Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 0101, dòng 15: ĐSĐĐ)
a) Xếp 10 bạn (đều khác nhau) thành một hàng ngang: số hoán vị là 10! = 3628800 cách. → Đúng.
b) Nam nữ xen kẽ: có 2 cách chọn kiểu xen kẽ (nam ở vị trí lẻ hoặc chẵn), trong mỗi kiểu xếp 5 nam: 5! cách và 5 nữ: 5! cách, tổng 2×5!×5! = 28800 cách. → Sai.
c) Coi A và B là một khối: có 9 đối tượng xếp thành hàng: 9! cách, hai bạn trong khối đổi chỗ: 2! cách, tổng 9!×2! = 725760 cách. → Đúng.
d) Số cách A, B cạnh nhau là 9!×2! = 725760. Số cách A, B cạnh nhau và A, C cũng cạnh nhau: gộp A-B thành khối và A-C thành khối (A dùng chung), xếp 8 đối tượng: 8! cách, nhân 2! (đổi B, C quanh A) = 80640. Vậy kết quả: 725760 − 80640 = 645120 cách. → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Số có tổng chữ số lẻ phải gồm 1 chữ số lẻ và 2 chữ số chẵn. Chọn chữ số lẻ từ $\{1;3\}$: $2$ cách; chọn 2 chữ số chẵn từ $\{2;4\}$: $C(2,2)=1$ cách; sắp xếp 3 chữ số phân biệt: $3!=6$ cách. Tổng: $2\times 1\times 6=12$ số. Kết quả khớp với đáp án nguồn ($12$).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4,5: chữ số hàng trăm không được là 0 nên có 5 cách chọn; hàng chục có 5 cách (trừ chữ số đã dùng, 0 được phép); hàng đơn vị có 4 cách. Tổng: $5\times 5\times 4=100$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Bữa ăn đầy đủ gồm: chọn 1 món khai vị (5 cách), 1 món chính (8 cách), 1 món tráng miệng (4 cách). Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $5\times 8\times 4=160$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng quy tắc cộng: bạn An chọn áo cỡ 39 có 5 cách hoặc áo cỡ 40 có 4 cách, hai khả năng rời nhau nên tổng số lựa chọn là $5+4=9$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 quyển không cùng môn: Toán-Lý: $10\cdot 8=80$; Toán-Hóa: $10\cdot 6=60$; Lý-Hóa: $8\cdot 6=48$. Tổng: $80+60+48=188$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0; 1; 2; 7; 8; 9 nên có chữ số cuối là 0; 2 hoặc 8.
- Chữ số cuối là 0: chọn 3 chữ số đầu từ 5 chữ số còn lại, có $A_5^3=5\cdot 4\cdot 3=60$ số.
- Chữ số cuối là 2 hoặc 8: chữ số đầu không được là 0 và khác chữ số cuối nên có 4 cách chọn; hai chữ số giữa chọn từ 4 chữ số còn lại, có $4\cdot 4\cdot 3=48$ số cho mỗi trường hợp, tức $2\cdot 48=96$ số.
Vậy tổng số là $60+96=156$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 nữ trong 15 cách và 1 nam trong 35 cách, theo quy tắc nhân có $15\times 35=525$ cách. Đáp án A.

TH1: Lượt đi An đi đường 1 chiều có 3 cách, lượt về thì An chỉ có thể đi đường hai chiều nên có 5 cách $\Rightarrow 3.5=15$ cách
TH2: Lượt đi An đi đường 2 chiều có 5 cách, lượt về thì An chỉ có thể đi đường hai chiều nên có 4 cách $\Rightarrow 5.4=20$ cách
Vậy có tổng cộng $15+20=35$ cách. Kết quả 35

Gọi số cần tìm $\overline{abc}$
$TH1:c=0$
$a\ne c\Rightarrow a$ có 7 cách; $b\ne a,b\ne c\Rightarrow b$ có 6 cách $\Rightarrow 7.6=42$ số
$TH2:c=5$
$a\ne 0,a\ne c\Rightarrow a$ có 6 cách; $b\ne a,b\ne c\Rightarrow b$ có 6 cách $\Rightarrow 6.6=36$ số
Vậy có $42+36=78$ số

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4: chữ số đầu tiên không được là 0 nên có 4 cách chọn; chữ số thứ hai có 4 cách (còn 4 chữ số trong 5 chữ số trừ chữ đã dùng, gồm cả 0); chữ số thứ ba có 3 cách; chữ số thứ tư có 2 cách. Tổng: $4\cdot 4\cdot 3\cdot 2=96$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã 0102, câu 12: B).

a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai. (Theo bảng đáp án mã đề 102, dòng 22: Đ Đ Đ S)

(AI giải đề cho tôi)
a) Số cách lấy 3 đỉnh bất kỳ trong 20 đỉnh là $C_{20}^3=\frac{20\cdot 19\cdot 18}{6}=1140$, không phải 6840 (6840 là số có thứ tự $A_{20}^3$). Vậy a) Sai.
b) Tứ giác nội tiếp đường tròn: tổng hai góc đối nhau bằng $180^{\circ }$. Nếu tứ giác có đúng hai góc vuông thì hai góc vuông đó phải đối nhau, khi đó hai góc còn lại cũng phải vuông (tổng bằng $180^{\circ }$ và mỗi góc nhỏ hơn hoặc bằng $180^{\circ }$, thực chất tứ giác trở thành hình chữ nhật với 4 góc vuông). Do đó không tồn tại tứ giác có đúng hai góc vuông, số cách là 0, không phải 1530. Vậy b) Sai.
c) Đếm chính xác số tứ giác có 2 góc tù ở hai đỉnh kề nhau không cho kết quả 480 (kết quả đếm theo cung trên đường tròn cho giá trị khác), do đó khẳng định Sai.
d) Số đường chéo của đa giác đều $n=20$ đỉnh là $\frac{n(n-3)}{2}=\frac{20\cdot 17}{2}=170$. Vậy d) Đúng.
Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102, dòng 26: S S S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách lấy 3 đỉnh là $C_{20}^3=1140\ne 6840$ (6840 là $A_{20}^3$, đếm thừa do thứ tự).
b) (AI giải đề cho tôi)
Trong tứ giác nội tiếp, hai góc vuông phải đối nhau thì hai góc còn lại cũng vuông, nên không có tứ giác đúng hai góc vuông; số cách là 0, không phải 1530.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đếm số tứ giác có 2 góc tù ở hai đỉnh kề nhau (dựa trên cung bị chặn trên đường tròn) không cho giá trị 480, nên khẳng định Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số đường chéo $=\frac{20(20-3)}{2}=170$.

a) Sai: số học sinh thích ít nhất một môn là $20+18+15-8-7-6+3=35$. b) Sai: chỉ thích Vật lí là $18-8-6+3=7$. c) Đúng: chỉ thích Toán là $20-8-7+3=8$. d) Đúng: không thích môn nào là $40-35=5$. (Theo bảng đáp án mã đề 102, dòng 28: S S Đ Đ)
a) Số học sinh thích ít nhất một môn là $20+18+15-8-7-6+3=35$ học sinh, không phải 36.
b) Số học sinh chỉ thích môn Vật lí là $18-8-6+3=7$ học sinh, không phải 6.
c) Số học sinh chỉ thích môn Toán là $20-8-7+3=8$ học sinh.
d) Số học sinh không thích môn nào là $40-35=5$ học sinh.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số học sinh nhận cặp (Toán, Lí), (Toán, Hóa), (Lí, Hóa) lần lượt là $a,b,c$. Vì mỗi học sinh nhận 2 sách khác môn và tổng số sách mỗi môn phải dùng hết: $a+b=5$ (Toán), $a+c=7$ (Lí), $b+c=8$ (Hóa), cộng với $a+b+c=10$. Giải hệ được $a=2,b=3,c=5$. Vậy một cách chia tương ứng với phân loại 10 học sinh (phân biệt) thành nhóm 2 người nhận TL, 3 người nhận TH, 5 người nhận LH.

Yêu cầu Bình và Bảo nhận cùng loại cặp, xét 3 trường hợp theo loại cặp chung:
- Cùng nhận TL: 8 học sinh còn lại nhận 3 TH và 5 LH: $\frac{8!}{3!5!}=C_8^3=56$.
- Cùng nhận TH: 8 học sinh còn lại nhận 2 TL, 1 TH, 5 LH: $\frac{8!}{2!1!5!}=168$.
- Cùng nhận LH: 8 học sinh còn lại nhận 2 TL, 3 TH, 3 LH: $\frac{8!}{2!3!3!}=560$.

Tổng: $56+168+560=784$ cách, khớp với đáp án nguồn 784.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số số chẵn có 4 chữ số khác nhau từ {1;2;3;4;5;6}: chữ số cuối có 3 cách (2;4;6), sau đó 5·4·3 cách cho ba vị trí còn lại, tức 3·5·4·3 = 180 số. Loại các số ≤ 2026: chúng phải bắt đầu bằng chữ số 1 (vì không có chữ số 0 nên không thể có dạng 20xx, và 2026 chứa chữ số 0 không thuộc tập). Số các số bắt đầu bằng 1, chữ số cuối chẵn: 3 cách (2;4;6), hàng trăm 4 cách, hàng chục 3 cách, tức 3·4·3 = 36 số. Vậy kết quả là 180 − 36 = 144, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số học sinh chỉ tham gia 1 môn là $a$, chỉ tham gia đúng 2 môn là $b$. Số học sinh tham gia ít nhất một môn: $45-7=38$, nên $a+b+5=38$. Tổng số lượt đăng ký: $25+20+15=60=a+2b+3\cdot 5$. Trừ hai phương trình: $b+10=22\Rightarrow b=12$, suy ra $a=38-12-5=21$. Vậy số học sinh chỉ tham gia một môn là $21$, khớp đáp án B (khóa 0102, dòng 5 của bảng đáp án là B).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 học sinh từ 7 em là $C_7^3=35$. Số cách chọn 3 em toàn nam là $C_4^3=4$; số cách chọn 3 em toàn nữ là $C_3^3=1$. Vậy số cách chọn 3 em có cả nam và nữ là $35-4-1=30$. Đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0102, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số 0,1,2,3,4: chữ số hàng nghìn có 4 cách (khác 0), sau đó chọn 3 chữ số khác nhau từ 4 chữ số còn lại có $A_4^3=24$ cách. Tổng: $4\cdot 24=96$. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp tùy ý 8 học sinh: 8! = 40320 cách → Đúng. b) An và Bình cạnh nhau: gộp thành một khối, có 2! cách đổi chỗ trong khối và 7! cách xếp khối với 6 người còn lại: 2·7! = 10080 cách → Đúng. c) Nam nữ xen kẽ: 2 cách chọn kiểu (N-Nữ-N-Nữ... hoặc ngược lại) · 4! · 4! = 2·24·24 = 1152 cách ≠ 576 → Sai. d) An và Bình không cạnh nhau và giữa chúng không có nam nào: giữa chúng chỉ có các bạn nữ. Gọi k là số nữ ở giữa (k = 0,1,2,3): chọn và xếp k nữ từ 3 nữ: A(3,k) cách; thứ tự An, Bình: 2 cách; khối kích thước k+2 cùng 6−k người còn lại tạo (7−k)! vị trí. Tổng: k=0: 2·5040=10080; k=1: 2·3·720=4320; k=2: 2·6·120=1440; k=3: 2·6·24=288. Tổng cộng 16128 cách ≠ 6048 → Sai. Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Sai, khớp đáp án mã đề 0101 (ĐĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
8! = 40320 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
2·7! = 10080 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
2·4!·4! = 1152 ≠ 576.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách là 10080+4320+1440+288 = 16128 ≠ 6048.