phần: $\int 7x^{6}dx=x^7+C$; $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$; $\int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=-x^{-1}+C=-\frac{1}{x}+C$; $\int (-2)dx=-2x+C$. Vậy họ nguyên hàm là $x^7+\ln |x|-\frac{1}{x}-2x+C$. Khớp với đáp án C (đáp án nguồn cũng là C). Loại A vì thiếu giá trị tuyệt đối trong $\ln$; loại B vì dấu của $\frac{1}{x}$ sai; loại D vì thiếu hằng số $+C$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=(e^x+1{)}^2=e^{2x}+2e^x+1$. Do đó $\int f(x)dx=\int e^{2x}dx+2\int e^{x}dx+\int dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2e^x+x+C$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \frac{dx}{2x+1}=\frac{1}{2}\ln |2x+1|+C$ vì ${\left(\frac{1}{2}\ln |2x+1|\right)}^{\prime }=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{2x+1}=\frac{1}{2x+1}$. Vậy đáp án A. Lưu ý D sai vì thiếu giá trị tuyệt đối (nguyên hàm phải xác định trên cả $2x+1<0$).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \left(-x^2-x-3\right)dx=-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-3x+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-3x\right)}^{\prime }=-x^2-x-3$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng phát biểu về nguyên hàm của $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$:
- Phát biểu 1: SAI. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ thì $F(x)+C$ cũng là nguyên hàm, nên $f(x)$ có vô số nguyên hàm.
- Phát biểu 2: ĐÚNG. Theo định nghĩa, $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ khi và chỉ khi $F^{\prime }(x)=f(x)$.
- Phát biểu 3: ĐÚNG. Tính chất tuyến tính: $\int a\cdot f(x)dx=a\int f(x)dx$ với $a\ne 0$.
- Phát biểu 4: SAI. Ta có $\int (a+f(x))dx=\int adx+\int f(x)dx=ax+\int f(x)dx$, chứ không phải $a+\int f(x)dx$ (nguyên hàm của hằng số $a$ là $ax$, không phải $a$).
Vậy chỉ có 2 phát biểu đúng (phát biểu 2 và 3), chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $f(x)=F^{\prime }(x)$. Ta có $F^{\prime }(x)=3x^2+e^x$. Vậy $f(x)=3x^2+e^x$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=e^{2x}+2$.
a) $\int f^{\prime }(x)dx=\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$, không phải $2e^{2x}+2x+C$ → Sai.
b) $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$; với $f(0)=1$ thì $\frac{1}{2}+C=1\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+\frac{1}{2}$, không phải $+2$ → Sai.
c) ${\int }_0^{2}f(x)dx={\left[\frac{1}{4}{e}^{2x}+x^2+\frac{1}{2}x\right]}_0^2=\frac{1}{4}{e}^4+4+1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{19}{4}\ne \frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$ → Sai.
d) Hiệu hai hàm: $(e^{2x}+2)-(x^2+e^{2x}+1)=1-x^2$. Diện tích $S={\int }_0^2|1-x^2|dx={\int }_0^1(1-x^2)dx+{\int }_1^2(x^2-1)dx=\frac{2}{3}+\frac{2}{3}=\frac{4}{3}\ne \frac{2}{3}$ → Sai. Cả bốn ý đều Sai, khớp đáp án mã 102 (SSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm $\int (e^{2x}+2)dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+C$, không phải $2e^{2x}+2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Với $f(0)=1$ ta được $C=\frac{1}{2}$, nên $f(x)=\frac{1}{2}{e}^{2x}+2x+\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
${\int }_0^{2}f(x)dx=\frac{1}{4}{e}^4+\frac{19}{4}$, khác $\frac{1}{4}{e}^2+\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^2|1-x^2|dx=\frac{4}{3}$, không phải $\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã 102 (Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $\int f(x)dx=F(x)+C$ và do đó ${\left[\int f(x)dx\right]}^{\prime }=(F(x)+C{)}^{\prime }=f(x)$. Khẳng định C đúng. A sai vì $\int f^{\prime }(x)dx=f(x)+C$; B sai vì đạo hàm của nguyên hàm bằng $f(x)$ chứ không phải $F(x)$; D sai vì $\int f(x)dx=F(x)+C$ chứ không phải $F^{\prime }(x)=f(x)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đồ thị cắt khi $x^2+1=2x\iff (x-1{)}^2=0\iff x=1$. Trên $[0;1]$ (cùng với trục $Oy$ tại $x=0$), ta có $f(x)\ge g(x)$ vì $f(x)-g(x)=(x-1{)}^2\ge 0$.

a) $\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C$ nên họ nguyên hàm $F(x)=\frac{x^3}{3}+x+C$ — ĐÚNG.

b) Diện tích $H={\int }_0^1[(x^2+1)-2x]dx={\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx={\frac{(x-1{)}^3}{3}|}_0^1=\frac{1}{3}\ne 3$ — SAI.

c) Họ nguyên hàm của $g(x)=2x$ là $G(x)=x^2+C$; thiếu hằng số $C$ nên $G(x)=x^2$ không phải họ nguyên hàm — SAI.

d) Thể tích khối tròn xoay khi quay $H$ quanh $Ox$: $V=\pi {\int }_0^1[(x^2+1{)}^2-(2x{)}^2]dx=\pi {\int }_0^1(x^4-2x^2+1)dx=\pi \left(\frac{1}{5}-\frac{2}{3}+1\right)=\frac{8\pi }{15}$ — ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (x^2+1)dx=\frac{x^3}{3}+x+C$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích $H={\int }_0^1(x-1{)}^{2}dx=\frac{1}{3}$, không bằng 3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $G(x)=x^2+C$, thiếu hằng số $C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^1[(x^2+1{)}^2-4x^2]dx=\frac{8\pi }{15}$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sin xdx=-\cos x+C_1$ và $\int 4x^{3}dx=x^4+C_2$. Vậy $\int (\sin x+4x^3)dx=-\cos x+x^4+C$. Đáp án B.

Theo định nghĩa nguyên hàm thì ta có $F^{\prime }(x)=f(x)$.
Chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $\int 5^x\mathrm{d}x=F(x)+C$ thì $F(x)$ là một nguyên hàm của $5^x$, tức $F^{\prime }(x)=5^x$. Thật vậy, $\int 5^x\mathrm{d}x=\frac{5^x}{\ln 5}+C$, nên $F(x)=\frac{5^x}{\ln 5}$ và $F^{\prime }(x)=\frac{5^x\ln 5}{\ln 5}=5^x$. Lưu ý $F^{\prime }(x)$ không chứa hằng số $C$ (đạo hàm của hằng số bằng 0), nên A sai; B sai vì $5^x\ln 5$ là đạo hàm của $5^x$, không phải của nguyên hàm; C sai. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1033, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $\int 5^{x}dx=F(x)+C$ thì $F(x)$ là một nguyên hàm của $5^x$, tức $F^{\prime }(x)=5^x$. Thật vậy, $\int 5^{x}dx=\frac{5^x}{\ln 5}+C$, nên $F(x)=\frac{5^x}{\ln 5}$ và $F^{\prime }(x)=\frac{5^x\ln 5}{\ln 5}=5^x$. Đáp án trùng với mã đề 1022, câu 3: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

m) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề SAI.

n) Nguyên hàm đúng phải là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$. Với $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên mệnh đề SAI.

o) Họ nguyên hàm đúng là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên mệnh đề SAI.

p) Với $x>0$: $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln x+C$. Từ $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Khi đó $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên mệnh đề SAI.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: cả bốn mệnh đề đều Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$; nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, suy ra $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2x^3\mathrm{d}x=2\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{2x^4}{4}+C=\frac{x^4}{2}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{x^4}{2}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{2}=2x^3=f(x)$, đúng. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án của đề 104 trong bảng HD chấm (Câu 5: C).