Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nhị thức Newton cơ bản (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát của $(2x+3y{)}^5$ là $C_5^k(2x{)}^{5-k}(3y{)}^k=C_5^k{2}^{5-k}{3}^k{x}^{5-k}{y}^k$ với $k=0,1,\dots ,5$.
- $a_1=C_5^0{2}^5=32$
- $a_2=C_5^1{2}^4\cdot 3=5\cdot 16\cdot 3=240$
- $a_3=C_5^2{2}^3\cdot 3^2=10\cdot 8\cdot 9=720$
- $a_4=C_5^3{2}^2\cdot 3^3=10\cdot 4\cdot 27=1080$
- $a_5=C_5^{4}2\cdot 3^4=5\cdot 2\cdot 81=810$
- $a_6=C_5^5{3}^5=243$
So sánh: $1080>810>720>243>240>32$, do đó giá trị lớn nhất là $\underset{i}{\max }{a}_i=1080$, đạt tại $a_4$. Vậy $\underset{i}{\max }{a}_i=1080$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo nhị thức Newton: $(x-2{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k{x}^{5-k}(-2{)}^k=C_5^0{x}^5-C_5^1\cdot 2x^4+C_5^2\cdot 4x^3-C_5^3\cdot 8x^2+C_5^4\cdot 16x-C_5^5\cdot 32=x^5-10x^4+40x^3-80x^2+80x-32$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(1+2x{)}^4$ là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)(2x{)}^3=4\cdot 8x^3=32x^3$. Vậy hệ số của $x^3$ bằng $32$.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(x-1{)}^5$ là $C_5^k{x}^{5-k}(-1{)}^k$. Muốn chứa $x^4$ thì $5-k=4\Rightarrow k=1$. Số hạng cần tìm là $C_5^1{x}^4(-1{)}^1=-C_5^1{x}^4=-5x^4$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^3$ trong khai triển $(x+1{)}^4$ là $C_4^3{x}^3=4x^3$. Vậy hệ số là $4$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(a+b{)}^n$ có $n+1$ số hạng. Với $(2x-3{)}^4$, $n=4$ nên có $4+1=5$ số hạng.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+4y{)}^2=x^2+8xy+16y^2$. Tổng các hệ số bằng cách thay $x=y=1$: $(1+4{)}^2=25$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+2{)}^4=x^4+8x^3+24x^2+32x+16$. a) Đúng: khai triển nhị thức bậc 4 có $4+1=5$ số hạng. b) Sai: số hạng chứa $x^4$ là $x^4$ (hệ số $a=1$), không phải $4x^4$. c) Đúng: hệ số của $x^3$ là $b=C_4^1\cdot 2=8$. d) Đúng: tổng $a+b+c+d+e$ bằng giá trị của đa thức tại $x=1$, tức $(1+2{)}^4=81$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(x+2{)}^4$ có $4+1=5$ số hạng: $x^4+8x^3+24x^2+32x+16$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng chứa $x^4$ là $x^4$ (với $a=1$), không phải $4x^4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của $x^3$ là $b=C_4^1\cdot 2=8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số $a+b+c+d+e=P(1)=(1+2{)}^4=81$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số của khai triển $(2x+1{)}^3$ là giá trị của đa thức tại $x=1$, tức là $(2\cdot 1+1{)}^3=3^3=27$. Kiểm tra: $(2x+1{)}^3=8x^3+12x^2+6x+1$, tổng hệ số $8+12+6+1=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(2x^2-3xy{)}^5$ là $T_{k+1}=C_5^k(2x^2{)}^{5-k}(-3xy{)}^k=C_5^k{2}^{5-k}(-3{)}^k{x}^{10-k}{y}^k$. Để số hạng chứa $x^6{y}^4$ ta cần $k=4$ (khi đó $10-k=6$, $k=4$). Hệ số cần tìm là $C_5^4\cdot 2^1\cdot (-3{)}^4=5\cdot 2\cdot 81=810$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo nhị thức Newton: $(a+b{)}^5=a^5+5a^{4}b+10a^3{b}^2+10a^2{b}^3+5a{b}^4+b^5$ với các hệ số $C_5^0=1,C_5^1=5,C_5^2=10,C_5^3=10,C_5^4=5,C_5^5=1$. Vậy $P=(a+b{)}^5$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo nhị thức Newton: $(2x+y{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k(2x{)}^{5-k}{y}^k$. Số hạng: $k=0$: $32x^5$; $k=1$: $5\cdot 16x^{4}y=80x^{4}y$; $k=2$: $10\cdot 8x^3{y}^2=80x^3{y}^2$; $k=3$: $10\cdot 4x^2{y}^3=40x^2{y}^3$; $k=4$: $5\cdot 2x{y}^4=10x{y}^4$; $k=5$: $y^5$. Vậy $(2x+y{)}^5=32x^5+80x^{4}y+80x^3{y}^2+40x^2{y}^3+10x{y}^4+y^5$, khớp với phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận thấy $P(x)$ có bậc 5 với hệ số cao nhất $32=2^5$, nên nhị thức có dạng $(2x+a{)}^5$ với $a^5=-1\Rightarrow a=-1$. Kiểm tra $(2x-1{)}^5={\sum }_{k=0}^5{C}_5^k(2x{)}^{5-k}(-1{)}^k=32x^5-80x^4+80x^3-40x^2+10x-1=P(x)$. Vậy $P(x)=(2x-1{)}^5$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Khai triển $(1+3x{)}^4=C_4^0+C_4^1(3x)+C_4^2(3x{)}^2+C_4^3(3x{)}^3+C_4^4(3x{)}^4=1+12x+54x^2+108x^3+81x^4$. Theo số mũ tăng dần của $x$, số hạng thứ 2 là $12x$. Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát trong khai triển $(3x+2{)}^4$ là $C_4^k(3x{)}^{4-k}{2}^k$. Muốn chứa $x^3$ thì $4-k=3$, tức $k=1$. Khi đó số hạng là $C_4^1(3x{)}^3\cdot 2^1=4\cdot 27x^3\cdot 2=216x^3$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các hệ số $S=a_4+a_3+a_2+a_1+a_0$ chính là giá trị của đa thức tại $x=1$: $S=P(1)=(2-1{)}^4=1^4=1$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $H={\sum }_{k=0}^{15}(-2{)}^k{C}_{15}^k$. Theo khai triển nhị thức Newton: $(1-2{)}^{15}={\sum }_{k=0}^{15}{C}_{15}^k(-2{)}^k=H$. Vậy $H=(-1{)}^{15}=-1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số hạng tổng quát: $C_5^k(2xy{)}^{5-k}{\left(\frac{3}{y}\right)}^k=C_5^k{2}^{5-k}{3}^k{x}^{5-k}{y}^{5-2k}$. Cần $x^{5-k}=x^3\Rightarrow k=2$; khi đó số mũ của $y$ là $5-4=1$ thỏa mãn. Hệ số: $C_5^2\cdot 2^3\cdot 3^2=10\cdot 8\cdot 9=720$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhị thức Newton $(u+v{)}^n={\sum }_{k=0}^n{C}_n^k{u}^{n-k}{v}^k$.

a) $(a-3b{)}^5=a^5+C_5^1{a}^4(-3b)+C_5^2{a}^3(-3b{)}^2+C_5^3{a}^2(-3b{)}^3+C_5^{4}a(-3b{)}^4+(-3b{)}^5$
$=a^5-15a^{4}b+90a^3{b}^2-270a^2{b}^3+405a{b}^4-243b^5$.

b) $(2x+3y{)}^4=(2x{)}^4+C_4^1(2x{)}^3(3y)+C_4^2(2x{)}^2(3y{)}^2+C_4^3(2x)(3y{)}^3+(3y{)}^4$
$=16x^4+96x^{3}y+216x^2{y}^2+216x{y}^3+81y^4$.

c) $(3-x{)}^5=3^5+C_5^1{3}^4(-x)+C_5^2{3}^3(-x{)}^2+C_5^3{3}^2(-x{)}^3+C_5^{4}3(-x{)}^4+(-x{)}^5$
$=243-405x+270x^2-90x^3+15x^4-x^5$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6:

a) Số hạng tổng quát trong khai triển $(2+3x{)}^5$ là $C_5^k\cdot 2^{5-k}\cdot (3x{)}^k$. Số hạng chứa $x^4$ ứng với $k=4$: $C_5^4\cdot 2^1\cdot 3^4=5\cdot 2\cdot 81=810$. Vậy số hạng chứa $x^4$ là $810x^4$.

b) Ta có $A_n^3+2A_n^2=48$ với $n$ nguyên dương, $n\ge 3$. Biến đổi: $n(n-1)(n-2)+2n(n-1)=n(n-1)[(n-2)+2]=n^2(n-1)=48$. Thử $n=4$: $4^2\cdot 3=48$ thỏa mãn (các giá trị $n$ khác không thỏa vì $n^2(n-1)$ tăng nhanh theo $n$). Vậy $n=4$.

Số hạng tổng quát của $(1-3x{)}^4$ là $C_4^k(-3x{)}^k$. Hệ số của $x^3$ ứng với $k=3$: $C_4^3\cdot (-3{)}^3=4\cdot (-27)=-108$.

c) Tổng các hệ số của $(1-2x{)}^5$ bằng giá trị của đa thức tại $x=1$: $(1-2{)}^5=(-1{)}^5=-1$.