Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2x^3\mathrm{d}x=2\cdot \frac{x^4}{4}+C=\frac{x^4}{2}+C$. Kiểm tra: đạo hàm của $\frac{x^4}{2}$ là $2x^3=f(x)$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án của đề (đề 102, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2-x-1}{x}=x-1-\frac{1}{x}$ (với $x\ne 0$).
a) $2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne x-1-\frac{1}{x}=f(x)$, nên mệnh đề SAI.
b) Với $F(x)=x^2-x-\ln x$ thì $F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$, nên SAI (nguyên hàm đúng phải có hệ số $\frac{x^2}{2}$ và thêm $-x$ từ $x-1$).
Cụ thể: $\int f(x)dx=\int \left(x-1-\frac{1}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$.
c) Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$, nên SAI.
d) Với $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln x+C$ (trên $(0;+\infty )$) và $F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$. Suy ra $F(2)=2-2-\ln 2+\frac{7}{2}=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$, nên SAI.
Kết quả: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai — khớp với đáp án đề 102 (S S S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$2x-x-\frac{1}{x}=x-\frac{1}{x}\ne f(x)=x-1-\frac{1}{x}$, thiếu số $-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F^{\prime }(x)=2x-1-\frac{1}{x}\ne f(x)$; nguyên hàm đúng là $\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Họ nguyên hàm là $F(x)=\frac{x^2}{2}-x-\ln |x|+C$, không phải $x^2-x-\ln |x|+C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}-1+C=3\Rightarrow C=\frac{7}{2}$, nên $F(2)=\frac{7}{2}-\ln 2\ne 5-\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$, vì $(f(x)+C{)}^{\prime }=f^{\prime }(x)$. Do đó mệnh đề đúng là D. Các mệnh đề A, C sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$; mệnh đề B sai vì thiếu hằng số $C$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 102, Câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 4x^{3}dx=4\cdot \frac{x^4}{4}+C=x^4+C$. Đáp án trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{2x^2+x+1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$ với $x\ne 0$. a) Đúng vì phép chia đa thức cho đúng kết quả đó. b) Sai: ${\left(x^2+x+\ln x\right)}^{\prime }=2x+1+\frac{1}{x}$ chỉ đúng khi $x>0$ (do $\ln x$ chỉ xác định với $x>0$), trong khi tập xác định của $f$ là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$; với $x<0$ thì $F$ không phải nguyên hàm của $f$. c) Đúng: $\int f(x)dx=\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, $C\in \mathbb{R}$ (trên mỗi khoảng xác định). d) Đúng: $F(1)=1+1+\ln 1+C=3\Rightarrow C=1$, nên $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$. Kết quả khớp bảng HD chấm đề 101: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chia từng số hạng: $\frac{2x^2}{x}+\frac{x}{x}+\frac{1}{x}=2x+1+\frac{1}{x}$, đúng với $x\ne 0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$F(x)=x^2+x+\ln x$ chỉ xác định với $x>0$, nên không phải nguyên hàm của $f$ trên toàn tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{0\}$ (với $x<0$, $F$ không tồn tại).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(2x+1+\frac{1}{x}\right)dx=x^2+x+\ln |x|+C$, đúng trên mỗi khoảng $(-\infty ;0)$ hoặc $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=1+1+0+C=3\Rightarrow C=1$; suy ra $F(2)=4+2+\ln 2+1=7+\ln 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa nguyên hàm: nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ thì $\int f(x)\mathrm{d}x=F(x)+C$. Vì $f^{\prime }(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=f(x)+C$. Do đó mệnh đề đúng là B. Các mệnh đề A, C, D sai vì nguyên hàm của $f(x)$ không phải là $f^{\prime }(x)$, và nguyên hàm luôn phải có hằng số $C$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm nguyên hàm của $y=5x^4$. Thử đạo hàm từng phương án: $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$ (đúng); $(20x^3{)}^{\prime }=60x^2$ (sai); $(4x^5{)}^{\prime }=20x^4$ (sai); ${\left(\frac{x^4}{5}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{5}$ (sai). Vậy $y=x^5$ là một nguyên hàm của $y=5x^4$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 1202, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=2x$ nên $F(x)=x^2+C$. Với $F(0)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(x)=x^2+1$. Vậy $F(3)=9+1=10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1202, Câu 1 = 10).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. Kiểm tra: ${\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right)}^{\prime }=\frac{2^x\ln 2}{\ln 2}=2^x=f(x)$. Vậy $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}$ là một nguyên hàm của $f(x)=2^x$. Các phương án khác: $F(x)=2^x\ln 2$ có đạo hàm $2^x(\ln 2{)}^2\ne 2^x$; $F(x)=2^x$ có đạo hàm $2^x\ln 2\ne 2^x$; $F(x)=\frac{\ln 2}{2^x}$ có đạo hàm $-(\ln 2{)}^2{2}^{-x}\ne 2^x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A (mã đề 1202, câu 7).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$ vì $(-\cos x{)}^{\prime }=\sin x$. Đáp án trùng với key nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(x^5{)}^{\prime }=5x^4$, nên $y=x^5$ là một nguyên hàm của $y=5x^4$. Các phương án khác: $(20x^3{)}^{\prime }=60x^2$, $(4x^5{)}^{\prime }=20x^4$, ${\left(\frac{x^4}{5}\right)}^{\prime }=\frac{4x^3}{5}$, đều sai. Đáp án khớp với mã đề 1201: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)=2x$ nên $F(x)=x^2+C$. Theo $F(0)=1$ suy ra $C=1$, do đó $F(x)=x^2+1$. Vậy $F(3)=9+1=10$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: 10).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int 2^{x}dx=\frac{2^x}{\ln 2}+C$. Kiểm tra: ${\left(\frac{2^x}{\ln 2}\right)}^{\prime }=\frac{2^x\ln 2}{\ln 2}=2^x=f(x)$. Vậy $F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}$ là một nguyên hàm của $f(x)=2^x$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (Câu 4, mã đề 1201: A).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$ vì đạo hàm của $-\cos x$ là $\sin x$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên khoảng $(a;b)$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in (a;b)$. Các phương án còn lại đều sai vì chúng biểu diễn quan hệ giữa $F$ và $f$ qua hằng số $C$ (đó là họ các nguyên hàm, không phải định nghĩa nguyên hàm) hoặc đảo vai trò đạo hàm. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-2\cos x-\sin x+C$. Với $F(\pi )=2+C=1$ suy ra $C=-1$. Do đó $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-2\cdot 0-1-1=-2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-2).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $f(x),g(x)$ xác định và liên tục trên tập $K$:
- A đúng: theo tính tuyến tính của tích phân bất định, $\int 2f(x)dx=2\int f(x)dx$.
- B sai: $\int [2+f(x)]dx=\int 2dx+\int f(x)dx=2x+\int f(x)dx$, vì nguyên hàm của hằng số $2$ là $2x+C$, không phải $2+C$. Do đó khẳng định $\int [2+f(x)]dx=2+\int f(x)dx$ là sai.
- C đúng: nguyên hàm của hiệu bằng hiệu các nguyên hàm.
- D đúng: nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm.
Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=-\cos x+2\sin x+C$. Với $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\cos \frac{\pi }{2}+2\sin \frac{\pi }{2}+C=2+C=3$ suy ra $C=1$. Do đó $F(\pi )=-\cos \pi +2\sin \pi +1=1+0+1=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 1001, Phần III câu 2 = 2).

(AI giải đề cho tôi)
Tính tuyến tính của tích phân bất định cho các mệnh đề A, C, D đều đúng: $\int [2+f(x)]dx=\int 2dx+\int f(x)dx$, $\int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$. Riêng mệnh đề B sai vì tích phân không có tính chất nhân: đúng ra $\int 2f(x)dx=2\int f(x)dx$, không bằng $\int 2dx\cdot \int f(x)dx$. Ví dụ với $f(x)=x$: $\int 2xdx=x^2+C$ còn $\int 2dx\cdot \int xdx=2x\cdot \frac{x^2}{2}=x^3$, hai vế khác nhau. Vậy mệnh đề sai là B, khớp đáp án nguồn (đề 1001, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên tập $K$ nên $F^{\prime }(x)=f(x)$ với mọi $x\in K$. Theo định nghĩa nguyên hàm, họ tất cả các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$ là $\int f(x)dx=F(x)+C,\forall x\in K$ (do mọi nguyên hàm của $f$ đều có dạng $F(x)+C$). Khẳng định A sai vì $\int F(x)dx$ là nguyên hàm của $F$, không phải của $f$. Khẳng định B sai vì $f$ là đạo hàm của $F$, không phải $F$ cộng hằng số. Khẳng định D sai vì đúng phải là $F^{\prime }(x)=f(x)$, không phải $f^{\prime }(x)=F(x)$. Đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 6: C).