Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Phần IV) – Tính đạo hàm:

a) $y=3x^5+2\sin 2x-e^{3x}$
$y^{\prime }=15x^4+2\cdot (\cos 2x)\cdot 2-3e^{3x}=15x^4+4\cos 2x-3e^{3x}$.

b) $y=\sin \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$, đặt $u=\frac{\pi }{6}-3x\Rightarrow u^{\prime }=-3$:
$y^{\prime }=\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)\cdot (-3)=-3\cos \left(\frac{\pi }{6}-3x\right)$.

c) $y=(x^3+2x^2{)}^{10}$, đặt $u=x^3+2x^2\Rightarrow u^{\prime }=3x^2+4x$:
$y^{\prime }=10(x^3+2x^2{)}^9(3x^2+4x)$.

d) $y=\ln (x^2-2x+2023)$, với $x^2-2x+2023=(x-1{)}^2+2022>0$ với mọi $x$:
$y^{\prime }=\frac{2x-2}{x^2-2x+2023}$.

e) $y=\frac{2x+1}{x-1}$ (với $x\ne 1$):
$y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{2x-2-2x-1}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}$.

f) $y=(1-2x^2)\sqrt{1+2x^2}$, xác định với mọi $x$.
Viết $y=(1-2x^2)(1+2x^2{)}^{1/2}$:
$y^{\prime }=-4x\sqrt{1+2x^2}+(1-2x^2)\cdot \frac{2x}{\sqrt{1+2x^2}}$
$=\frac{-4x(1+2x^2)+2x(1-2x^2)}{\sqrt{1+2x^2}}=\frac{-4x-8x^3+2x-4x^3}{\sqrt{1+2x^2}}=\frac{-2x-12x^3}{\sqrt{1+2x^2}}=\frac{-2x(1+6x^2)}{\sqrt{1+2x^2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=6x^2-10x+4$. Phương trình $y^{\prime }=0$ tức $6x^2-10x+4=0\iff 3x^2-5x+2=0$. Theo định lý Vi-ét: $x_1+x_2=\frac{5}{3}$, $x_1{x}_2=\frac{2}{3}$. Do đó $S=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{25}{9}-\frac{4}{3}=\frac{13}{9}$. (Kiểm tra: hai nghiệm là $x=1$ và $x=\frac{2}{3}$, nên $S=1+\frac{4}{9}=\frac{13}{9}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6. 1) Với $y=2x^3-x^2+1$ ta có $y^{\prime }=6x^2-2x$. a) $y^{\prime }<0\iff 6x^2-2x<0\iff 2x(3x-1)<0\iff 0<x<\frac{1}{3}$. Vậy $y^{\prime }<0$ khi $x\in \left(0;\frac{1}{3}\right)$. b) $y^{\prime }\ge 4\iff 6x^2-2x-4\ge 0\iff 3x^2-x-2\ge 0\iff (3x+2)(x-1)\ge 0\iff x\le -\frac{2}{3}$ hoặc $x\ge 1$. Vậy $x\in \left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right]\cup [1;+\infty )$. 2) $f^{\prime }(x)=6x^2-2x$; $g^{\prime }(x)=6x+14$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>g^{\prime }(x)$: $6x^2-2x>6x+14\iff 6x^2-8x-14>0\iff 3x^2-4x-7>0\iff (3x-7)(x+1)>0\iff x<-1$ hoặc $x>\frac{7}{3}$. Vậy tập nghiệm là $S=(-\infty ;-1)\cup \left(\frac{7}{3};+\infty \right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{2x+1}{x+2}$, ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+2)-(2x+1)}{(x+2{)}^2}=\frac{3}{(x+2{)}^2}$. Vậy $a=3$, thỏa mãn $1<a<4$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\sqrt{4x^2+3x+1}$, đặt $u=4x^2+3x+1$ thì $u^{\prime }=8x+3$. Theo quy tắc đạo hàm của hàm hợp: $y^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{2\sqrt{u}}=\frac{8x+3}{2\sqrt{4x^2+3x+1}}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\tan 7x$, ta có $(\tan u{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }}{{\cos }^{2}u}$ với $u=7x$, $u^{\prime }=7$. Vậy $y^{\prime }=\frac{7}{{\cos }^{2}7x}$ (với điều kiện $\cos 7x\ne 0$). Đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_4(2x+5)$ xác định khi $2x+5>0$. Ta có $y=\frac{\ln (2x+5)}{\ln 4}$, nên $y^{\prime }=\frac{1}{\ln 4}\cdot \frac{2}{2x+5}=\frac{2}{(2x+5)\ln 4}$. Vì $\ln 4=2\ln 2$, ta được $y^{\prime }=\frac{2}{(2x+5)\cdot 2\ln 2}=\frac{1}{(2x+5)\ln 2}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-4\sqrt{2}x+8=(x-2\sqrt{2}{)}^2$. Cho $f^{\prime }(x)=0$ suy ra $(x-2\sqrt{2}{)}^2=0$, tức $x=2\sqrt{2}$ (nghiệm kép). Vậy tập hợp cần tìm là $\{2\sqrt{2}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-6x^2+10x+3$. Theo định lý Vi-ét cho phương trình $-6x^2+10x+3=0$: $S=x_1+x_2=-\frac{10}{-6}=\frac{5}{3}$ và $P=x_1{x}_2=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=\frac{x^2+x}{x-2}$, theo quy tắc đạo hàm của thương: $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x-2)-(x^2+x)}{(x-2{)}^2}=\frac{2x^2-3x-2-x^2-x}{(x-2{)}^2}=\frac{x^2-4x-2}{(x-2{)}^2}$. Thay $x=1$: $y^{\prime }(1)=\frac{1-4-2}{(1-2{)}^2}=\frac{-5}{1}=-5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=f(x)={\cos }^{2}x$. Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp: $f^{\prime }(x)=2\cos x\cdot (-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$. Thay $x=\frac{\pi }{4}$: $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{4}\right)=-\sin \left(\frac{\pi }{2}\right)=-1$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x+m}{2x-1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{3(2x-1)-2(3x+m)}{(2x-1{)}^2}=\frac{-3-2m}{(2x-1{)}^2}$. Tại $x=1$: $f^{\prime }(1)=\frac{-3-2m}{1}=-11\Rightarrow -2m=-8\Rightarrow m=4$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-4x^2+2$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-8x$. Tại $x_0=2$: $y^{\prime }(2)=3\cdot 4-8\cdot 2=12-16=-4$. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là $k=-4$, tương ứng với đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{2(x-1)-(2x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{-3}{(x-1{)}^2}$. Tại điểm có hoành độ $x_0=2$ (thuộc tập xác định), hệ số góc của tiếp tuyến là $k=y^{\prime }(2)=\frac{-3}{(2-1{)}^2}=-3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cho hàm số $y=\frac{8}{x}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{0\}$.

a) $y^{\prime }={\left(8x^{-1}\right)}^{\prime }=-8x^{-2}=-\frac{8}{x^2}$. Đề nói $y^{\prime }=\frac{8}{x^2}$ (thiếu dấu âm) nên khẳng định SAI.

b) Tại $x_0=4$: $y^{\prime }(4)=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên khẳng định SAI.

c) Tại $x_0=2$: $y_0=\frac{8}{2}=4$, $y^{\prime }(2)=-\frac{8}{4}=-2$. Tiếp tuyến: $y=-2(x-2)+4=-2x+8$. Thay $x=2$: $y=4$, tức tiếp tuyến đi qua $A(2;4)$ (chính là tiếp điểm). Khẳng định ĐÚNG.

d) Tiếp tuyến song song với $d:y=-18x-24$ có hệ số góc $-18=-\frac{8}{x^2}\Rightarrow x^2=\frac{4}{9}\Rightarrow x=\pm \frac{2}{3}$.
- Với $x=\frac{2}{3}$: $y=12$, tiếp tuyến $y=-18x+24$; tại $x=1$ có $y=6$, tức đi qua $C(1;6)$. ĐÚNG.
- Với $x=-\frac{2}{3}$: $y=-12$, tiếp tuyến $y=-18x-24$, tại $x=1$ có $y=-42\ne 6$.
Vì tồn tại tiếp tuyến thỏa mãn đi qua $C(1;6)$ nên khẳng định ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-\frac{8}{x^2}$, thiếu dấu âm nên SAI.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(4)=-\frac{8}{16}=-\frac{1}{2}\ne \frac{1}{2}$ nên SAI.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $x_0=2$ là $y=-2x+8$, tại $x=2$ có $y=4$ nên đi qua $A(2;4)$: ĐÚNG.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến song song với $d$ có hệ số góc $-18$, suy ra $x=\frac{2}{3}$, tiếp tuyến $y=-18x+24$ đi qua $C(1;6)$: ĐÚNG.

(AI giải đề cho tôi)
Với $y=x^3-6x^2+9x+5$ ta có $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ và $y^{\prime \prime }=6x-12$. a) Tại $x_0=0$: $y(0)=5$, $y^{\prime }(0)=9$ nên tiếp tuyến là $y=9x+5$ → đúng. b) $y^{\prime \prime }=6x-12\ne 12x-6$ → sai. c) $y^{\prime }=0\iff 3x^2-12x+9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$; trong đoạn $[-1;2]$ chỉ có $x=1$, nên không có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn → sai. d) $y^{\prime }=3x^2-12x+9$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y(0)=5$, $y^{\prime }(0)=9$ nên tiếp tuyến tại $x_0=0$ là $y=9(x-0)+5=9x+5$, đúng như khẳng định.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-12x+9$ nên $y^{\prime \prime }=6x-12$, không phải $12x-6$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=0\iff 3(x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Trong đoạn $[-1;2]$ chỉ có nghiệm $x=1$, nên không có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đạo hàm của $y=x^3-6x^2+9x+5$ là $y^{\prime }=3x^2-12x+9$, đúng.

Lời giải (theo Hướng dẫn chấm, trang 9): $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ (0,5 điểm)

Lời giải (Hướng dẫn chấm, trang 9): $y^{\prime }=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{(2x+1)-2(x-3)}{(2x+1{)}^2}=\frac{7}{(2x+1{)}^2}$ và $g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$ (với $x>-\frac{1}{2}$). a) $f^{\prime }(-1)=\frac{7}{(-1{)}^2}=7$ → đúng. b) $g^{\prime }(\frac{3}{2})=\frac{1}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}$ → đúng. c) $7(g^{\prime }(x){)}^4=7\cdot \frac{1}{(2x+1{)}^2}=f^{\prime }(x)$ → đúng. d) $M(0;-3)$, $f^{\prime }(0)=7$, tiếp tuyến có hệ số góc 7 nên song song với $y=7x+2026$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{7}{(2x+1{)}^2}$ nên $f^{\prime }(-1)=\frac{7}{(-1{)}^2}=7$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}$, tại $x=\frac{3}{2}$: $g^{\prime }(\frac{3}{2})=\frac{1}{2}$, nên đồ thị $g^{\prime }(x)$ đi qua $A(\frac{3}{2};\frac{1}{2})$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$7(g^{\prime }(x){)}^4=7{\left(\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\right)}^4=\frac{7}{(2x+1{)}^2}=f^{\prime }(x)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;-3)$, hệ số góc tiếp tuyến $k=f^{\prime }(0)=\frac{7}{1}=7$, bằng hệ số góc của $y=7x+2026$ nên hai đường song song.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $h(t)=\frac{200}{t+1}+10e^{-0,5t}$, nên $h^{\prime }(t)=-\frac{200}{(t+1{)}^2}-5e^{-0,5t}$. Tại $t=2$: $h^{\prime }(2)=-\frac{200}{9}-\frac{5}{e}=-\left(\frac{200}{9}+\frac{5}{e}\right)$. Vậy $a=200$, $b=9$ (phân số tối giản), do đó $a-b=200-9=191$.