Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $2^x=8=2^3$, nên $x=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{1}{128}=2^{-7}$, nên $2^{x-5}=2^{-7}\Rightarrow x-5=-7\Rightarrow x=-2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $16^{-5x-10}=(2^4{)}^{-5x-10}=2^{-20x-40}$. Phương trình $2^{9x+6}=2^{-20x-40}$ tương đương $9x+6=-20x-40$, suy ra $29x=-46$, tức $x=-\frac{46}{29}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x>0$, phương trình trở thành $4t^2-35t+66=0$. Biệt thức $\Delta =1225-1056=169$, nên $t=\frac{35\pm 13}{8}$, tức $t=6$ hoặc $t=\frac{11}{4}$ (đều dương, thỏa mãn). Khi đó $x_1={\log }_{3}6$, $x_2={\log }_3\frac{11}{4}$. Tổng các nghiệm: $x_1+x_2={\log }_3\left(6\cdot \frac{11}{4}\right)={\log }_3\frac{66}{4}={\log }_3\frac{33}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển các hạng tử: $-4\cdot 13^x+13\cdot 9^x=16\cdot 13^x-14\cdot 9^x\iff 13\cdot 9^x+14\cdot 9^x=16\cdot 13^x+4\cdot 13^x\iff 27\cdot 9^x=20\cdot 13^x$. Suy ra ${\left(\frac{9}{13}\right)}^x=\frac{20}{27}$, nên $x={\log }_{\frac{9}{13}}\left(\frac{20}{27}\right)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$. Phương trình ${\log }_{2}x=5$ tương đương $x=2^5=32$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $-3x-2>0\iff x<-\frac{2}{3}$. Phương trình ${\log }_3(-3x-2)=5\iff -3x-2=3^5=243\iff -3x=245\iff x=-\frac{245}{3}$. Giá trị này thỏa mãn điều kiện, nên đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-5>0\iff x>\frac{5}{2}$. Phương trình ${\log }_3(2x-5)-{\log }_3(10x+3)=4\iff {\log }_3\frac{2x-5}{10x+3}=4\iff \frac{2x-5}{10x+3}=81\iff 2x-5=810x+243\iff -808x=248\iff x=-\frac{31}{101}$. Vì $x=-\frac{31}{101}<\frac{5}{2}$ không thỏa điều kiện, nên phương trình vô nghiệm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>\frac{7}{5}$. Phương trình tương đương ${\log }_4[(5x-7)(2x+7)]=3\Rightarrow (5x-7)(2x+7)=64\Rightarrow 10x^2+21x-113=0$. Delta: $\Delta =21^2+4\cdot 10\cdot 113=4961=121\cdot 41$, nên $x=\frac{-21\pm 11\sqrt{41}}{20}$. Nghiệm âm $x=\frac{-21-11\sqrt{41}}{20}<0$ bị loại (không thỏa điều kiện). Vậy $x=\frac{-21+11\sqrt{41}}{20}$, thỏa $x>7/5$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $3^{x^2}=9\iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}$, phương trình có nghiệm nên khẳng định 'vô nghiệm' SAI. b) $4^x=64\iff 4^x=4^3\iff x=3$, đúng. c) $7^x=12\iff x={\log }_{7}12$, đúng. d) $3^x>0$ với mọi $x$ nên $3^x=-22$ vô nghiệm, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$3^{x^2}=9\iff x^2=2\iff x=\pm \sqrt{2}$, phương trình có hai nghiệm nên khẳng định vô nghiệm là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$4^x=64=4^3\iff x=3$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$7^x=12\iff x={\log }_{7}12$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $3^x>0$ với mọi $x$ thực nên $3^x=-22$ vô nghiệm, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $81=3^4$, nên $3^{4x^2+4x-1}=3^4\iff 4x^2+4x-1=4\iff 4x^2+4x-5=0$.
a) Sai: phương trình tương đương là $4x^2+4x-5=0$, không phải $4x^2+4x+3=0$.
b) Sai: giải $4x^2+4x-5=0$ được $x=\frac{-4\pm \sqrt{16+80}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{2}$, không có nghiệm $x=-8\sqrt{6}-8$.
c) Sai: tổng hai nghiệm theo Vi-ét là $-\frac{4}{4}=-1$, không phải 1.
d) Đúng: tích hai nghiệm là $\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $81=3^4$ nên $4x^2+4x-1=4\iff 4x^2+4x-5=0$, không phải $4x^2+4x+3=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm của $4x^2+4x-5=0$ là $x=\frac{-1\pm \sqrt{6}}{2}$, không có nghiệm $x=-8\sqrt{6}-8$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Theo Vi-ét, tổng các nghiệm là $-\frac{4}{4}=-1\ne 1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo Vi-ét, tích các nghiệm là $\frac{-5}{4}=-\frac{5}{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=4^x$ với điều kiện $t>0$, phương trình trở thành $2t^2-3t+1=0$, có nghiệm $t=\frac{1}{2}$ và $t=1$ (đều thỏa $t>0$). Suy ra $4^x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$ và $4^x=1\Rightarrow x=0$. a) Đúng vì $4^x>0$ với mọi $x$. b) Đúng vì $16^x=(4^x{)}^2=t^2$. c) Sai vì thay $x=1$: $2\cdot 16-3\cdot 4+1=21\ne 0$; nghiệm là $x=0$ và $x=-\frac{1}{2}$. d) Sai vì tích các nghiệm là $0\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0\ne \frac{1}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $4^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên điều kiện của $t$ là $t>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=4^x$, ta có $16^x=(4^x{)}^2=t^2$, phương trình trở thành $2t^2-3t+1=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $2\cdot 16-3\cdot 4+1=21\ne 0$. Nghiệm của phương trình là $x=0$ và $x=-\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Từ $2t^2-3t+1=0$ được $t=\frac{1}{2}$ hoặc $t=1$, suy ra $x=-\frac{1}{2}$ hoặc $x=0$. Tích các nghiệm bằng $0\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=0\ne \frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 44: a) $\ln x=10\iff x=e^{10}\approx 22026,47\ne 10^{10}$ → Sai. b) $\log x=7\iff x=10^7$ → Đúng. c) ${\log }_{6}x=9\iff x=6^9=10077696$ → Đúng. d) ${\log }_{6}x={\log }_{6}1=0\iff x=6^0=1\ne 6$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\ln x=10\iff x=e^{10}\approx 22026,47\ne 10^{10}$, nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\log x=7\iff x=10^7$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{6}x=9\iff x=6^9=10077696$, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{6}x={\log }_{6}1=0\iff x=6^0=1\ne 6$, nên khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{a}b=9$, ${\log }_{a}c=-10$. Tính $P={\log }_a\left(\frac{1}{b^3{c}^8}\right)+8$.

Ta có:
$${\log }_a\left(\frac{1}{b^3{c}^8}\right)=-{\log }_a\left(b^3{c}^8\right)=-\left(3{\log }_{a}b+8{\log }_{a}c\right)$$

Thay ${\log }_{a}b=9$ và ${\log }_{a}c=-10$:
$${\log }_a\left(\frac{1}{b^3{c}^8}\right)=-(3\cdot 9+8\cdot (-10))=-(27-80)=53$$

Suy ra:
$$P=53+8=61$$

Vậy $P=61$.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $k\ge 7$, ta có ${\log }_{\sqrt[k]{6}}6=\frac{\ln 6}{\ln 6^{1/k}}=\frac{\ln 6}{\frac{1}{k}\ln 6}=k$. Do đó $$S=14+\sum _{k=7}^{266}k=14+\frac{(7+266)(266-7+1)}{2}=14+\frac{273\cdot 260}{2}=14+35490=35504.$$ Vậy $S=35504$. Kiểm tra lại: tổng các số nguyên từ 7 đến 266 gồm 260 số hạng, trung bình cộng $\frac{7+266}{2}=136,5$, nên tổng $=260\cdot 136,5=35490$, cộng 14 được $35504$. Kết quả trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng $P={\log }_6\frac{19}{20}+{\log }_6\frac{20}{21}+\dots +{\log }_6\frac{336}{337}$. Theo tính chất cộng của logarit cùng cơ số: $P={\log }_6\left(\frac{19}{20}\cdot \frac{20}{21}\cdot \dots \cdot \frac{336}{337}\right)$. Đây là tích telescoping, các thừa số trung gian triệt tiêu: $P={\log }_6\frac{19}{337}$. Kiểm tra: $337$ là số nguyên tố, không chia hết cho $19$ ($19\cdot 17=323\ne 337$), nên phân số không rút gọn được. Vậy $P={\log }_6\frac{19}{337}$ (giá trị âm vì $\frac{19}{337}<1$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $3^{x_1}=4$ ta có $x_1={\log }_{3}4$; tương tự $x_2={\log }_{4}5$, ..., $x_{201}={\log }_{203}204$. Khi đó $$x_1{x}_2\cdots x_{201}={\log }_{3}4\cdot {\log }_{4}5\cdots {\log }_{203}204.$$ Dùng công thức đổi cơ số ${\log }_{a}b=\frac{\ln b}{\ln a}$, tích trở thành $$\frac{\ln 4}{\ln 3}\cdot \frac{\ln 5}{\ln 4}\cdots \frac{\ln 204}{\ln 203}=\frac{\ln 204}{\ln 3}={\log }_{3}204.$$ Vậy $x_1{x}_2\cdots x_{201}={\log }_{3}204$.

(AI giải đề cho tôi)
Cần giải $N(x)=25$, tức $5^{5x^2-2x-2}=5^2\iff 5x^2-2x-2=2\iff 5x^2-2x-4=0$. Nghiệm: $x=\frac{2\pm \sqrt{4+80}}{10}=\frac{1\pm \sqrt{21}}{5}$. Chỉ nhận nghiệm dương $x=\frac{1+\sqrt{21}}{5}\approx 1,12$ ngày. Vậy sau ít nhất khoảng $\frac{1+\sqrt{21}}{5}\approx 1,12$ ngày (thực tế làm tròn 2 ngày nếu tính theo ngày nguyên) kể từ khi bắt đầu nuôi cấy thì phải xử lý môi trường.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-9>0\iff x>9$. Phương trình ${\log }_4(x-9)=4\iff x-9=4^4=256\iff x=265$. Thử lại: $x=265>9$ thỏa mãn. Vậy $x=265$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $\sqrt{5^{11x}-5^{157}}=0$ tương đương với $5^{11x}-5^{157}=0$ (điều kiện hiển nhiên thỏa vì biểu thức trong căn bằng 0). Suy ra $5^{11x}=5^{157}$, do đó $11x=157$, tức $x=\frac{157}{11}$. Thử lại: với $x=\frac{157}{11}$ thì $5^{11x}-5^{157}=0$, căn thức xác định và bằng 0. Vậy $x=\frac{157}{11}$.