Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 3 chữ số khác nhau đôi một, lập từ 3 chữ số 1, 2, 3. Đây là số các hoán vị của 3 phần tử: $3!=3\cdot 2\cdot 1=6$. Cụ thể: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn 3 bạn từ 7 bạn (không kể thứ tự) là tổ hợp: $C_7^3=\frac{7!}{3!4!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{6}=35$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) An và Bình ngồi hai đầu ghế: $2!\cdot 8!=2\cdot 40320=80640\ne 40320$ → Sai.
b) Số cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế: $10!=3628800$ → Đúng.
c) 5 bạn nam ngồi kề nhau: coi 5 nam là một khối, xếp $6!\cdot 5!=720\cdot 120=86400\ne 240$ → Sai.
d) Xen kẽ nam–nữ: có 2 sơ đồ (NỮNỮ... hoặc ỮNỮN...), mỗi sơ đồ $5!\cdot 5!=14400$ cách, tổng $28800$. Đếm cách An kề Bình: trong một sơ đồ, An ở vị trí nam đầu hàng có 1 vị trí nữ kề, 4 vị trí nam còn lại mỗi vị trí có 2 vị trí nữ kề, nên có $1+4\cdot 2=9$ cặp vị trí (An, Bình) kề nhau; với mỗi cặp, 4 nam còn lại và 4 nữ còn lại xếp $4!\cdot 4!=576$ cách. Vậy số cách An kề Bình: $2\cdot 9\cdot 576=10368$. Số cách An không kề Bình: $28800-10368=18432$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
An và Bình ngồi hai đầu ghế: $2!\cdot 8!=80640$, không phải 40320.
b) (AI giải đề cho tôi)
$10!=3628800$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$6!\cdot 5!=86400$, không phải 240.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng xen kẽ $2\cdot 5!\cdot 5!=28800$; An kề Bình $2\cdot 9\cdot 4!\cdot 4!=10368$; hiệu $28800-10368=18432$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13 (2,0 điểm)

a) Xếp 10 người (5 nam, 4 nữ, 1 giáo viên) vào 10 ghế, mỗi ghế đúng một người là một hoán vị của 10 phần tử:
$$10!=3628800\text{ caˊch}.$$

b) Giáo viên phải ngồi giữa 2 học sinh nữ, tức tồn tại khối 3 ghế liên tiếp với giáo viên ở ghế giữa và hai ghế hai bên là 2 học sinh nữ.
- Chọn vị trí ghế của giáo viên: để có ghế hai bên thì giáo viên phải ngồi ở ghế từ số 2 đến số 9, nên có 8 vị trí.
- Chọn và xếp 2 trong 4 học sinh nữ vào 2 ghế hai bên giáo viên: $A_4^2=\frac{4!}{2!}=12$ cách.
- Xếp 7 người còn lại (5 nam và 2 nữ còn lại) vào 7 ghế còn lại: $7!=5040$ cách.

Vậy số cách xếp thỏa mãn:
$$8\times 12\times 5040=483840\text{ caˊch}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 người từ 30 học sinh cho 3 chức vụ khác nhau (lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó lao động) là một chỉnh hợp: $A_{30}^3=30\cdot 29\cdot 28=24360$ cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số với chữ số đứng trước không nhỏ hơn chữ số đứng sau tức là các chữ số không giảm: $1\le a\le b\le c\le d\le 9$ (nếu có chữ số 0 thì 0 phải đứng đầu, không hợp lệ). Vậy mỗi số tương ứng một cách chọn 4 phần tử (có lặp, không xét thứ tự) từ tập {1,...,9}. Số cách là $C_{9+4-1}^4=C_{12}^4=\frac{12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}{24}=495$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 nam từ 6 nam: $C_6^4=15$ cách. Chọn 3 nữ từ 4 nữ: $C_4^3=4$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $C_6^4\cdot C_4^3=15\cdot 4=60$ cách. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 6 học sinh (đối tượng khác nhau) vào 6 ghế trong 10 ghế (vị trí khác nhau, có thứ tự) là một chỉnh hợp chập 6 của 10, nên số cách là $A_{10}^6$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số đôi một khác nhau lập từ 6 chữ số 1,2,3,4,5,6 là hoán vị chập 3 của 6 phần tử: $A_6^3=6imes5imes4=120$. Vậy lập được 120 số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 bông hồng có đủ hai màu nghĩa là chọn 2 bông một màu và 1 bông màu kia. Trường hợp 1: 2 bông đỏ và 1 bông vàng: $C_7^2\cdot C_8^1=21\cdot 8=168$. Trường hợp 2: 1 bông đỏ và 2 bông vàng: $C_7^1\cdot C_8^2=7\cdot 28=196$. Tổng số cách: $168+196=364$.

(AI giải đề cho tôi)
Đội văn nghệ có 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B, 2 học sinh lớp 12C (tổng 9 học sinh). Cần chọn 5 học sinh sao cho mỗi lớp đều có người được chọn. Vì lớp 12C chỉ có 2 học sinh, các phân phối có thể của 5 người theo thứ tự (12A, 12B, 12C) là: (2,2,1), (2,1,2), (1,2,2), (3,1,1), (1,3,1), (1,1,3).
- (2,2,1): $C_4^2{C}_3^2{C}_2^1=6\cdot 3\cdot 2=36$
- (2,1,2): $C_4^2{C}_3^1{C}_2^2=6\cdot 3\cdot 1=18$
- (1,2,2): $C_4^1{C}_3^2{C}_2^2=4\cdot 3\cdot 1=12$
- (3,1,1): $C_4^3{C}_3^1{C}_2^1=4\cdot 3\cdot 2=24$
- (1,3,1): $C_4^1{C}_3^3{C}_2^1=4\cdot 1\cdot 2=8$
- (1,1,3): không thể vì lớp 12C chỉ có 2 học sinh → loại (đã liệt kê (1,1,3) nhưng thực tế $C_2^3=0$).
Tổng: $36+18+12+24+8=98$ cách chọn.

(AI giải đề cho tôi)
Ba học sinh lớp A phải ngồi vào 3 ghế có số thứ tự cách đều nhau, tức 3 số tạo cấp số cộng. Các bộ ghế thoả mãn: $\{1,2,3\}$, $\{2,3,4\}$, $\{3,4,5\}$, $\{4,5,6\}$, $\{1,3,5\}$, $\{2,4,6\}$ — tổng cộng 6 bộ. Với mỗi bộ ghế của A, xét 3 ghế còn lại dành cho 2 học sinh B và 1 học sinh C, với điều kiện mọi ghế kề ghế của C (nếu có) phải là ghế của B:
- $S=\{1,2,3\}$, còn $\{4,5,6\}$: C ngồi ghế 5 (kề 4,6 đều là B) hoặc ghế 6 (kề 5 là B); ghế 4 kề ghế 3 thuộc A nên bị loại → 2 cách.
- $S=\{2,3,4\}$, còn $\{1,5,6\}$: ghế 1 kề ghế 2 (A), ghế 5 kề ghế 4 (A), chỉ ghế 6 thoả → 1 cách.
- $S=\{3,4,5\}$, còn $\{1,2,6\}$: chỉ ghế 1 thoả (kề ghế 2 là B) → 1 cách.
- $S=\{4,5,6\}$: đối xứng trường hợp đầu → 2 cách.
- $S=\{1,3,5\}$ và $S=\{2,4,6\}$: mọi ghế còn lại đều kề ghế của A → 0 cách.
Tổng số cách chọn vị trí cho C: $2+1+1+2=6$.
Với mỗi cách chọn vị trí, 3 học sinh lớp A hoán vị trong 3 ghế của mình: $3!=6$ cách; 2 học sinh lớp B hoán vị trong 2 ghế còn lại: $2!=2$ cách.
Vậy tổng số cách xếp là $6\times 6\times 2=72$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $n$ là tổng số vận động viên, trong đó có 2 nữ nên có $n-2$ nam. Mỗi cặp đấu 2 ván.

- Số ván các vận động viên (nam) chơi với nhau: mỗi cặp nam đấu 2 ván, tổng $2C_{n-2}^2=(n-2)(n-3)$ ván.
- Số ván họ chơi với hai vận động viên nữ: mỗi nam chơi 2 ván với mỗi nữ, tức $2\cdot 2\cdot (n-2)=4(n-2)$ ván.

Theo đề, số ván nam chơi với nhau hơn số ván họ chơi với hai nữ là 66:
$$(n-2)(n-3)-4(n-2)=66$$
$$(n-2)[(n-3)-4]=66\Rightarrow (n-2)(n-7)=66$$
$$n^2-9n+14=66\Rightarrow n^2-9n-52=0$$
$$n=\frac{9+\sqrt{81+208}}{2}=\frac{9+17}{2}=13(n>0).$$

Vậy có 13 vận động viên tham gia giải (11 nam và 2 nữ).

Tổng số ván tất cả các vận động viên đã chơi:
$$2C_{13}^2=13\cdot 12=156\text{ vaˊn}.$$

Kiểm tra: số ván nam chơi với nhau $2C_{11}^2=11\cdot 10=110$; số ván nam chơi với 2 nữ $4\cdot 11=44$; hiệu $110-44=66$ ✓ thỏa mãn đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi học sinh nhận 2 sách khác thể loại nên mỗi người nhận một trong các bộ: {Toán, Lý}, {Toán, Hóa}, {Lý, Hóa}. Gọi $x,y,z$ lần lượt là số học sinh nhận bộ TL, TH, LH. Ta có: $x+y+z=9$; số sách Toán: $x+y=7$; số sách Lý: $x+z=6$; số sách Hóa: $y+z=5$. Giải hệ được $x=4,y=3,z=2$. Giờ đếm số cách chia sao cho A và B nhận cùng loại bộ:
- A, B cùng nhận TL: 7 học sinh còn lại có $x=2,y=3,z=2$, số cách $=\frac{7!}{2!3!2!}=420$.
- A, B cùng nhận TH: 7 học sinh còn lại có $x=4,y=1,z=2$, số cách $=\frac{7!}{4!1!2!}=105$.
- A, B cùng nhận LH: 7 học sinh còn lại có $x=4,y=3,z=0$, số cách $=\frac{7!}{4!3!}=35$.
Tổng số cách $=420+105+35=560$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 nam từ 6 nam: $C_6^4=15$ cách. Chọn 3 nữ từ 4 nữ: $C_4^3=4$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $C_6^4\cdot C_4^3=15\cdot 4=60$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 6 học sinh (đối tượng khác nhau) vào 6 ghế chọn từ 10 ghế trên hàng ngang là chọn 6 ghế từ 10 và sắp xếp thứ tự, tức là chỉnh hợp chập 6 của 10: $A_{10}^6$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập từ 9 chữ số 1,...,9 là một chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử: $A_9^5=\frac{9!}{4!}=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5=15120$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 3 chữ số khác nhau, chọn từ 5 chữ số 2, 3, 4, 5, 6 (không có chữ số 0 nên không lo chữ số đầu). Đây là chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử: $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$. Vậy có 60 số, tương ứng đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ba chức vụ khác nhau nên chọn theo thứ tự từ 20 thành viên: $A_{20}^3=20\cdot 19\cdot 18=6840$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn 3 điểm trong 15 điểm (không xét thứ tự). Vậy số tam giác là $C_{15}^3$.