Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Số chia hết cho 5 nên chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. TH1: tận cùng 0, chọn 2 chữ số khác nhau từ $\{1,2,3,4,5\}$ cho hàng trăm, hàng chục: $A_5^2=20$. TH2: tận cùng 5, hàng trăm chọn từ $\{1,2,3,4\}$ (4 cách), hàng chục chọn từ 4 chữ số còn lại (gồm 0): $4\cdot 4=16$. Tổng $20+16=36$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số học sinh giỏi của ba khối là $26+43+59=128$. Vì chỉ cần chọn 1 học sinh bất kỳ trong 128 em để đi dự trại hè, nên theo quy tắc cộng có $128$ cách chọn. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Cần chọn 2 học sinh từ 9 học sinh để giữ 2 chức danh khác nhau (tổ trưởng và tổ phó), nên thứ tự có ý nghĩa. Số cách là $A_9^2=9\cdot 8=72$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam trong 6 bạn: $C_6^1$ cách; chọn 1 nữ trong 9 bạn: $C_9^1$ cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn 1 nam và 1 nữ là $C_6^1\cdot C_9^1=6\cdot 9=54$ cách. Vậy đáp án là $C_6^1.C_9^1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 học sinh nữ và 6 học sinh nam, tổng cộng $5+6=11$ học sinh. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh đi trực nhật nên số cách chọn là $11$ (quy tắc cộng). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bó hoa có 5 hoa đỏ và 4 hoa trắng, tổng 9 hoa. a) Chọn 3 bông tùy ý: $C_9^3=84$ cách → đúng. b) Chọn 4 bông hoa màu đỏ: $C_5^4=5$ cách, không phải 9 → sai. c) Chọn 3 bông cùng màu: $C_5^3+C_4^3=10+4=14$ cách, không phải 40 → sai. d) Chọn 3 bông có đủ hai màu: $C_9^3-(C_5^3+C_4^3)=84-14=70$ cách → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 4 bông từ 5 hoa đỏ: $C_5^4=5$ cách, không phải 9.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cùng màu: $C_5^3+C_4^3=10+4=14$ cách, không phải 40.
d) (AI giải đề cho tôi)
Có đủ hai màu: $C_9^3-(C_5^3+C_4^3)=84-14=70$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 5 người từ 10 người (không ràng buộc thêm về nam/nữ), số cách là tổ hợp: $C_{10}^5=\frac{10!}{5!5!}=252$.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn ba chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6: xét chữ số tận cùng. Nếu tận cùng là 0: chọn 2 chữ số đầu từ 6 chữ số còn lại theo thứ tự: $6\cdot 5=30$. Nếu tận cùng là 2, 4 hoặc 6: chữ số hàng trăm khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 5 cách, chữ số hàng chục có 5 cách, mỗi trường hợp $25$ số, ba trường hợp được $75$ số. Tổng: $30+75=105$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 viên bi từ 13 viên bi sao cho có ít nhất một viên bi xanh. Dùng phương pháp bù trừ: tổng số cách chọn 3 viên bi từ 13 viên bi là $C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{6}=286$. Số cách chọn 3 viên bi trong đó không có viên bi xanh (tức chọn cả 3 từ 7 viên bi đỏ) là $C_7^3=35$. Vậy số cách chọn có ít nhất một viên bi xanh là $286-35=251$ (cách). Kiểm tra lại bằng cách tính trực tiếp: 1 xanh 2 đỏ: $C_6^1{C}_7^2=6\cdot 21=126$; 2 xanh 1 đỏ: $C_6^2{C}_7^1=15\cdot 7=105$; 3 xanh: $C_6^3=20$. Tổng $126+105+20=251$, khớp kết quả.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy 2 bi đủ cả 2 màu nghĩa là chọn 1 bi đỏ và 1 bi xanh. Có $C_5^1\cdot C_4^1=5\cdot 4=20$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $C_n^k=\frac{n!}{(n-k)!k!}$, với $0\le k\le n$. Các phương án A, B dùng ký hiệu chỉnh hợp $A_n^k$ (sai vì chỉnh hợp là $\frac{n!}{(n-k)!}$), phương án D thiếu thừa số $k!$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau từ tập $A=\{1,2,3,4\}$ là các hoán vị của 4 phần tử: $4!=24$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì có thứ tự đá (quả 1 đến quả 5) nên đây là chỉnh hợp: chọn và sắp xếp 5 cầu thủ từ 11, số cách là $A_{11}^5$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi kí tự có 10 cách chọn (0–9), mật khẩu gồm 4 kí tự nên số mật khẩu là $10^4=10000$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tổ có 5 nam, 3 nữ. a) Xếp 3 nữ thành hàng ngang: $3!=6$ cách, không phải $3^3=27$, nên sai. b) Chọn 1 nam và 1 nữ: $5\times 3=15$ cách, đúng. c) Nhóm 4 học sinh có ít nhất 2 nữ: trường hợp 2 nữ 2 nam: $C(3,2)\cdot C(5,2)=3\cdot 10=30$; trường hợp 3 nữ 1 nam: $C(3,3)\cdot C(5,1)=5$; tổng 35 cách, không phải 30, nên sai. d) Xếp 5 nam trước: $5!$ cách, tạo 6 khoảng trống, chọn 3 chỗ cho 3 nữ: $A(6,3)$ cách, tổng $5!\cdot A(6,3)$, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 3 học sinh nữ thành hàng ngang là hoán vị của 3 người: $3!=6$ cách, không phải $3^3=27$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nam có 5 cách, chọn 1 nữ có 3 cách, theo quy tắc nhân: $5\times 3=15$ cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ít nhất 2 nữ gồm: 2 nữ 2 nam: $C(3,2)\cdot C(5,2)=30$ cách; 3 nữ 1 nam: $C(3,3)\cdot C(5,1)=5$ cách. Tổng 35 cách, không phải 30.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 nam: $5!$ cách, tạo 6 khoảng trống (kể cả hai đầu), chọn 3 trong 6 chỗ cho 3 nữ: $A(6,3)$ cách. Tổng $5!\cdot A(6,3)$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi thực đơn gồm: chọn 1 món khai vị (2 cách), 1 món chính (4 cách), 1 món tráng miệng (5 cách). Theo quy tắc nhân, số thực đơn khác nhau là $2\times 4\times 5=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Có tất cả $8+9=17$ bạn phân biệt, xếp thành một hàng dọc là một hoán vị của 17 phần tử. Số cách xếp là $17!=355687428096000$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần đếm các số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số $\{1,2,3,5,6,9\}$ và nhỏ hơn $6256$.

TH1: Chữ số đầu tiên nhỏ hơn 6, tức là 1, 2, 3, 5 (4 cách). Khi đó ba chữ số còn lại tùy ý chọn từ 5 chữ số còn lại: $4\cdot 5\cdot 4\cdot 3=240$ số.

TH2: Chữ số đầu tiên là 6. Số có dạng $6abc<6256$.
- Nếu $a<2$: chỉ có $a=1$ (1 cách), khi đó $b,c$ chọn từ 5 chữ số còn lại: $1\cdot 5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Nếu $a=2$: cần $b<5$, tức $b\in \{1,3\}$ (2 cách), khi đó $c$ chọn từ 4 chữ số còn lại: $2\cdot 4\cdot 3=24$ số.
- Nếu $b=5$: cần $c<6$, tức $c\in \{1,3\}$ (2 cách), chữ số cuối chọn từ 3 chữ số còn lại: $2\cdot 3=6$ số.

Tổng: $240+60+24+6=330$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Khối 10 có tất cả $280+325=605$ học sinh. Cần chọn 1 học sinh bất kỳ trong khối 10, theo quy tắc cộng số cách chọn là $280+325=605$ cách. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đôi gồm 9 nam và 11 nữ. Một đôi nam – nữ được tạo bằng cách chọn 1 nam (9 cách) và 1 nữ (11 cách). Theo quy tắc nhân, số cách là $9\times 11=99$. Vậy chọn đáp án C.