Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển vế: $-4\cdot 13^x+6\cdot 9^x-10\cdot 13^x+15\cdot 9^x=0\iff 21\cdot 9^x-14\cdot 13^x=0\iff 21\cdot 9^x=14\cdot 13^x\iff {\left(\frac{9}{13}\right)}^x=\frac{2}{3}$. Vì $0<\frac{9}{13}<1$ nên phương trình có nghiệm duy nhất $x={\log }_{9/13}\frac{2}{3}=\frac{\ln (2/3)}{\ln (9/13)}$. Thử lại: với $x$ này thì $9^x/13^x=2/3$, khi đó vế trái $=-4\cdot 13^x+6\cdot \frac{2}{3}13^x=0\cdot 13^x=0$ và vế phải $=10\cdot 13^x-15\cdot \frac{2}{3}13^x=0$, thỏa mãn. Vậy $x={\log }_{9/13}\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $7-6x>0$ và $-2x-7>0\iff x<-\frac{7}{2}$. Với điều kiện đó, phương trình tương đương ${\log }_5\frac{7-6x}{-2x-7}=4\iff \frac{7-6x}{-2x-7}=625$. Suy ra $7-6x=625(-2x-7)=-1250x-4375\iff 1244x=-4382\iff x=-\frac{2191}{622}$. Thử lại: $-\frac{2191}{622}\approx -3,523<-\frac{7}{2}$, thỏa mãn điều kiện. Vậy $x=-\frac{2191}{622}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $40960000=4096\cdot 10^4=2^{12}\cdot 10^4$. Vì $\log 4=a$ nên $\log 2=\frac{a}{2}$. Do đó $\log 40960000=12\log 2+4\log 10=12\cdot \frac{a}{2}+4=6a+4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1.
a) Điều kiện: $3x-1>0\iff x>\frac{1}{3}$.
Phương trình ${\log }_5(3x-1)=3\iff 3x-1=5^3=125\iff x=42$ (thỏa điều kiện).
Vậy $x=42$.

b) Sau $n$ năm, số tiền nhận được là $150\cdot (1,052{)}^n$ (triệu đồng), do lãi nhập gốc theo từng kì 12 tháng với lãi suất 5,2%/năm.
Yêu cầu: $150\cdot (1,052{)}^n\ge 200\iff (1,052{)}^n\ge \frac{4}{3}$.
Lấy logarit: $n\ge \frac{\ln (4/3)}{\ln (1,052)}\approx \frac{0,287682}{0,050693}\approx 5,68$.
Vì $n$ nguyên (tính theo năm, rút gốc sau mỗi kì 12 tháng) nên $n=6$.
Kiểm tra: $150\cdot (1,052{)}^5\approx 193,3<200$; $150\cdot (1,052{)}^6\approx 203,4\ge 200$.
Vậy sau ít nhất 6 năm người đó có được ít nhất 200 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $17,28=\frac{1728}{100}=\frac{2^6\cdot 3^3}{2^2\cdot 5^2}=\frac{2^4\cdot 3^3}{5^2}$. Do đó ${\log }_{5}17,28=4{\log }_{5}2+3{\log }_{5}3-2{\log }_{5}5=4{\log }_{5}2+3{\log }_{5}3-2$. Vậy $a=4,b=3,c=-2$ nên $a+b-c=4+3+2=9$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $4^{3x-5}=2\iff 2^{2(3x-5)}=2^1\iff 6x-10=1\iff x=\frac{11}{6}$. Phân số tối giản với $a=11,b=6>0$, nên $a+2b=11+12=23$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình ${\log }_{5}x=2$ với điều kiện $x>0$. Theo định nghĩa logarit: $x=5^2=25$, thỏa điều kiện $x>0$. Vậy nghiệm của phương trình là $x=25$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $5^{-3x+1}>0$ với mọi $x$, phương trình $5^{-3x+1}=-2m-8$ có nghiệm khi và chỉ khi $-2m-8>0\iff m<-4$. Do đó phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi $-2m-8\le 0\iff m\ge -4$. Các giá trị nguyên âm của $m$ thỏa mãn $m\ge -4$ là $m\in \{-4,-3,-2,-1\}$, tức có 4 giá trị. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0\Rightarrow x>2$. Phương trình ${\log }_2(x-2)=3\iff x-2=2^3=8\iff x=10$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>1$. Phương trình tương đương ${\log }_2((x-1)(x+1))=3$ nên $x^2-1=8$, $x^2=9$, $x=\pm 3$. Kết hợp điều kiện $x>1$ ta được $x=3$. Vậy $S=\{3\}$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{x+1}=8=2^3$, suy ra $x+1=3$, tức $x=2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M=5$: $\log E\approx 11,4+1,5\cdot 5=18,9$, nên $E\approx 10^{18,9}J$. Do đó a) đúng; b) sai (10^{23,8} không đúng vì 11,4+1,5·5=18,9 chứ không phải 23,8); c) đúng. d) Tỉ số năng lượng: $\log (E_8/E_5)=1,5(8-5)=4,5$, nên $E_8/E_5=10^{4,5}\approx 31623$ lần, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M=5$ vào công thức: $\log E\approx 11,4+1,5\cdot 5=18,9$. Phát biểu đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\log E\approx 18,9$ nên $E\approx 10^{18,9}J$, không phải $10^{23,8}J$. Phát biểu sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\log E\approx 11,4+1,5\cdot 5=18,9$ nên $E\approx 10^{18,9}J$. Phát biểu đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\log (E_8/E_5)=1,5(8-5)=4,5$ nên $E_8/E_5=10^{4,5}\approx 31623$ lần. Phát biểu đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $M=\log A-\log A_0=\log \frac{A}{A_0}$, ta có $\frac{A}{A_0}=10^M$, tức $A=A_0\cdot 10^M$.

Gọi $A_1$ là biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở San Francisco (cường độ 8 độ Richter) và $A_2$ là biên độ rung chấn tối đa của trận động đất ở Nhật Bản (cường độ 6 độ Richter). Khi đó:
$$A_1=A_0\cdot 10^8,A_2=A_0\cdot 10^6.$$

Suy ra:
$$\frac{A_1}{A_2}=\frac{A_0\cdot 10^8}{A_0\cdot 10^6}=10^{8-6}=10^2=100.$$

Vậy trận động đất ở San Francisco có biên độ rung chấn tối đa gấp 100 lần trận động đất ở Nhật Bản.

(AI giải đề cho tôi)
a) [H+] = 10^{-pH}. Dung dịch A: [H+] = 10^{-1,9} ≈ 0,01259 mol/L; dung dịch B: [H+] = 10^{-2,5} ≈ 0,00316 mol/L. Vì pH của A nhỏ hơn nên A có độ acid cao hơn. Tỉ số: 10^{-1,9}/10^{-2,5} = 10^{0,6} ≈ 3,98 ≈ 4 lần. Vậy dung dịch A có độ acid cao hơn dung dịch B khoảng 10^{0,6} ≈ 4 lần. b) Nước cất có pH = -log(10^{-7}) = 7. Nước vòi có pH từ 6,5 đến 6,7, đều nhỏ hơn 7, nên [H+] của nước vòi (từ 10^{-6,7} ≈ 2,0·10^{-7} đến 10^{-6,5} ≈ 3,16·10^{-7} mol/L) lớn hơn 10^{-7} mol/L. Vậy nước chảy từ vòi có độ acid cao hơn nước cất (cao khoảng 2 đến 3,16 lần).

(AI giải đề cho tôi)
a) log_3(x^2-5x+31)=3 ⟺ x^2-5x+31=27 ⟺ x^2-5x+4=0 ⟺ x=1 hoặc x=4. Với x_1=1, x_2=4 thì 3x_1=3≠4=x_2, nên mệnh đề SAI. b) Thay x=-3: x^2+2x=9-6=3 nên 2^{x^2+2x}=2^3, mệnh đề ĐÚNG. c) log_2(x^2-1)=3 ⟺ x^2-1=8 ⟺ x^2=9 ⟺ x=±3 (đều thỏa điều kiện x^2-1>0), phương trình có hai nghiệm nên mệnh đề SAI. d) (1/3)^{2x+1}≤81 ⟺ 3^{-(2x+1)}≤3^4 ⟺ -2x-1≤4 ⟺ x≥-5/2, tập nghiệm S=[-5/2;+∞), mệnh đề ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án chính thức mã đề 211: SĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
x^2-5x+31=27 ⟺ x^2-5x+4=0 ⟺ x=1 hoặc x=4; khi đó 3x_1=3≠4=x_2 nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với x=-3: x^2+2x=3 nên 2^{x^2+2x}=2^3, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
x^2-1=8 ⟺ x=±3, phương trình có hai nghiệm nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(1/3)^{2x+1}≤81 ⟺ -2x-1≤4 ⟺ x≥-5/2, S=[-5/2;+∞), đúng.

Lời giải (đáp án chính thức, biểu điểm: 0,5 điểm; trong bảng đáp án trang 10 bài toán logarit này được đánh số là Câu 1, 0,5đ):

$$A={\log }_a\left(\frac{\sqrt{a^3}}{a^5}\right)={\log }_a\left(a^{\frac{3}{2}-5}\right)={\log }_a\left(a^{-\frac{7}{2}}\right)=\frac{-7}{2}$$

Lời giải (đáp án chính thức):

Ta có: $$\{\begin{array}{l}k.a^2=3\%\\ k.a^5=10\%\end{array}\Rightarrow a=\sqrt[3]{\frac{10}{3}};k=\frac{3\%}{a^2}$$

Tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm đến $20\%\Rightarrow \frac{3\%}{a^2}.a^t=20\%\Rightarrow a^{t-2}=\frac{20}{3}$

$\Rightarrow t=2+{\log }_a\frac{20}{3}=2+{\log }_{\sqrt[3]{\frac{10}{3}}}\frac{20}{3}\approx 6,7$

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+5>0\iff x>-5$. Phương trình ${\log }_3(x+5)=2\iff x+5=3^2=9\iff x=4$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy đáp án B, trùng với đáp án của đề (mã đề 211, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+5>0\iff x>-5$. Phương trình ${\log }_3(x+5)=2$ tương đương $x+5=3^2=9$, suy ra $x=4$ (thỏa mãn điều kiện). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) log_3(x²−5x+31)=3 ⟺ x²−5x+31=27 ⟺ x²−5x+4=0 ⟺ x=1 hoặc x=4. Với x₁=1, x₂=4 thì 3x₁=3≠4=x₂, nên mệnh đề SAI. b) log_2(x²−1)=3 ⟺ x²−1=8 ⟺ x²=9 ⟺ x=±3, phương trình có hai nghiệm (đều thỏa x²−1>0), nên mệnh đề 'có một nghiệm' SAI. c) (1/3)^{2x+1}≤81 ⟺ 3^{−2x−1}≤3⁴ ⟺ −2x−1≤4 ⟺ x≥−5/2, tức S=[−5/2;+∞), mệnh đề ĐÚNG. d) Thay x=−3: x²+2x=9−6=3 nên 2^{x²+2x}=2³, mệnh đề ĐÚNG. Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
x²−5x+31=27 ⟺ x²−5x+4=0 ⟺ x=1 hoặc x=4. Khi đó 3x₁=3≠4=x₂ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
x²−1=8 ⟺ x=±3, phương trình có hai nghiệm nên mệnh đề 'có một nghiệm' sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(1/3)^{2x+1}≤81 ⟺ 3^{−2x−1}≤3⁴ ⟺ −2x−1≤4 ⟺ x≥−5/2, S=[−5/2;+∞).
d) (AI giải đề cho tôi)
Với x=−3: x²+2x=3 nên 2^{x²+2x}=2³, vậy x=−3 là nghiệm.