Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$ vì $(f(x)+C{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$. Do đó mệnh đề đúng là D. Các phương án A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$; phương án B sai vì thiếu hằng số $C$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 104 (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

i) Đúng: chia tử cho mẫu, $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$.

j) Sai: hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi tập xác định của $f$ là $x\ne 0$. Nguyên hàm của $f(x)$ phải có dạng $x^2+x+\ln |x|+C$ để xác định trên cả hai khoảng $(-\infty ;0)$ và $(0;+\infty )$.

k) Đúng: $\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định).

l) Đúng: $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$, với $x>0$: $F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$. Khi đó $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phép chia đa thức: (2x^2+x+1)/x = 2x+1+1/x.
b) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x^2+x+ln x chỉ xác định với x>0, không phải nguyên hàm của f trên toàn tập xác định x≠0; nguyên hàm tổng quát cần ln|x|.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫(2x+1+1/x)dx = x^2+x+ln|x|+C.
d) (AI giải đề cho tôi)
F(1)=1+1+0+C=3 ⇒ C=1; F(2)=4+2+ln2+1=7+ln2.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 4x^3\mathrm{d}x=4\cdot \frac{x^4}{4}+C=x^4+C$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án của đề (mã đề 103, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$. Với $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$, ta có ${\left(f(x)\right)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$, do đó $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$. Vậy mệnh đề đúng là B. Khớp với đáp án nguồn (đề 103, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2x^{3}dx=2\cdot \frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{2}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{x^4}{2}\right)}^{\prime }=2x^3=f(x)$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.
e) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$ → Sai.
f) $\int f(x)dx=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$. Vậy $F(x)=x^2-x-\ln x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$ (hệ số của $x^2$ phải là $\frac{1}{2}$) → Sai.
g) Họ nguyên hàm của $f(x)$ là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$ → Sai.
h) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$: $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Suy ra $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$ → Sai.
Kết quả: e) Sai; f) Sai; g) Sai; h) Sai, khớp với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$; $F(x)=x^2-x-\ln x$ có đạo hàm $2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, nên $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$. Vì $(f(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$ nên $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$. Do đó mệnh đề đúng là D (khớp với đáp án đề 102 trong bảng HD chấm).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 4x^3\mathrm{d}x=4\cdot \frac{x^4}{4}+C=x^4+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $x^4+C$ là $4x^3=f(x)$, đúng. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.
a) Đúng: chia tử cho mẫu ta được $f(x)=2x+1+\frac{1}{x}$.
b) Sai: hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi tập xác định của $f$ là $x\ne 0$ (gồm cả $x<0$), nên $F(x)=x^2+x+\ln x$ không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định của $f$.
c) Đúng: với $x\ne 0$, $\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$.
d) Đúng: $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$; từ $F(1)=3$ suy ra $1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$. Khi đó $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia tử cho mẫu: $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, không xác định trên toàn tập xác định $x\ne 0$ của $f$, nên không phải nguyên hàm của $f$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$, đúng với mọi $x\ne 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$. Vì $f^{\prime }(x)$ là đạo hàm của $f(x)$, tức $(f(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$, nên $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$. Do đó mệnh đề đúng là B. Các mệnh đề A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$; mệnh đề D sai vì thiếu hằng số $C$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+\cos x)dx=x^2+\sin x+C$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+\cos x)dx=x^2+\sin x+C$ vì $(x^2{)}^{\prime }=2x$ và $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+\cos x)dx=x^2+\sin x+C$ vì $\int 2xdx=x^2$ và $\int \cos xdx=\sin x$. Kiểm tra bằng đạo hàm: $(x^2+\sin x+C{)}^{\prime }=2x+\cos x=f(x)$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int (2x+\cos x)dx=x^2+\sin x+C$ vì $(x^2{)}^{\prime }=2x$ và $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$.

a) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$ (thiếu $-1$). Mệnh đề SAI.

b) Xét $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$. Mệnh đề SAI.

c) Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ là $F(x)=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$. Mệnh đề đưa ra $F(x)=x^2-x-\ln |x|+C$ (hệ số của $x^2$ sai). Mệnh đề SAI.

d) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$ và $F(1)=\frac{1}{2}-1-0+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Khi đó $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$. Mệnh đề SAI.

Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai — khớp với đáp án bảng HD chấm (đề 104, Phần II Câu 2: S S S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, nên $F(x)=x^2-x-\ln x$ không phải nguyên hàm của $f(x)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm tổng quát đúng là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $F(1)=3$ suy ra $C=\frac{7}{2}$, do đó $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2x^3\mathrm{d}x=2\cdot \frac{x^{3+1}}{3+1}+C=\frac{2x^4}{4}+C=\frac{x^4}{2}+C$. Kiểm tra bằng đạo hàm: ${\left(\frac{x^4}{2}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{2}=2x^3=f(x)$, đúng. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án của đề 104 trong bảng HD chấm (Câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$ vì $(f(x)+C{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$. Mệnh đề A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$; mệnh đề B sai vì thiếu hằng số $C$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 104 (Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$, nên ý a) Đúng. Nguyên hàm tổng quát của $f(x)$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ là $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$, vì ${\left(\ln |x|\right)}^{\prime }=\frac{1}{x}$ với mọi $x\ne 0$; do đó ý c) Đúng. Hàm $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không phải nguyên hàm của $f(x)$ trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (vì $\ln x$ không xác định khi $x<0$), nên ý b) Sai. Với ý d): $F(x)=x^2+x+\ln |x|+C$; $F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=x^2+x+\ln |x|+1$ và $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$; ý d) Đúng. Kết quả khớp bảng HD chấm (đề 103, Phần II Câu 2): Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Chia từng hạng tử: $\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, trong khi $f(x)$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; nên $F$ không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định của $f$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì ${\left(x^2+x+\ln |x|+C\right)}^{\prime }=2x+1+\frac{1}{x}=f(x)$ với mọi $x\ne 0$, đây là họ tất cả các nguyên hàm của $f$. Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $F(1)=2+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 4x^3\mathrm{d}x=4\cdot \frac{x^4}{4}+C=x^4+C$. Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 103, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$, vì đạo hàm của $f(x)+C$ là $f^{\prime }(x)$. Do đó mệnh đề B đúng. Các mệnh đề A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$; mệnh đề D sai vì thiếu hằng số $C$ (nguyên hàm luôn có dạng $+C$). Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 103, câu 6: B.