Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp đường tròn tâm O, cung giữa hai đỉnh kề nhau là 18°. Xét 4 đỉnh theo thứ tự, gọi a,b,c,d là số cung 18° giữa các đỉnh liên tiếp (a+b+c+d=20, các số nguyên dương). Góc nội tiếp bằng nửa cung bị chặn không chứa đỉnh.

a) Góc ở đỉnh thứ hai tù ⟺ a+b ≤ 9; góc ở đỉnh thứ ba tù ⟺ b+c ≤ 9. Vì tứ giác nội tiếp có hai góc đối bù 180° nên hai góc tù phải kề nhau và mỗi tứ giác có đúng một cặp góc tù kề nhau. Đếm: với mỗi b=1..8, a,c ≤ 9-b nên số cách là (9-b)², tổng Σ_{b=1}^{8}(9-b)² = 1²+...+8² = 204 ≠ 480 → Sai.

b) Số đường chéo = 20·17/2 = 170 → Đúng.

c) Góc vuông ⟺ cung bị chặn đúng 10 đơn vị (180°). Hai góc vuông kề nhau sẽ kéo theo góc thứ ba cũng vuông (vì tổng hai cung tương ứng cũng bằng 10), nên phải là hai góc vuông đối nhau. Trường hợp góc ở đỉnh 2 và 4 vuông: a+b=10, c+d=10, có 9·9=81 cách, loại 9 cách tạo thành hình chữ nhật (4 góc vuông) còn 72; tương tự trường hợp góc ở đỉnh 1 và 3 vuông có 72 cách. Tổng 144 ≠ 1530 → Sai.

d) Số tam giác = C(20,3) = 1140 ≠ 6840 → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai, khớp bảng đáp án mã đề 0101 dòng 23 (S Đ S S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đếm chính xác được 204 cách (với mỗi b=1..8 có (9-b)² cách), không phải 480.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo của đa giác n đỉnh là n(n-3)/2 = 20·17/2 = 170.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai góc vuông phải đối nhau; đếm được 72+72 = 144 cách, không phải 1530.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số tam giác là C(20,3) = 1140, không phải 6840.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $T$, $L$, $H$ lần lượt là sách Toán (5), Vật lí (7), Hóa (8). Bình và Bảo nhận cùng một cặp môn khác nhau, có 3 khả năng.

TH1: Bình, Bảo nhận $(T,L)$. Còn lại $3T$, $5L$, $8H$ chia cho 8 học sinh, mỗi người 2 sách khác môn. Gọi $x$ = số cặp TL, $y$ = số cặp TH, $z$ = số cặp LH: $x+y=3$, $x+z=5$, $y+z=8⟹x=0$, $y=3$, $z=5$. Số cách phân cho 8 học sinh phân biệt: $\frac{8!}{3!5!}=56$.

TH2: Bình, Bảo nhận $(T,H)$. Còn lại $3T$, $7L$, $6H$: $x+y=3$, $x+z=7$, $y+z=6⟹x=2$, $y=1$, $z=5$. Số cách: $\frac{8!}{2!1!5!}=168$.

TH3: Bình, Bảo nhận $(L,H)$. Còn lại $5T$, $5L$, $6H$: $x+y=5$, $x+z=5$, $y+z=6⟹x=2$, $y=3$, $z=3$. Số cách: $\frac{8!}{2!3!3!}=560$.

Tổng: $56+168+560=784$ cách, trùng với đáp án nguồn 784.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$ với các chữ số đôi một khác nhau thuộc $\{1;2;3;4;5;6\}$, số chẵn nên $d\in \{2;4;6\}$ (3 cách).

Tổng số số chẵn có bốn chữ số khác nhau: chọn $d$: 3 cách; chọn $a$: 5 cách; chọn $b$: 4 cách; chọn $c$: 3 cách, tức $3\cdot 5\cdot 4\cdot 3=180$ số.

Loại các số không lớn hơn 2026: vì mọi chữ số đều $\ge 1$, số bắt đầu bằng chữ số 1 thì nhỏ hơn 2026. Với $a=1$: $d$ có 3 cách, $b,c$ chọn từ 4 chữ số còn lại theo thứ tự $4\cdot 3=12$ cách, nên có $3\cdot 12=36$ số (tất cả đều $<2026$).

Với $a=2$: do $b\ge 1$ nên số dạng $\overline{2bcd}\ge 2100>2026$, không cần loại thêm.

Kết quả: $180-36=144$ số, khớp với đáp án nguồn (144).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 7 học sinh là $C_7^3=35$. Số cách chọn 3 học sinh toàn nam là $C_4^3=4$, số cách chọn 3 học sinh toàn nữ là $C_3^3=1$. Vậy số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là $35-4-1=30$. Cách khác: chọn 1 nam 2 nữ: $C_4^1\cdot C_3^2=12$; chọn 2 nam 1 nữ: $C_4^2\cdot C_3^1=18$; tổng $12+18=30$. Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Số gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập $S=\{1;2;3;4;5;6\}$ là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử: $A_6^4=\frac{6!}{2!}=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1106, câu 2: A).

Trường hợp 1:
+) Hàng 1 gồm: 1 nữ, 4 nam trong đó có Hùng.
- Xếp Hùng vào hàng => có 1 cách.
- Chọn 2 nam từ 5 nam và xếp cùng hàng với Hùng => có: $C_5^2.2!=20$ cách.
- Chọn 1 nam từ 3 nam để xếp cùng hàng với Hùng có: $C_3^1=3$ cách.
- Chọn 1 nữ từ 4 nữ để xếp cùng hàng với Hùng có: $C_4^1=4$ cách.
- Coi Hùng và 2 bạn nam xếp liền kề là 1 phần tử, xếp 3 phần tử vào 3 vị trí có: $3!=6$ cách.
+) Hàng 2 gồm: 2 nam và 3 nữ.
Xếp 3 nữ vào 3 vị trí có: $3!=6$ cách.
Khi đó giữa 3 nữ có hai khoảng trống, ta xếp 2 nam vào 2 khoảng trống đó, có: $2!=2$ cách.
Do đó, trường hợp này có: $2.\left(\mathrm{1.20.3.4.6.6.2}\right)=34560$ cách.

Trường hợp 2:
+) Hàng 1 gồm: 2 nữ, 3 nam, trong đó có Hùng.
- Xếp Hùng vào hàng => có 1 cách.
- Chọn 2 nam từ 5 nam và xếp cùng hàng với Hùng, có: $C_5^2.2!=20$ cách.
- Chọn 2 nữ từ 4 nữ để xếp cùng hàng với Hùng có: $C_4^2=6$ cách.
- Xếp 2 bạn nữ vào 2 vị trí có: 2!=2 cách.
- Coi Hùng và 2 bạn nam xếp liền kề là 1 phần tử ta xếp vào khoảng trống giữa 2 bạn nữ, có: 1 cách.
+) Hàng 2 gồm: 3 nam và 2 nữ.
Xếp 3 nam vào 3 vị trí có: 3!=6 cách.
Khi đó có 4 khoảng trống được tạo ra, chọn 2 khoảng trống và xếp 2 nữ vào 2 khoảng trống đó, có: $A_4^2=12$ cách.
Do đó, trường hợp này có: $2(\mathrm{1.20.6.2.1.6.12})=34560$ cách.
Theo quy tắc cộng => có 34560 + 34560 = 69120 (cách).

Trường hợp 1:
+) Hàng 1 gồm: 1 nữ, 4 nam trong đó có Hùng.
- Xếp Hùng vào hàng => có 1 cách.
- Chọn 2 nam từ 5 nam và xếp cùng hàng với Hùng => có: $C_5^2.2!=20$ cách.
- Chọn 1 nam từ 3 nam để xếp cùng hàng với Hùng có: $C_3^1=3$ cách.
- Chọn 1 nữ từ 4 nữ để xếp cùng hàng với Hùng có: $C_4^1=4$ cách.
- Coi Hùng và 2 bạn nam xếp liền kề là 1 phần tử, xếp 3 phần tử vào 3 vị trí có: $3!=6$ cách.
+) Hàng 2 gồm: 2 nam và 3 nữ.
Xếp 3 nữ vào 3 vị trí có: $3!=6$ cách.
Khi đó giữa 3 nữ có hai khoảng trống, ta xếp 2 nam vào 2 khoảng trống đó, có: $2!=2$ cách.
Do đó, trường hợp này có: $2.\left(\mathrm{1.20.3.4.6.6.2}\right)=34560$ cách.

Trường hợp 2:
+) Hàng 1 gồm: 2 nữ, 3 nam, trong đó có Hùng.
- Xếp Hùng vào hàng => có 1 cách.
- Chọn 2 nam từ 5 nam và xếp cùng hàng với Hùng, có: $C_5^2.2!=20$ cách.
- Chọn 2 nữ từ 4 nữ để xếp cùng hàng với Hùng có: $C_4^2=6$ cách.
- Xếp 2 bạn nữ vào 2 vị trí có: 2!=2 cách.
- Coi Hùng và 2 bạn nam xếp liền kề là 1 phần tử ta xếp vào khoảng trống giữa 2 bạn nữ, có: 1 cách.
+) Hàng 2 gồm: 3 nam và 2 nữ.
Xếp 3 nam vào 3 vị trí có: 3!=6 cách.
Khi đó có 4 khoảng trống được tạo ra, chọn 2 khoảng trống và xếp 2 nữ vào 2 khoảng trống đó, có: $A_4^2=12$ cách.
Do đó, trường hợp này có: $2(\mathrm{1.20.6.2.1.6.12})=34560$ cách.
Theo quy tắc cộng => có 34560 + 34560 = 69120 (cách).

(AI giải đề cho tôi)
Số gồm bốn chữ số khác nhau lấy từ tập $S=\{1;2;3;4;5;6\}$ là một chỉnh hợp chập 4 của 6 phần tử: $A_6^4=6\cdot 5\cdot 4\cdot 3=360$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (Câu 9, mã đề 1105: D).

(Lời giải chính thức ghi "Đáp số: 2502"; bảng đáp án mã 1307 ghi 90 — xung đột, xem issues.)

Cách 1: Đặt mỗi ngôi sao là 1 điểm và mỗi bông hoa là 0 điểm, khi đó bài toán trở thành xếp các số vào bảng sao cho tổng mỗi hàng hoặc mỗi cột bằng 2. Gọi $A$: “Tổng mỗi hàng bằng 2” và $B$: “Tổng mỗi cột là 2”. Ta có: $n(A)=n(B)={\left(C_4^2\right)}^4=1296$. Khi đó ta cần tìm số phần tử của tập $A\cup B$. Ta xét biến cố $A\cap B$: “Tổng mỗi hàng và cột bằng 2”. Ta xét các trường hợp hàng ngang thỏa mãn là: Loại $I$: $(1;1;0;0)$, $(0;0;1;1)$. Loại $II$: $(0;1;1;0)$, $(1;0;0;1)$. Loại $III$: $(1;0;1;0)$, $(0;1;0;1)$.

Trường hợp 1: Nếu cộng mỗi cặp cùng loại ta thấy rằng tổng các hàng sẽ bằng 1 nên ta sẽ dùng 2 hàng loại I là $\left(1;1;0;0\right)$, $\left(0;0;1;1\right)$. Xếp 2 hàng $\left(1;1;0;0\right)$ vào 2 trong 4 hàng có $C_4^2$ cách và xếp 2 hàng $\left(0;0;1;1\right)$ vào 2 hàng còn lại có 1 cách. Tương tự với loại $II$ và $III$, trường hợp này ta có $C_4^2\cdot 1\cdot 3=18$ cách.

Trường hợp 2: Nếu cộng 4 cặp khác nhau ở 2 loại ta thấy rằng tổng các hàng sẽ là 2 nên ta sẽ dùng 4 hàng từ 2 loại. Chọn 2 loại từ 3 loại có $C_3^2$ cách. Sau khi chọn được 2 loại, ta sẽ có 4 hàng. Do các hàng đối một khác nhau nên hoán vị hàng có 4! cách. Trường hợp này ta có $C_3^2\cdot 4!=72$.

Vậy các trường hợp của biến cố $A\cap B$ là $18+72=90$. Khi đó, $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)-n\left(A\cap B\right)=2502$.

Cách 2: Đặt mỗi ngôi sao biểu diễn bởi số 1 và mỗi bông hoa biểu diễn bởi số 0. Ta sẽ xếp lần lượt từng hàng: Hàng $I$: Chọn vị trí cho 2 số 1 có $C_4^2$ và 2 số 0 vào hai vị trí còn lại có 1 cách, nên hàng $I$ có 6 cách xếp. Hàng $II$ và $III$ ta sẽ xét ba trường hợp:

Trường hợp 1: Hàng thứ $II$ giống hàng $I$ sẽ có 1 cách xếp. Hàng thứ $III$ do đã có 2 cột đủ số 1 nên hàng thứ $III$ chỉ có 1 cách xếp vào 2 cột còn lại.

Trường hợp 2: Hàng thứ $II$ có vị trí 1 số 1 giống với vị trí của 1 số 1 trên hàng $I$ và số 1 còn lại khác vị trí số còn lại của hàng $I$, lúc này hàng $II$ sẽ có $2\cdot 2=4$ cách xếp. Hàng thứ $III$ phải có 1 số 1 vào cột chưa có số 1 nên có 1 cách. Số 1 còn lại vào 2 cột chỉ có số 1 sẽ có 2, lúc này hàng $III$ sẽ có $1\cdot 2=2$ cách xếp.

Trường hợp 3: Hàng thứ $II$ không có vị trí số 1 trùng vị trí số 1 ở hàng $I$ nên có 1 cách xếp. Do mỗi cột chỉ mới có 1 số 1 nên hàng thứ $III$ xếp bất kì nên hàng $III$ có 6 cách xếp. Hàng $IV$: Hàng thứ $IV$ sẽ điều chỉnh để thỏa theo hàng $I$, $II$ và $III$ nên chỉ có 1 cách xếp.

Vậy có tất cả $6\cdot (1\cdot 1+4\cdot 2+1\cdot 6)\cdot 1=90$ cách xếp thỏa (đây là số cách của $A\cap B$ theo Cách 1).

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo đáp án nguồn trang 11: Câu 1: a-D, b-S, c-D, d-D.)
a) Đáp án nguồn: a-D (Đúng).
b) Đáp án nguồn: b-S (Sai).
c) Đáp án nguồn: c-D (Đúng).
d) Đáp án nguồn: d-D (Đúng).

Đáp án nguồn (trang 11): 2) 126.

Đáp án nguồn (trang 11): a) $C_{13}^5=1287$. b) $C_{13}^5-(C_8^5+C_5^1{C}_8^4)=881$. c) $8!\times A_9^5=\mathrm{609.638.400}$.

(AI giải đề cho tôi)
Bữa ăn gồm 1 món chính và 1 đồ uống. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $5\times 4=20$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (6B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn lớp trưởng và lớp phó học tập là chọn 2 người từ 40 học sinh có phân biệt vai trò (thứ tự), nên số cách là $A_{40}^2=40\cdot 39=1560$. Nếu dùng tổ hợp $C_{40}^2$ thì không phân biệt vai trò, sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (7C).

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 7 cuốn sách (4 Toán + 3 Lý, tất cả khác nhau) thành một hàng ngang là một hoán vị của 7 phần tử phân biệt, số cách là $7!=5040$. Đáp án khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số khác nhau từ {0,1,2,3,4,5}: chữ số hàng trăm có 5 cách (khác 0), hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: 5×5×4 = 100. Khớp đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Cố định bạn C vào ghế chính giữa (chỗ thứ 3). Bốn bạn còn lại A, B, D, E được xếp vào 4 chỗ còn lại: số cách là $4!=24$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ các chữ số 1,2,3,4,5:
a) Số có một chữ số: có 5 cách chọn 1 trong 5 chữ số → 5 số. Đúng.
b) Số có hai chữ số (chữ số được lặp lại): 5×5=25 số, không phải 20. Sai.
c) Số có ba chữ số khác nhau: 5×4×3=60 số. Đúng.
d) Số có ba chữ số khác nhau không nhỏ hơn 342: xét hàng trăm:
- Hàng trăm = 4 hoặc 5: mỗi trường hợp 4×3=12 số, tổng 24 số (đều ≥342).
- Hàng trăm = 3: cần số ≥342.
+ Hàng chục = 4: 34x với x∈{1,2,5}: chỉ 342, 345 thỏa → 2 số.
+ Hàng chục = 5: 35x với x∈{1,2,4}: 3 số đều thỏa → 3 số.
+ Hàng chục = 1 hoặc 2: không thỏa.
Vậy tổng: 24+2+3=29... kiểm tra lại: hàng trăm=3, hàng chục=4, đơn vị ∈{1,2,5}: 341,342,345; ≥342 có 342,345 → 2 số. Tổng 24+2+3=29? Cần tính lại hàng trăm=3, hàng chục=4: 2 số; hàng chục=5: 3 số; cộng 24 → 29 số. Thực ra đếm chính xác: 24+5=29 số, không phải 32. Sai.
(Lưu ý: nếu đề nghĩa 'lớn hơn 342' thì kết quả 28, cũng khác 32.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 5 chữ số nên lập được 5 số có một chữ số: 1,2,3,4,5.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số có hai chữ số: hàng chục 5 cách, hàng đơn vị 5 cách (được lặp) → 25 số, không phải 20.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số có ba chữ số khác nhau: 5×4×3=60 số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đếm số có ba chữ số khác nhau ≥342: hàng trăm=4 hoặc 5: 2×(4×3)=24 số; hàng trăm=3: 342,345 (2 số) và 351,352,354 (3 số) → tổng 24+5=29 số, không phải 32.

(AI giải đề cho tôi)
Số tam giác tạo bởi 10 điểm là $C_{10}^3=120$. Các bộ 3 điểm cùng nằm trên hàng thẳng hàng gồm 4 điểm $A_1,A_2,A_3,A_4$ không tạo thành tam giác, có $C_4^3=4$ bộ như vậy. Vậy số tam giác là $120-4=116$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. Tổng cộng có 5 hồng vàng, 3 hồng trắng, 4 hồng đỏ (đôi một khác nhau), chọn bó 7 bông.

a) Đúng một bông hồng đỏ: chọn 1 trong 4 bông đỏ và 6 bông từ 8 bông còn lại (5 vàng + 3 trắng):
$$4\cdot \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{6}\right)=4\cdot 28=112.$$
Vậy có 112 cách.

b) Gọi v, đ, t lần lượt là số bông vàng, đỏ, trắng trong bó, với v≥3, đ≥3, v+đ+t=7, t≤3. Vì v≤5, đ≤4 nên các khả năng:
- v=3, đ=3, t=1: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1}\right)=10\cdot 4\cdot 3=120$.
- v=4, đ=3, t=0: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{3}\right)=5\cdot 4=20$.
- v=3, đ=4, t=0: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{4}\right)=10\cdot 1=10$.
Tổng: $120+20+10=150$ cách.