Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép chiếu song song (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, các cạnh bên song song và bằng nhau: $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$. Hình chiếu song song của điểm $A^{\prime }$ trên mặt phẳng $(ABC)$ theo phương $C{C}^{\prime }$ là giao điểm của đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$ với mặt phẳng $(ABC)$. Vì đường thẳng qua $A^{\prime }$ song song với $C{C}^{\prime }$ chính là đường thẳng $A{A}^{\prime }$ (do $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$), nên giao điểm của $A{A}^{\prime }$ với $(ABC)$ là điểm $A$. Vậy hình chiếu là điểm $A$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (khi hai đường thẳng song song với phương chiếu). Do đó mệnh đề B khẳng định luôn thành hai đường thẳng song song là sai. Các mệnh đề A, C, D đúng vì hình biểu diễn của tam giác (đều, vuông, cân) qua phép chiếu song song vẫn là một tam giác. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1102: B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Đường thẳng qua $C$ song song với $AD$ chính là đường thẳng $BC$ (vì $BC\parallel AD$). Đường thẳng $BC$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại điểm $B$ (vì $B\in (SAB)$). Vậy hình chiếu song song của $C$ lên $(SAB)$ theo phương $AD$ là điểm $B$. Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong phép chiếu song song, hình biểu diễn của hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông đều là hình bình hành vì các tính chất song song và tỉ lệ giữa các đoạn thẳng được bảo toàn. Tuy nhiên hình thang chỉ có một cặp cạnh song song, hình biểu diễn của nó không phải luôn là hình bình hành. Vậy mệnh đề D sai, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song (hoặc trùng nhau nếu mặt phẳng chiếu chứa chúng), không thể cắt nhau hay chéo nhau. Do đó A, B sai. Phát biểu C đúng: hai đường thẳng song song cho hình chiếu là hai đường thẳng song song. Phát biểu D sai vì phép chiếu song song chỉ giữ nguyên tỉ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc các đường thẳng song song), không giữ tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng bất kỳ. Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, và biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau (khi hai đường thẳng nằm cùng một mặt phẳng chiếu). Nó không thể biến hai đường song song thành hai đường cắt nhau hay chéo nhau. Ngoài ra, phép chiếu song song chỉ giữ nguyên tỉ số độ dài của các đoạn thẳng nằm trên cùng một đường thẳng (hoặc trên hai đường thẳng song song), không phải của hai đoạn thẳng bất kỳ, nên D sai. Vậy phát biểu đúng là C, khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong phép chiếu song song, tính song song được bảo toàn: hai cạnh đối song song của hình vuông cho hai cạnh đối song song của hình chiếu, nên hình chiếu luôn là hình bình hành (trường hợp đặc biệt là hình thoi hoặc hình vuông khi các cạnh chiếu phù hợp). Hình thang vuông có một cặp cạnh song song và một cặp cạnh vuông góc với đáy, không thể là hình chiếu của hình vuông. Vậy đáp án D, trùng với mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu song song bảo toàn tính song song và tỉ lệ độ dài trên các đường thẳng song song, nên hình chiếu của hình vuông (là hình bình hành) luôn là hình bình hành: có thể là hình bình hành, hình thoi (khi hai cạnh chiếu bằng nhau), hoặc hình vuông (khi chiếu xuống mặt phẳng song song). Hình thang vuông có hai cạnh bên không song song, không thể là hình chiếu song song của hình vuông. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AD\parallel BC$, do đó đường thẳng qua $C$ song song với phương chiếu $DA$ chính là đường thẳng $CB$. Đường thẳng $CB$ cắt mặt phẳng $(SAB)$ tại điểm $B$ (vì $B\in (SAB)$). Vậy hình chiếu song song của $C$ lên $(SAB)$ theo phương $DA$ là điểm $B$. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác $S.ABCD$ phải có đáy $ABCD$ là tứ giác (bốn đỉnh $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn đỉnh của một tứ giác, không đỉnh nào nằm trong tam giác tạo bởi ba đỉnh còn lại) và đỉnh $S$ không nằm trong mặt phẳng đáy. Xét các hình: ở hình A, B, D, bốn điểm $A$, $B$, $C$, $D$ tạo thành một tứ giác với $S$ ở ngoài mặt phẳng đáy, nên đều là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$. Riêng ở hình C, điểm $C$ nằm bên trong tam giác $ABD$ ($C$ bị che khuất, vẽ nét đứt bên trong), do đó $A$, $B$, $C$, $D$ không thể là bốn đỉnh của một tứ giác — đây chỉ là hình biểu diễn của một hình chóp tam giác (tứ diện) chứ không phải hình chóp tứ giác. Vậy hình không phải là hình biểu diễn của hình chóp tứ giác $S.ABCD$ là hình C, trùng với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1101: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét mặt phẳng $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ chứa $I,A,I^{\prime }$. Đường thẳng qua $I$ song song với $A{I}^{\prime }$ nằm trong mặt phẳng này và cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại điểm $J$. Trong hình bình hành $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (do $A{A}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=B{B}^{\prime }$), đường thẳng qua trung điểm $I$ của $AB$ song song với $A{I}^{\prime }$ sẽ cắt $A^{\prime }{B}^{\prime }$ tại điểm thỏa mãn: đặt hệ tọa độ $A(0;1),B(1;1),A^{\prime }(0;0),B^{\prime }(1;0)$ thì $I(0,5;1)$, vectơ chỉ phương của đường thẳng qua $I$ song song $A{I}^{\prime }$ là $(0,5;-1)$. Đường thẳng: $(x;y)=(0,5+0,5t;1-t)$. Khi $y=0$ thì $t=1$, suy ra $x=1$, tức $J=B^{\prime }$. Vậy qua phép chiếu song song theo phương $A{I}^{\prime }$ lên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, điểm $I$ biến thành điểm $B^{\prime }$. Điều này khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song theo phương $AD$: đường thẳng qua $A$ song song với phương chiếu chính là đường thẳng $AD$, và $D$ cũng nằm trên đường thẳng đó. Do đó $A^{\prime }$ và $D^{\prime }$ trùng nhau. Hình chiếu của tứ giác $ABCD$ là tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ với $A^{\prime }\equiv D^{\prime }$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mặt phẳng chứa $\Delta ABC$ song song với $(P)$ và phương chiếu $l$ không song song với $(P)$, phép chiếu song song lên $(P)$ biến mặt phẳng đó thành $(P)$ theo một phép vị tự tỉ số $k=1$ (thực chất là một phép dời hình). Do đó mọi đoạn thẳng được giữ nguyên độ dài: $A^{\prime }{B}^{\prime }=AB$, $B^{\prime }{C}^{\prime }=BC$, $C^{\prime }{A}^{\prime }=CA$, nên $\Delta A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }=\Delta ABC$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng chéo nhau $a,b$ không đồng phẳng. Xét phép chiếu song song lên $(P)$ theo một phương chiếu $d$.

- Nếu $a^{\prime }$ và $b^{\prime }$ trùng nhau thì $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng xác định bởi phương chiếu $d$ và đường thẳng hình chiếu đó, tức $a,b$ đồng phẳng — mâu thuẫn với $a,b$ chéo nhau. Vậy B sai.
- Hình chiếu của hai đường thẳng chéo nhau hoàn toàn có thể cắt nhau (ví dụ hai đường chéo của hình lập phương chiếu lên mặt đáy cho hai đường chéo cắt nhau) hoặc song song nhau (ví dụ $A{B}_1$ và $C{D}_1$ của hình lập phương chiếu theo phương thích hợp lên $(P)$ cho hai hình chiếu song song). Vậy A và C sai, D đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song: nếu $a\parallel b$ thì hình chiếu $a^{\prime }\parallel b^{\prime }$. Tuy nhiên ngược lại, hai đường thẳng chéo nhau vẫn có thể có hình chiếu song song (ví dụ hai đường chéo nhau cùng song song với một phương chiếu xác định, hình chiếu của chúng lên $(P)$ song song). Do đó $a$ và $b$ có thể chéo nhau hoặc song song, không thể kết luận chắc chắn chúng song song hay cắt nhau. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm $SC$, nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. Đường thẳng qua $M$ song song với $AC$ nằm trong $(SAC)$ và cắt $SA$ tại điểm $N$. Trong tam giác $SAC$, đường thẳng qua trung điểm $SC$ song song với $AC$ nên đi qua trung điểm của $SA$ (định lý đường trung bình). Điểm $N$ thuộc $SA$ nên thuộc $(SAD)$, và $N$ chính là hình chiếu của $M$ theo phương $AC$ lên $(SAD)$. Vậy hình chiếu là trung điểm $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song và bảo toàn tỉ lệ độ dài của các đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song. Trong hình thang $ABCD$ có $AB\parallel CD$ (đáy lớn $AB$) và $AB=2CD$, nên hình chiếu $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ và $\frac{A^{\prime }{B}^{\prime }}{C^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{AB}{CD}=2$. Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }=2C^{\prime }{D}^{\prime }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8 (trang 29): Hình biểu diễn của lục giác đều qua phép chiếu song song phải thỏa: các cặp cạnh đối song song, ba đường chéo chính đồng quy tại tâm, các cặp đỉnh đối xứng qua tâm. Xét các phương án: A và D là hình lập phương (không phải lục giác); C là hình tròn với lục giác nội tiếp đều — đây là hình thật, không phải hình biểu diễn vì phép chiếu song song biến đường tròn thành elip; B là một elip với 6 đỉnh A, B, C, D, E, F nằm trên elip, các đường chéo AD, BE, CF đồng quy tại tâm O, các cặp cạnh đối song song — đúng là hình biểu diễn của lục giác đều theo phép chiếu song song. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính song song: hai đường thẳng song song có hình chiếu là hai đường thẳng song song, hoặc có thể trùng nhau khi mặt chiếu chứa phương chiếu (khi đó mỗi đường thẳng cho một đường thẳng hình chiếu và hai hình chiếu có thể trùng nhau). Do đó đáp án đầy đủ là hai đường thẳng trùng nhau hoặc hai đường thẳng song song.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chiếu song song bảo toàn tính đồng quy, tính song song, tính thẳng hàng và tỉ số độ dài trên cùng một đường thẳng hoặc các đường thẳng song song. Tuy nhiên hai đường thẳng chéo nhau (không cùng mặt phẳng) khi chiếu song song lên một mặt phẳng có thể cho hai hình chiếu cắt nhau hoặc song song, nên tính chéo nhau không được bảo toàn. Vậy đáp án là D.