Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của ${}_6^{14}C$ là 5730 năm, tức là sau 5730 năm thì số nguyên tử ${}_6^{14}C$ giảm đi một nửa. Một cây còn sống có lượng ${}_6^{14}C$ trong cây được duy trì không đổi, nhưng nếu cây chết thì lượng ${}_6^{14}C$ trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ và đo được tỉ lệ phần trăm lượng ${}_6^{14}C$ còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với lúc cây còn sống là 75\%. Hỏi mẫu gỗ cổ đó đã chết cách đây bao nhiêu năm (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trong nông nghiệp bèo hoa dâu được dùng làm phân bón, nó rất tốt cho cây trồng. Mới đây một nhóm các nhà khoa học Việt Nam đã phát hiện ra bèo hoa dâu có thể được dùng để chiết xuất ra chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch và hỗ trợ điều trị bệnh ung thư. Bèo hoa dâu được thả nuôi trên mặt nước. Một người đã thả một lượng bèo hoa dâu chiếm $4\%$ diện tích mặt hồ. Biết rằng cứ sau đúng một tuần bèo phát triển thành 3 lần lượng đã có và tốc độ phát triển của bèo ở mọi thời điểm như nhau. Sau bao nhiêu ngày bèo sẽ vừa phủ kín mặt hồ?

Người ta thả vào ao một loại bèo có tốc độ tăng trưởng được tính theo công thức $S_t=S_0{e}^{rt}$. Trong đó, $S_0$ là diện tích ban đầu, $S_t$ là diện tích sau $t$ ngày, $r$ là tốc độ tăng trưởng và $t$ là số ngày. Ban đầu, diện tích bèo chiếm $\frac{1}{50}$ diện tích ao. Sau $t_1$ và $t_2$ ngày thì diện tích bèo lần lượt chiếm $\frac{1}{30}$ và $\frac{1}{10}$ diện tích ao $(t_2>t_1)$. Biết $t_2-t_1=3$, hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì diện tích bèo chiếm 1 nửa diện tích ao (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho ba số thực dương $x,y,z$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân, đồng thời với mỗi số thực dương $a$ $(a\ne 1)$ thì ${\log }_{a}x$, ${\log }_{\sqrt{a}}y$, ${\log }_{\sqrt[3]{a}}z$ theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tính giá trị của biểu thức $P=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$.

Một nguồn âm đẳng hướng phát ra từ điểm $O$. Mức cường độ âm tại điểm $M$ cách điểm $O$ một khoảng $R(R>0)$ được tính bởi công thức $L_M=\log \frac{k}{R^2}$ (Ben), với $k>0$ là hằng số. Biết điểm $O$ thuộc đoạn thẳng $AB$ và mức cường độ âm tại $A$ và $B$ lần lượt là $L_A=4,3$ (Ben) và $L_B=5$ (Ben). Mức cường độ âm tại trung điểm của $AB$ bằng bao nhiêu Ben (làm tròn đến hai chữ số thập phân).

Với hai số thực dương $a,b$ tùy ý và $\frac{{\log }_{3}7{\log }_{7}a}{1+{\log }_{3}2}-{\log }_{6}b=2$. Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?

Cho $a>1$, $b>0$ thỏa mãn ${\log }^{2}a+\log \left(\frac{b}{a^4}\right)+{\log }_{a}b-5=0$. Giá trị của $\log a+{\log }_{a}b$ bằng

Cesium-137 (Cs-137) là một đồng vị phóng xạ của nguyên tố cesium, được tạo ra chủ yếu từ phản ứng phân hạch hạt nhân trong các nhà máy điện hạt nhân và vũ khí hạt nhân. Đây là một sản phẩm phụ có khả năng di chuyển trong môi trường do tính tan trong nước của hợp chất và dễ phát tán khi gặp nhiệt độ cao. Cs-137 được sử dụng trong y học, công nghiệp và nghiên cứu khoa học, nhưng cũng tiềm ẩn nguy cơ phóng xạ cao đối với sinh vật và con người. Một khu vực bị ô nhiễm bởi đồng vị Cs-137 có chu kì bán rã là 30 năm. Sau một thời gian, người ta đo được hàm lượng Cs-137 trong đất chỉ còn 40\% so với ban đầu. Hỏi khu vực đó đã bị ô nhiễm cách đây khoảng bao nhiêu năm (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian $t$ năm được tính bởi công thức $N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$, $N_0$ là lượng chất phóng xạ ban đầu, $T$ là chu kì bán rã.

a) Giải phương trình $5^{\sqrt{x}}-5^{1-\sqrt{x}}+4=0$.

b) Giải bất phương trình ${\log }_5(1-2x)<1+{\log }_{\sqrt{5}}(x+1)$.

c) Tìm tập xác định hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{{\log }_{\frac{1}{3}}\left[{\log }_4\left(2x\right)\right]}}$.

Biết tổng $S={\log }_5\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+{\log }_5\left(1-\frac{1}{3^2}\right)+\dots +{\log }_5\left(1-\frac{1}{2025^2}\right)={\log }_5\frac{a}{b}$ với $a,b$ là những số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Khi đó giá trị của $(2a-b)$ bằng

Cho hai số thực $a,b$ đều lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\frac{1}{{\log }_{ab}a}+\frac{1}{{\log }_{\sqrt[4]{ab}}b}$.

Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{6}x={\log }_{9}y=\frac{1}{2}+{\log }_4\left(x+y\right)$. Giá trị của $\frac{x}{y}$ bằng

Cho $0<a\ne 1$ tìm số tự nhiên $n$ thỏa mãn ${\log }_{a}2019+2^2{\log }_{\sqrt{a}}2019+3^2{\log }_{\sqrt[3]{a}}2019+...+n^2{\log }_{\sqrt[n]{a}}2019=1008.2017^2{\log }_{a}2019$

Cho phương trình ${\left(7+4\sqrt{3}\right)}^{x^2+x-1}={\left(2+\sqrt{3}\right)}^{x-2}$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Nếu $D_0$ là chênh lệch nhiệt độ ban đầu giữa một vật $M$ và các vật xung quanh, và nếu các vật xung quanh có nhiệt độ $T_S$, thì nhiệt độ của vật $M$ tại thời điểm $t$ được mô hình hóa bởi hàm số:
$T(t)=T_S+D_0\cdot e^{-kt}$ (1) (trong đó $k$ là hằng số dương phụ thuộc vào vật $M$). Một con gà tây nướng được lấy tư lò nướng khi nhiệt độ của nó đã đạt đến $195^{\circ }F$ và được đặt trên một bàn trong một căn phòng có nhiệt độ là $65^{\circ }F$. Nếu nhiệt độ của gà tây là $150^{\circ }F$ sau nửa giờ, nhiệt độ của nó sau 60 phút là bao nhiêu (đơn vị ${}^{\circ }F$)?

Cô Yến gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất $6\%$/ năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yến không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau $y$ (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là $x$ (đồng), cô Yến sử dụng công thức $y={\log }_{1,06}\left(\frac{x}{10}\right)$. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yến có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Dân số thế giới được tính theo công thức $S=A\cdot e^{nr}$ trong đó $A$ là dân số của năm lấy làm mốc tính, $S$ là dân số sau $n$ năm, $r$ là tỉ lệ tăng dân số hằng năm. Cho biết năm 2005 Việt Nam có khoảng 80902400 người và tỉ lệ tăng dân số là $1,47\%$ một năm. Như vậy, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi thì tối thiểu đến năm bao nhiêu dân của Việt Nam có khoảng 93713000 người?

Số lượng của loại vi khuẩn A trong một phòng thí nghiệm được tính theo công thức $s(t)=s(0)\cdot 2^t$, trong đó $s(0)$ là số lượng vi khuẩn $A$ lúc ban đầu, $s(t)$ là số lượng vi khuẩn $A$ có sau $t$ phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn $A$ là 625 con. Hỏi sau bao nhiêu phút, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con?

Áp suất không khí $P$ (đo bằng milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm theo độ cao $x$ (so với mặt nước biển, đo bằng mét) theo công thức $P=P_0.e^{xi}$, trong đó $P_0=760$ mmHg là áp suất ở mực nước biển $(x=0)$, $i$ là hệ số suy giảm. Biết rằng ở độ cao 1000 m thì áp suất của không khí là 672,71 mmHg. Hỏi áp suất không khí trên đỉnh Phanxipăng ở độ cao 3143 m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trong khảo cổ, khi phân tích một mẫu cột gỗ của công trình kiến trúc, người ta đo được ti lệ đồng vị phóng xạ Carbon 14 còn lại trong mẫu cột gỗ $m(t)$ đó là 68,5\% so với Carbon 14 trong cây gỗ sống. Biết Carbon 14 là đồng vị phóng xạ có chu kì bán rã là $T=5730$ năm, tức là sau 5730 năm một nửa khối lượng Carbon 14 bị phân rã thành chất khác. Lượng carbon 14 còn lại trong mẫu vật tính bởi công thức $$m(t)=m_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$$ trong đó $m_0$ là khối lượng carbon 14 ban đầu, là khối lượng carbon 14 còn lại sau $t$ năm. Cây gỗ làm cột đồ đã sống cách ngày nay bao nhiêu năm?