Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{a}b=3$ nên $b=a^3$; ${\log }_{a}c=-2$ nên $c=a^{-2}$. Khi đó ${\log }_a\left(\frac{a^3{b}^2}{c}\right)={\log }_a{a}^3+2{\log }_{a}b-{\log }_{a}c=3+2\cdot 3-(-2)=3+6+2=11$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải $50=22+50e^{-t/8}\Rightarrow e^{-t/8}=\frac{28}{50}=0,56\Rightarrow t=8\ln \frac{50}{28}\approx 8\cdot 0,5798\approx 4,64\approx 5$ phút. Khớp đáp án D của đề (mã 1702).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $50=22+50e^{-t/8}\Rightarrow e^{-t/8}=\frac{28}{50}=0,56\Rightarrow t=-8\ln (0,56)\approx 4,64$ phút, làm tròn đến hàng đơn vị là $5$ phút. Khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết: $f(0)=A=70$ và $f(4)=70\cdot 2^{4r}=280\Rightarrow 2^{4r}=4\Rightarrow r=\frac{1}{2}$. Vậy $f(t)=70\cdot 2^{t/2}$. Giải $70\cdot 2^{t/2}=143360\Rightarrow 2^{t/2}=2048=2^{11}\Rightarrow t=22$ giờ. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\log }_{2}a=x\Rightarrow a=2^x$, ${\log }_{2}b=y\Rightarrow b=2^y$. Suy ra $a^2{b}^3=2^{2x}\cdot 2^{3y}=2^{2x+3y}$, do đó $P={\log }_2(a^2{b}^3)=2x+3y$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $b$ là số thực khác 0 (có thể âm) nên $b^2=|b{|}^2$, do đó ${\log }_3\left(\frac{3a^3}{b^2}\right)={\log }_{3}3+3{\log }_{3}a-{\log }_3{b}^2=1+3{\log }_{3}a-2{\log }_3|b|$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $a={\log }_{2}3$, $b={\log }_{5}3$. Ta có ${\log }_{3}2=\frac{1}{a}$ và ${\log }_{3}5=\frac{1}{b}$. Khi đó:
$${\log }_{6}45=\frac{{\log }_{3}45}{{\log }_{3}6}=\frac{{\log }_{3}9+{\log }_{3}5}{{\log }_{3}2+{\log }_{3}3}=\frac{2+\frac{1}{b}}{\frac{1}{a}+1}=\frac{\frac{2b+1}{b}}{\frac{a+1}{a}}=\frac{a(2B+1)}{b(a+1)}=\frac{a+2ab}{ab+b}.$$
Kiểm tra số: $a\approx 1.585$, $b\approx 0.6826$, biểu thức $\approx 2.1245$ và ${\log }_{6}45=\frac{\ln 45}{\ln 6}\approx 2.1245$ — khớp. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $a={\log }_{2}5=\frac{1}{{\log }_{5}2}$ và $b={\log }_{3}5=\frac{1}{{\log }_{5}3}$, nên $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}={\log }_{5}2+{\log }_{5}3={\log }_{5}6$. Do đó ${\log }_{6}5=\frac{1}{{\log }_{5}6}=\frac{1}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{ab}{a+b}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tính từng giá trị: A: ${\log }_{0,5}\frac{1}{8}={\log }_{1/2}{2}^{-3}=3>1$. B: ${\log }_{0,2}125={\log }_{1/5}{5}^3=-3<1$. C: ${\log }_{1/6}36={\log }_{1/6}{6}^2=-2<1$. D: ${\log }_{0,5}\frac{1}{2}=1$ (bằng 1, không lớn hơn 1). Vậy chỉ có đáp án A lớn hơn 1.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t={\log }_{2}x$ (điều kiện $x>0$). Phương trình trở thành $t^2-3t+2=0$, có $t_1=1$, $t_2=2$. Suy ra $x_1=2^1=2$, $x_2=2^2=4$. Vậy $P=x_1+x_2=2+4=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân hai vế phương trình $6^{2x-1}-5\cdot 6^{x-1}+1=0$ với 6, ta được $6^{2x}-5\cdot 6^x+6=0$. Đặt $t=6^x$ ($t>0$), phương trình trở thành $t^2-5t+6=0$ với hai nghiệm $t=2$ và $t=3$ (thỏa $t>0$). Suy ra $x_1={\log }_{6}2$, $x_2={\log }_{6}3$. Vậy $x_1+x_2={\log }_{6}2+{\log }_{6}3={\log }_{6}6=1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x^2-x+2>0$ luôn đúng vì $\Delta =(-1{)}^2-8=-7<0$. Phương trình ${\log }_2(x^2-x+2)=1\iff x^2-x+2=2\iff x^2-x=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Tập nghiệm $S=\{0;1\}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $M=\log A-\log A_0=\log \frac{A}{A_0}$ nên $\frac{A}{A_0}=10^M$. a) Nhật Bản $M=9$: $\frac{A}{A_0}=10^9$ → đúng. b) Trung Quốc $M=7$: $\frac{A}{A_0}=10^7$ chứ không phải $10^{-7}$ → sai. c) $\frac{A_{Nhật}}{A_{TQ}}=\frac{10^9{A}_0}{10^7{A}_0}=100$ → đúng. d) Ngược lại, Trung Quốc nhỏ hơn 100 lần → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$M=\log \frac{A}{A_0}=9\Rightarrow \frac{A}{A_0}=10^9$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M=\log \frac{A}{A_0}=7\Rightarrow \frac{A}{A_0}=10^7$, không phải $10^{-7}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\frac{A_{Nhật}}{A_{TQ}}=\frac{10^9}{10^7}=100$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Trận ở Trung Quốc có biên độ nhỏ hơn 100 lần, không phải gấp 100 lần.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: x²−5x+7>0. Vì Δ=25−28=−3<0 nên tam thức luôn dương với mọi x, do đó phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ (a đúng). Phương trình tương đương x²−5x+7=1 ⇔ x²−5x+6=0 ⇔ (x−2)(x−3)=0, có hai nghiệm phân biệt x₁=2, x₂=3 (b đúng). Tích các nghiệm x₁x₂=2·3=6≠5 (c sai). x₁²+x₂²=4+9=13≠23 (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
x²−5x+7 có Δ=25−28=−3<0 nên luôn dương với mọi x, phương trình xác định với mọi x.
b) (AI giải đề cho tôi)
log_{1/2}(x²−5x+7)=0 ⇔ x²−5x+7=1 ⇔ x²−5x+6=0 ⇔ x=2 hoặc x=3: hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tích các nghiệm là x₁x₂=2·3=6, không phải 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
x₁²+x₂²=2²+3²=13≠23.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 58: Phương trình $3^{2+x}+3^{2-x}=30$.
a) Đúng: đây là phương trình mũ (ẩn $x$ ở số mũ).
b) Đúng: $9\cdot 3^x+\frac{9}{3^x}=30$, nhân với $3^x$: $9\cdot 3^{2x}-30\cdot 3^x+9=0$, chia 3: $3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$.
c) Sai: đặt $t=3^x>0$ thì $3t^2-10t+3=0\Rightarrow t=3$ hoặc $t=\frac{1}{3}$, không phải $t_1=1$.
d) Đúng: với $t=3\Rightarrow x=1$; với $t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$. Hai nghiệm $x=\pm 1$ trái dấu.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình có ẩn ở số mũ nên là phương trình mũ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$9\cdot 3^x+9\cdot 3^{-x}=30$, nhân $3^x$ rồi chia 3 được $3\cdot 3^{2x}-10\cdot 3^x+3=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=3^x>0$: $3t^2-10t+3=0\Rightarrow t_1=3,t_2=\frac{1}{3}$, không có nghiệm $t=1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$t=3\Rightarrow x=1$; $t=\frac{1}{3}\Rightarrow x=-1$. Hai nghiệm $\pm 1$ trái dấu.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x$ với $t>0$, phương trình $9^x-3\cdot 3^x+2=0$ trở thành $t^2-3t+2=0$, nên $t=1$ hoặc $t=2$. Suy ra $x=0$ hoặc $x={\log }_{3}2$. Vì $x_1<x_2$ nên $x_1=0$, $x_2={\log }_{3}2$. a) Đúng: phép đặt $t=3^x,t>0$ cho $t^2-3t+2=0$. b) Đúng: $A=2x_1+3x_2=0+3{\log }_{3}2=3{\log }_{3}2$. c) Sai: một nghiệm bằng $0$ (không dương), chỉ có nghiệm ${\log }_{3}2>0$ là dương, nên phương trình không có hai nghiệm dương phân biệt. d) Đúng: $x_1\cdot x_2=0\cdot {\log }_{3}2=0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=3^x,t>0$ thì $9^x=t^2$, phương trình trở thành $t^2-3t+2=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=1,2$ ta được $x_1=0,x_2={\log }_{3}2$, nên $A=2\cdot 0+3{\log }_{3}2=3{\log }_{3}2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai nghiệm là $x_1=0$ và $x_2={\log }_{3}2$; nghiệm $0$ không dương nên phương trình không có hai nghiệm dương phân biệt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$x_1\cdot x_2=0\cdot {\log }_{3}2=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Cần giải $M(t)=75-20\ln (t+1)=37,5$ (một nửa danh sách). Suy ra $20\ln (t+1)=37,5$, tức $\ln (t+1)=1,875$, nên $t+1=e^{1,875}\approx 6,521$, vậy $t\approx 5,52$ tháng. Vì $t$ nguyên tháng, đến tháng thứ 6 nhóm học sinh nhớ được khoảng một nửa danh sách (kiểm tra: $M(6)=75-20\ln 7\approx 75-38,92\approx 36,1\%\approx 37,5\%$).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $t=2^x+2^{-x}$ với $t\ge 2$. Khi đó $4^x+4^{-x}=(2^x+2^{-x}{)}^2-2=t^2-2=23$, suy ra $t^2=25$, nên $t=5$ (vì $t\ge 2$). Vậy $P=2^x+2^{-x}=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\log 2=a$, $\log 3=b$, $\log 7=c$.

a) ${\log }_{3}14=\frac{\log 14}{\log 3}=\frac{\log 2+\log 7}{\log 3}=\frac{a+c}{b}$.

b) ${\log }_{21}4=\frac{\log 4}{\log 21}=\frac{2\log 2}{\log 3+\log 7}=\frac{2a}{b+c}$.

c) ${\log }_{28}63=\frac{\log 63}{\log 28}=\frac{\log (9\cdot 7)}{\log (4\cdot 7)}=\frac{2\log 3+\log 7}{2\log 2+\log 7}=\frac{2b+c}{2a+c}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 5 – Giải các phương trình mũ, lôgarit:

a) $2^{2x-1}=32=2^5\Rightarrow 2x-1=5\Rightarrow x=3$.

b) ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x}={\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x-6}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{6-2x}$. Vì cơ số $\frac{2}{3}\ne 1$ nên $4x=6-2x\Rightarrow 6x=6\Rightarrow x=1$.

c) ${\sqrt{2}}^{x^2+2x+3}=8^x\iff 2^{\frac{x^2+2x+3}{2}}=2^{3x}\Rightarrow \frac{x^2+2x+3}{2}=3x\Rightarrow x^2-4x+3=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$.

d) $3^{x+5}=8\Rightarrow x+5={\log }_{3}8=3{\log }_{3}2\Rightarrow x=3{\log }_{3}2-5$.

e) $e^{x^2}=\sqrt{3}\Rightarrow x^2=\ln \sqrt{3}=\frac{1}{2}\ln 3\Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac{\ln 3}{2}}$.

f) $4^{2x+5}=2^{2-x}\iff 2^{4x+10}=2^{2-x}\Rightarrow 4x+10=2-x\Rightarrow 5x=-8\Rightarrow x=-\frac{8}{5}$.

g) $10^{x+2}=25\Rightarrow x+2=\log 25=2\log 5\Rightarrow x=2\log 5-2=\log \frac{25}{100}=\log \frac{1}{4}$.

h) $3^x\cdot 5^{x-1}=7\iff \frac{3^x\cdot 5^x}{5}=7\iff 15^x=35\Rightarrow x={\log }_{15}35$.

Kiểm tra lại: a) $2^5=32$ đúng; b) $x=1$: $(2/3{)}^4=(3/2{)}^{-4}$ đúng; c) $x=1$: $2^{6/2}=2^3=8$ đúng, $x=3$: $2^{18/2}=2^9=8^3$ đúng; f) $x=-8/5$: $4^{-8/5+5}=4^{17/5}=2^{34/5}$, $2^{2+8/5}=2^{18/5}$... kiểm tra lại: $2x+5=-16/5+5=9/5$, nên $4^{9/5}=2^{18/5}$ và $2^{2-(-8/5)}=2^{18/5}$ đúng.