Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I\in BD$ nên $I$ thuộc $(ABD)$ và $(BCD)$. Vì $I\in MN$ với $M\in AB,N\in AD$ nên $I$ thuộc mặt phẳng $(AMN)$; mặt khác $I\in MN\subset (CMN)$ nên $I$ thuộc $(CMN)$. Còn $(ACD)$ chứa $A,C,D$: nếu $I\in (ACD)$ thì $I\in BD\cap (ACD)=AD$, tức $I\in AD$, nhưng $I\in BD$ và $BD\cap AD=D$, khi đó $I=D$, vô lý vì $I$ là giao của $MN$ với $BD$ với $M,N$ thuộc $AB,AD$ (khi đó $MN$ không qua $D$ trong cấu hình tứ diện). Vậy $I$ không thuộc $(ACD)$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $M\in a\subset (P)$ và $M\in b\subset (Q)$ nên $M\in (P)\cap (Q)=d$. Đồng thời $N\in a\cap d\subset d$ và $K\in d\cap b\subset d$. Vậy cả ba điểm $M,N,K$ đều thuộc giao tuyến $d$, tức là ba điểm thẳng hàng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ba điểm $M,N,K$ đều thuộc mặt phẳng $(P)$ (vì là giao điểm của các đường thẳng với $(P)$). Đồng thời, $M\in AB$, $N\in AC$, $K\in BC$ nên cả ba điểm đều thuộc mặt phẳng $(ABC)$. Hai mặt phẳng $(P)$ và $(ABC)$ phân biệt (vì $A,B,C$ không nằm trong $(P)$) và có điểm chung (ví dụ $M$), nên chúng cắt nhau theo một giao tuyến là một đường thẳng. Ba điểm $M,N,K$ thuộc giao tuyến này nên thẳng hàng. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAO)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $O$ (vì $O\in BD$ nên $O\in (SBD)$, và $O\in (SAO)$ theo định nghĩa). Hai điểm phân biệt $S$, $O$ chung của hai mặt phẳng nên giao tuyến là đường thẳng $SO$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ có điểm chung $S$; mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $AB$, mặt phẳng $(SCD)$ chứa đường thẳng $CD$, với $AB\parallel CD$. Theo tính chất giao tuyến của hai mặt phẳng: nếu hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song và có một điểm chung thì giao tuyến của chúng là đường thẳng đi qua điểm chung đó và song song với hai đường thẳng đã cho. Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$ (tức song song với $CD$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề của Câu 37:
- A sai: ba điểm phải phân biệt và không thẳng hàng mới xác định một mặt phẳng; nếu ba điểm thẳng hàng thì có vô số mặt phẳng đi qua chúng.
- B đúng: hai đường thẳng cắt nhau (phân biệt) xác định một mặt phẳng duy nhất chứa cả hai, nên mặt phẳng hoàn toàn xác định khi biết hai đường thẳng cắt nhau nằm trong nó.
- C sai: hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một mặt phẳng có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau (ví dụ các cạnh của hình chóp đều song song với mặt đáy theo nhiều vị trí khác nhau).
- D sai: hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác nhau có thể cắt nhau (nếu chúng cùng nằm trong một mặt phẳng thứ ba), song song hoặc chéo nhau.
Vậy mệnh đề đúng là B, trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Nhận xét: $C\in (MBC)$ và $C\in (ABCD)$, $B\in (MBC)$ và $B\in (ABCD)$ nên hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(ABCD)$ có hai điểm chung $B,C$. Vậy giao tuyến của $(MBC)$ và $(ABCD)$ là đường thẳng $BC$.

Tương tự, $M\in SA\subset (SAB)$ nên $M\in (SAB)$, đồng thời $M\in (MBC)$; $B\in (SAB)$ và $B\in (MBC)$. Hai mặt phẳng $(MBC)$ và $(SAB)$ có hai điểm chung $M,B$. Vậy giao tuyến của $(MBC)$ và $(SAB)$ là đường thẳng $MB$.

Kết luận: $(MBC)\cap (ABCD)=BC$ và $(MBC)\cap (SAB)=MB$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $AB$ và $CD$ (hai cạnh bên của hình thang, không song song nên cắt nhau). Vì $N\in CD\subset (MCD)$ và $N\in AB$ nên $N$ thuộc mặt phẳng $(SAB)$.

Xét hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(SAB)$: cả $M$ (thuộc $SA$) và $N$ đều thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến của chúng là đường thẳng $MN$.

Trong mặt phẳng $(SAB)$, đường thẳng $MN$ cắt cạnh $SB$ tại một điểm $P$ (vì $M\notin AB$ nên $MN$ không song song với $SB$). Khi đó $P\in SB\subset (SBC)$ và $P\in MN\subset (MCD)$.

Mặt khác, điểm $C$ thuộc cả $(MCD)$ và $(SBC)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $CP$ (với $P=MN\cap SB$).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $N\in SC\subset (SBC)$ nên $N\in (SBC)$, hiển nhiên $N\in MN$. Mặt khác $M\in SA$, mà $SA\cap (SBC)=S$ và $M\ne S$ nên $M\notin (SBC)$, do đó $MN\not\subset (SBC)$. Đường thẳng không nằm trong mặt phẳng cắt mặt phẳng đó tại nhiều nhất một điểm. Vậy $MN\cap (SBC)=N$.

b) Vì $P\in AB\subset (SAB)$ nên $P\in (SAB)$, hiển nhiên $P\in PI$. Mặt khác $I\in AC$, $I\notin AB$, mà $(SAB)\cap (ABC)=AB$ nên $I\notin (SAB)$, suy ra $PI\not\subset (SAB)$. Do đó $PI$ cắt $(SAB)$ tại đúng một điểm. Vậy $PI\cap (SAB)=P$.

Nhận xét: Bài tập vận dụng tính chất: nếu đường thẳng đã có một điểm chung với mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó thì giao điểm chính là điểm chung đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 83: a) Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O=AC\cap BD$. Mà $AC\subset (SAC)$ nên $O\in (SAC)$. Do đó $BD\cap (SAC)=O$. b) Vì $M$ là trung điểm của $SA$ nên $M\in SA\subset (SAB)$, tức $M\in (SAB)$; đồng thời $M\in DM$. Mặt khác $D\notin (SAB)$ (mặt phẳng $(SAB)$ cắt mặt đáy theo đường thẳng $AB$, mà $D\notin AB$), nên đường thẳng $DM$ không nằm trong $(SAB)$. Vậy $DM\cap (SAB)=M$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Ta có $AB\subset (SAB)$, $CD\subset (SCD)$, và $AB\parallel CD$. Xét $(SAB)$ và $(SCD)$: chúng có điểm chung $S$ (vì $S\in (SAB)$ và $S\in (SCD)$). Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: $CD\parallel AB$ và $AB\subset (SAB)$ nên $CD\parallel (SAB)$; do đó mặt phẳng $(SCD)$ chứa $CD$ và cắt $(SAB)$ theo giao tuyến đi qua $S$ và song song với $CD$ (tức song song với $AB$). Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $d$ đi qua $S$ với $d\parallel AB\parallel CD$. (Cách khác: gọi $I$ là giao điểm của đường thẳng qua $S$ song song $AB$ — thực chất giao tuyến chính là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $E\in AB\subset (SAB)$ và $E\in CD\subset (SCD)$, hơn nữa $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$. Vậy hai mặt phẳng có hai điểm chung $S$ và $E$, do đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SE$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa điểm $S$. Ngoài ra, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ nên $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy $O$ thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng. Giao tuyến là đường thẳng đi qua hai điểm chung $S$ và $O$, tức là đường thẳng $SO$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng vì hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên là (SAB), (SBC), (SCD), (SDA). B đúng: (SAC) chứa O = AC ∩ BD, (SBD) chứa O, và cả hai đều chứa S nên giao tuyến là SO. C đúng: AD cắt BC tại I, hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) cùng chứa S và I nên giao tuyến là SI. D sai: (SAB) và (SAD) có hai điểm chung là S và A, do đó giao tuyến là đường thẳng SA, không phải 'đường trung bình của ABCD'. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $CM$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$ (vì $C\in (SAC)$ và $M\in SA\subset (SAC)$). Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có chung điểm $S$ và $O=AC\cap BD$, nên giao tuyến của chúng là $SO$. Do đó giao điểm của $CM$ với $(SBD)$ chính là giao điểm của $CM$ với $SO$, gọi là $J$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $G\in (ACD)$. Mặt khác $G\in (ABG)$ và $A\in (ABG)\cap (ACD)$. Vậy hai mặt phẳng $(ABG)$ và $(ACD)$ có hai điểm chung $A$ và $G$, do đó giao tuyến là đường thẳng $AG$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ACD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AF$ (với $F$ là trung điểm $CD$), tức $A,G,F$ thẳng hàng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $AF$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Đúng vì $E,F$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF\subset (ABCD)$. b) Đúng vì hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm $A,B$ nên giao tuyến là $AB$. c) Sai: $(SAB)$ và $(SCD)$ có chung điểm $S$ và $E=AB\cap CD\in (SAB),E\in (SCD)$ nên giao tuyến là $SE$ (không phải $SF$); tương tự $(SAC)$ và $(SBD)$ có chung $S$ và $F=AC\cap BD$ nên giao tuyến là $SF$ (không phải $SE$). Phát biểu hoán đổi hai kết quả nên sai. d) Đúng vì $G=EF\cap AD$ thì $G\in (SEF)$ (do $G\in EF$) và $G\in (SAD)$ (do $G\in AD$), hai mặt phẳng có chung điểm $S$ và $G$ nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E\in AB,F\in AC$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ có chung hai điểm phân biệt $A,B$, do đó giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (chung $S$ và $E=AB\cap CD$), còn giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (chung $S$ và $F=AC\cap BD$). Phát biểu đã hoán đổi $SE$ và $SF$ nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G=EF\cap AD$ nên $G\in (SEF)$ và $G\in (SAD)$; hai mặt phẳng có chung hai điểm $S,G$ nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là giao điểm của $a$ và $b$. Vì $a\subset (P)$ nên $M\in (P)$; vì $b\subset (Q)$ nên $M\in (Q)$. Suy ra $M\in (P)\cap (Q)$. Mà $(P)\cap (Q)=d$, do đó $M\in d$. Vậy giao điểm của $a$ và $b$ thuộc đường thẳng $d$. (Điều này cũng đúng khi $a$ hoặc $b$ chính là $d$.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(BCD)$, vì $O$ nằm trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $DO$ cắt cạnh $BC$ tại một điểm $E$ (với $E$ thuộc đoạn $BC$, $E$ khác $B$, $C$). Khi đó: $E\in DO\subset (AOD)$ nên $E\in (AOD)$; mặt khác $E\in BC$. Vậy $E$ là giao điểm của $BC$ và $(AOD)$. Thật vậy, hai mặt phẳng $(AOD)$ và $(BCD)$ cắt nhau theo giao tuyến $OD$, nên giao điểm của $BC$ (nằm trong $(BCD)$) với $(AOD)$ phải nằm trên $OD$, tức là $E=BC\cap OD$.