Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bông có đủ hai màu nghĩa là chọn 2 trắng 1 đỏ hoặc 1 trắng 2 đỏ. Số cách: $C_5^2{C}_6^1+C_5^1{C}_6^2=10\cdot 6+5\cdot 15=60+75=135$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn và xếp 3 vận động viên (về nhất, nhì, ba) từ 8 vận động viên là một chỉnh hợp chập 3 của 8 phần tử: $A_8^3=\frac{8!}{5!}=8\cdot 7\cdot 6=336$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm có 13 học sinh (5 nam + 8 nữ). Chọn 5 học sinh bất kỳ từ 13 người: số cách là tổ hợp $C_{13}^5=\frac{13!}{5!8!}=\frac{13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{120}=1287$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 bạn nam làm tổ trưởng: 5 cách. Chọn 1 bạn nữ làm tổ phó: 5 cách. Chọn 1 thư ký từ 8 học sinh còn lại: 8 cách. Tổng: $5\times 5\times 8=200$ cách. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,6: chọn và sắp xếp 3 chữ số từ 6 chữ số, tức hoán vị chập 3 của 6: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Vậy lập được 120 số.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số 2, 4, 6, 8 là các hoán vị của 4 chữ số này: $4!=24$. Vậy có 24 số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 9 học sinh để giữ 2 chức danh khác nhau (tổ trưởng, tổ phó) là một chỉnh hợp: $A_9^2=9\cdot 8=72$.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 5 học sinh thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử: $5!=5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=120$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Xem Thảo và Linh đứng cạnh nhau như một khối. Có $2!$ cách đổi chỗ trong khối, và $4!$ cách xếp khối cùng 3 bạn còn lại thành hàng ngang. Vậy số cách là $2!\cdot 4!=2\cdot 24=48$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi vectơ khác $\vec{0}$ được xác định bởi một cặp (điểm đầu, điểm cuối) gồm 2 điểm phân biệt trong 18 điểm, và thứ tự có ý nghĩa (điểm đầu khác điểm cuối). Do đó số vectơ bằng số cách chọn có thứ tự 2 điểm trong 18 điểm: $A_{18}^2=18\cdot 17=306$.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau: chữ số hàng trăm khác 0 nên có 6 cách (1–6); hàng chục có 6 cách (7 chữ số trừ chữ đã dùng, kể cả 0); hàng đơn vị có 5 cách. Tổng: $6\cdot 6\cdot 5=180$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bông hồng có đủ hai màu nghĩa là chọn 2 đỏ 1 vàng hoặc 1 đỏ 2 vàng. Trường hợp 2 đỏ 1 vàng: $C_7^2\cdot C_8^1=21\cdot 8=168$. Trường hợp 1 đỏ 2 vàng: $C_7^1\cdot C_8^2=7\cdot 28=196$. Tổng số cách: $168+196=364$.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 học sinh từ 25 học sinh (không kể thứ tự) là tổ hợp chập 3 của 25: $C_{25}^3=\frac{25\cdot 24\cdot 23}{3!}=\frac{13800}{6}=2300$. Vậy có 2300 cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh có cả nam và nữ: chọn 1 nam trong 6 và 1 nữ trong 4, số cách là $6\cdot 4=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 học sinh từ 10 để giữ 2 chức vụ khác nhau (tổ trưởng, tổ phó) là một chỉnh hợp: $A_{10}^2=10\cdot 9=90$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác lồi $n$ cạnh là $\frac{n(n-3)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n-3)}{2}=44\Rightarrow n(n-3)=88\Rightarrow n^2-3n-88=0\Rightarrow (n-11)(n+8)=0$. Vì $n\ge 3$ nên $n=11$. Vậy đa giác có 11 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Đội văn nghệ có 9 học sinh: 4 em lớp 12A, 3 em lớp 12B, 2 em lớp 12C. Cần chọn 5 em sao cho mỗi lớp có ít nhất 1 em. Xét các bộ $(a,b,c)$ với $a+b+c=5$, $1\le a\le 4$, $1\le b\le 3$, $1\le c\le 2$:
- $(1,3,1)$: $C_4^1{C}_3^3{C}_2^1=4\cdot 1\cdot 2=8$.
- $(2,2,1)$: $C_4^2{C}_3^2{C}_2^1=6\cdot 3\cdot 2=36$.
- $(3,1,1)$: $C_4^3{C}_3^1{C}_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$.
- $(1,2,2)$: $C_4^1{C}_3^2{C}_2^2=4\cdot 3\cdot 1=12$.
- $(2,1,2)$: $C_4^2{C}_3^1{C}_2^2=6\cdot 3\cdot 1=18$.
Tổng: $8+36+24+12+18=98$ cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác cần 3 đỉnh không thẳng hàng. Vì các điểm trên cùng một đường thẳng không tạo thành tam giác, mỗi tam giác phải có 2 điểm trên một đường và 1 điểm trên đường kia. Trường hợp 1: 2 điểm trên $d_1$ và 1 điểm trên $d_2$: $C_{10}^2\cdot 7=45\cdot 7=315$. Trường hợp 2: 2 điểm trên $d_2$ và 1 điểm trên $d_1$: $C_7^2\cdot 10=21\cdot 10=210$. Tổng: $315+210=525$ tam giác.

(AI giải đề cho tôi)
Xét khối ba chữ số liên tiếp '123' hoặc '321' (chữ số 2 đứng giữa 1 và 3): có 2 cách tạo khối. Chọn thêm 4 chữ số từ 7 chữ số còn lại $\{0;4;5;6;7;8;9\}$: $C_7^4=35$ cách. Xếp 5 đối tượng (khối và 4 chữ số): $5!=120$ cách. Số số thỏa mãn (chưa loại trường hợp 0 đứng đầu): $2\cdot 35\cdot 120=8400$. Loại trường hợp 0 đứng đầu: khi đó khối không chứa 0, chọn 3 chữ số từ 6 chữ số $\{4;5;6;7;8;9\}$: $C_6^3=20$ cách; xếp 4 đối tượng (khối và 3 chữ số) vào 4 vị trí sau chữ số 0: $4!=24$ cách. Số số bị tính thừa: $2\cdot 20\cdot 24=960$. Kết quả: $8400-960=7440$. Vậy có 7440 số thỏa mãn.