Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Lưới $4\times 6$ có 6 cột và 4 hàng ô; A ở đỉnh trên trái, B ở đỉnh dưới phải. Thiết lập tọa độ: $A(0;4)$, $B(6;0)$. Khoảng cách Manhattan từ A đến B là $6+4=10$, đúng bằng số lần di chuyển cho phép. Do đó kiến không thể đi lùi (trái hoặc lên) vì mỗi bước lùi sẽ cần thêm một bước tiến bù, vượt quá 10 bước. Vậy mỗi hành trình gồm đúng 6 bước sang phải và 4 bước xuống dưới, theo thứ tự tùy ý. Số cách $=C(10,4)=C(10,6)=210$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc nhân: mỗi thực đơn gồm 1 món khai vị (4 cách), 1 món chính (12 cách) và 1 món tráng miệng (5 cách). Số cách lựa chọn là $4\times 12\times 5=240$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 người từ 8 người là $C_8^3=56$. Số cách chọn 3 người không có nữ (tức chọn 3 nam từ 5 nam) là $C_5^3=10$. Vậy số cách chọn 3 người có ít nhất 1 nữ là $56-10=46$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 8 chữ số 0;1;2;3;5;6;8;9, số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 phải có chữ số tận cùng chẵn. Các chữ số chẵn: 0;2;6;8 (4 chữ số), các chữ số lẻ: 1;3;5;9 (4 chữ số).

TH1: Chữ số tận cùng là 0. Ba chữ số đầu chọn từ 7 chữ số còn lại, sắp xếp có thứ tự: $A_7^3=7\cdot 6\cdot 5=210$ số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 6 hoặc 8 (3 cách chọn). Chữ số hàng nghìn khác 0 và khác chữ số tận cùng nên có 6 cách; chữ số hàng trăm có 6 cách; chữ số hàng chục có 5 cách. Số số: $3\cdot 6\cdot 6\cdot 5=540$ số.

Vậy tổng số: $210+540=750$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số viên bi đỏ được lấy là $k$ (với $0\le k\le 5$). Để số bi đỏ nhiều hơn số bi xanh (tức $k>5-k$, suy ra $k\ge 3$), ta xét các trường hợp:

- Lấy 3 bi đỏ và 2 bi xanh: $C_{10}^3\cdot C_{15}^2=120\cdot 105=12600$ cách.
- Lấy 4 bi đỏ và 1 bi xanh: $C_{10}^4\cdot C_{15}^1=210\cdot 15=3150$ cách.
- Lấy 5 bi đỏ: $C_{10}^5=252$ cách.

Vậy tổng số cách lấy là $12600+3150+252=16002$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số gồm 5 chữ số khác nhau lập từ 5 chữ số 2; 3; 5; 6; 8 là số hoán vị của 5 phần tử: $5!=120$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 học sinh nam trước: có $4!$ cách. 4 nam tạo ra 5 khe (trước, sau và giữa các nam). Để 5 nữ không ai đứng cạnh nhau, phải xếp mỗi nữ vào đúng một khe: có $5!$ cách xếp nữ vào 5 khe đó. Vậy tổng số cách là $4!\cdot 5!$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Hoán vị 7 người: $7!=5040$ → đúng. b) Ba bạn nữ ngồi cạnh nhau: gộp khối nữ, có $5!$ cách xếp khối với 4 nam, nhân $3!$ cách xếp trong khối nữ: $5!\cdot 3!=720\ne 120$ → sai. c) Cùng giới ngồi cạnh nhau: gộp khối nữ ($3!$) và khối nam ($4!$), xếp 2 khối: $2!\cdot 3!\cdot 4!=288\ne 144$ → sai. d) Nam nữ xen kẽ: 4 nam chiếm vị trí 1,3,5,7 và 3 nữ ở vị trí 2,4,6: $4!\cdot 3!=144\ne 30$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cách xếp 7 bạn tùy ý là $7!=5040$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Ba bạn nữ ngồi cạnh nhau: $5!\cdot 3!=720$ cách, không phải 120.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cùng giới ngồi cạnh nhau: $2!\cdot 3!\cdot 4!=288$ cách, không phải 144.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ: $4!\cdot 3!=144$ cách, không phải 30.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: có 2 đường đi trực tiếp từ nhà An đến trường (không qua nhà sách), và các đường đi qua nhà sách gồm 5 đường (nhà An đến nhà sách kết hợp nhà sách đến trường). a) Không qua nhà sách: 2 cách → đúng. c) Qua nhà sách: 5 cách → đúng. d) Tổng số đường đi từ nhà đến trường: $2+5=7$ cách → đúng. b) Đi đến trường rồi quay về theo đúng con đường cũ: mỗi lượt đi có 7 lựa chọn, lượt về phải trùng đường đã đi nên chỉ có 1 lựa chọn, vậy tổng số cách là $7\times 1=7$, không phải 16 → sai. (Nếu hiểu đi và về đều tự do chọn đường thì $7\times 7=49$, cũng không phải 16.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên hình có 2 đường nối trực tiếp nhà An với trường không đi qua nhà sách, nên An có 2 cách chọn đường.
b) (AI giải đề cho tôi)
Có 7 đường đi từ nhà đến trường. Quay về theo đúng con đường cũ đã đi thì lượt về chỉ có 1 cách (trùng đường đi), nên tổng số cách là $7\times 1=7$, không phải 16.
c) (AI giải đề cho tôi)
Các đường đi qua nhà sách: từ nhà An đến nhà sách kết hợp với từ nhà sách đến trường cho tổng cộng 5 đường.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng số đường đi từ nhà đến trường = $2$ (không qua nhà sách) + $5$ (qua nhà sách) = $7$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
a) Chọn 1 học sinh nữ từ 20 học sinh nữ: có 20 cách.
b) Chọn 1 học sinh nam từ 25 học sinh nam: có 25 cách.
c) Đội gồm 1 nữ và 1 nam: theo quy tắc nhân, số cách chọn là $20\times 25=500$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số niêu chứa phần thưởng được đập vỡ ở hai hàng là k. Người chơi nhận được tối đa 1 niêu phần thưởng nghĩa là k = 0 hoặc k = 1.

- Trường hợp k = 0 (không có niêu phần thưởng nào): phải đập 2 niêu bột mì ở hàng 1 và 2 niêu bột mì ở hàng 2. Số cách: $C_4^2\cdot C_6^2=6\cdot 15=90$.
- Trường hợp k = 1: có hai khả năng.
+ Niêu phần thưởng ở hàng 1: chọn 1 phần thưởng và 1 bột mì ở hàng 1, và 2 bột mì ở hàng 2: $C_8^1{C}_4^1{C}_6^2=8\cdot 4\cdot 15=480$.
+ Niêu phần thưởng ở hàng 2: chọn 2 bột mì ở hàng 1, và 1 phần thưởng 1 bột mì ở hàng 2: $C_4^2{C}_9^1{C}_6^1=6\cdot 9\cdot 6=324$.

Vậy tổng số cách: $90+480+324=894$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử là $A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$ với $1\le k\le n$. Do đó đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Công việc gồm hai công đoạn liên tiếp: mỗi cách thực hiện công đoạn một ($m$ cách) kết hợp với $n$ cách thực hiện công đoạn hai. Theo quy tắc nhân, số cách thực hiện công việc là $m\cdot n$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn không thứ tự 3 điểm trong 10 điểm. Số tam giác là $C_{10}^3=\frac{10!}{3!7!}=120$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 12 bạn bất kỳ: 12! cách → Đúng. b) Gộp A,B thành một khối: 11!·2! cách. Trừ trường hợp A vừa cạnh B vừa cạnh C: khi đó A ở giữa B và C (B-A-C hoặc C-A-B), gộp thành khối 3 người: 10!·2 cách. Kết quả: 11!·2! − 10!·2 = 2·10!·(11−1) = 20·10! = 72 576 000 → Đúng. c) A và B luôn cạnh nhau: gộp thành một khối, có 11! cách xếp khối và 9 bạn còn lại, nhân 2! cách đổi chỗ trong khối → 11!·2! → Đúng. d) Nam nữ xen kẽ: phải xếp 6 nam vào 6 vị trí chẵn hoặc 6 vị trí lẻ (2 cách), rồi 6!·6! → tổng 2·6!·6! cách, không phải 6!·6! → Sai. Khớp bảng đáp án mã đề 0105 dòng 14: ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 12 phần tử phân biệt: 12! cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
11!·2! − 10!·2 = 20·10! = 72 576 000 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Gộp A,B thành một khối: 11!·2! cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nam nữ xen kẽ cần 2·6!·6! cách (chọn nam đứng vị trí chẵn hay lẻ), không phải 6!·6!.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 4 cuốn sách khác nhau lên một kệ là số hoán vị của 4 phần tử: $4!=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ cách. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 chữ số phân biệt từ $S=\{1,2,3,4,5\}$ sao cho tổng chia hết cho 3. Các bộ ba thỏa mãn: $\{1,2,3\}$ (tổng 6), $\{1,3,5\}$ (tổng 9), $\{2,3,4\}$ (tổng 9), $\{3,4,5\}$ (tổng 12). Mỗi bộ ba lập được $3!=6$ số có 3 chữ số phân biệt. Vậy tổng số số là $4\times 6=24$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 22 = 24).

(AI giải đề cho tôi)
Số có 3 chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số $\{1,2,3,4,5,6\}$: chọn và sắp xếp 3 chữ số từ 6 chữ số, tức hoán vị chập 3 của 6: $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0105, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 2 viên bi cùng màu: chọn 2 bi đỏ từ 5 viên bi có $C_5^2=10$ cách, chọn 2 bi xanh từ 3 viên bi có $C_3^2=3$ cách. Tổng số cách là $10+3=13$. Đáp án khớp với mã đề 0105 (Câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cách chọn 3 bi từ 10 bi là $C_{10}^3=120$. Số cách chọn 3 bi không có bi đỏ (tức cả 3 bi xanh từ 4 bi xanh) là $C_4^3=4$. Vậy số cách chọn 3 bi có ít nhất một bi đỏ là $120-4=116$. Khớp với đáp án A (mã đề 0101).