Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chia 12 nam thành 3 nhóm 4 người cho 3 tỉnh: số cách = $\frac{12!}{4!\cdot 4!\cdot 4!}=34650$. Phân 3 nữ cho 3 tỉnh (mỗi tỉnh 1 nữ): $3!=6$ cách. Tổng: $34650\times 6=207900$ cách = 207,9 nghìn cách.

(AI giải đề cho tôi)
Cách chọn 5 bạn từ 16 học sinh: $C_{16}^5=4368$. Cách chọn có cả Hạnh và Huy (tức không thỏa 'ít nhất 2 em không được tham gia'): chọn thêm 3 bạn từ 14 bạn còn lại: $C_{14}^3=364$. Vậy số cách chọn sao cho ít nhất một trong hai em Hạnh, Huy không được tham gia (tức không chọn cả hai) là $4368-364=4004$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x^2+1\ge 1>0$ nên $|x^2+1|\le 2\iff x^2+1\le 2\iff x^2\le 1\iff -1\le x\le 1$. Với $x\in \mathbb{Z}$ ta được $B=\{-1;0;1\}$, có 3 phần tử. Số tập con gồm 2 phần tử là $C_3^2=3$: $\{-1;0\},\{-1;1\},\{0;1\}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 3.

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A=\{0;3;4;6\}$ có 4 phần tử. Số tập hợp con gồm hai phần tử của $A$ là số cách chọn 2 phần tử từ 4 phần tử: $C_4^2=\frac{4\cdot 3}{2}=6$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 11A có tất cả $20+22=42$ học sinh. Chọn 2 bạn bất kỳ (không phân biệt vai trò, thứ tự) để tham gia hội thi cắm hoa, số cách chọn là tổ hợp chập 2 của 42 phần tử: $$C_{42}^2=\frac{42\cdot 41}{2}=861.$$ Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 thành viên từ 35 học sinh sao cho có ít nhất 1 nữ. Cách chọn bất kỳ: $C_{35}^3=\frac{35\cdot 34\cdot 33}{6}=6545$. Cách chọn không có nữ nào (chỉ nam): $C_{15}^3=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{6}=455$. Vậy số cách có ít nhất 1 nữ là $6545-455=6090$.

(AI giải đề cho tôi)
Số tập hợp con 3 phần tử của tập hợp 7 phần tử là số cách chọn không xét thứ tự 3 phần tử từ 7 phần tử, tức $C_7^3=35$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn 1 cây bút trong 10 cây có 10 cách, chọn 1 quyển sách trong 8 quyển có 8 cách. Theo quy tắc nhân, số cách chọn là $10\times 8=80$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vec tơ xác định bởi điểm đầu và điểm cuối là hai điểm phân biệt (khác vec 0), chọn có thứ tự từ 10 điểm: $A_{10}^2=10\cdot 9=90$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 4 chữ số đôi một khác nhau lập từ 7 chữ số $1,2,3,4,5,6,7$ là số cách chọn và sắp thứ tự 4 chữ số từ 7 chữ số, tức là chỉnh hợp chập 4 của 7: $A_7^4=7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=840$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Xếp 5 nữ thành hàng: 5! = 120 cách → đúng. b) Xếp 7 nam thành hàng: 7! = 5040 cách → đúng. c) Xếp cả 12 học sinh thành hàng là 12! = 479001600 cách, còn 5!×7! = 120×5040 = 604800 ≠ 12! → sai. d) Tổng số cách xếp 12 người: 12! = 479001600. Số cách không có 2 nữ cạnh nhau: xếp 7 nam (7! cách) tạo 8 khoảng trống, chọn 5 khoảng để đặt 5 nữ: C(8,5)·5!·7! = 56·120·5040 = 33868800. Vậy số cách có ít nhất 2 nữ cạnh nhau = 479001600 − 33868800 = 445132800 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 5 học sinh nữ khác nhau thành hàng ngang có 5! = 120 cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 7 học sinh nam khác nhau thành hàng ngang có 7! = 5040 cách.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xếp 12 học sinh thành hàng ngang có 12! = 479001600 cách, không phải 5!×7! = 604800.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng: 12! = 479001600. Không có 2 nữ cạnh nhau: C(8,5)·5!·7! = 33868800. Kết quả: 479001600 − 33868800 = 445132800.

(AI giải đề cho tôi)
Số có 6 chữ số, chữ số 1 xuất hiện đúng 3 lần, các chữ số còn lại (0;2;3;4;5) mỗi chữ nhiều nhất một lần. Cần chọn thêm 3 chữ số từ $\{0;2;3;4;5\}$.
- Trường hợp chọn có chữ số 0: chọn 2 chữ từ $\{2;3;4;5\}$: $C_4^2=6$ cách. Mỗi bộ có $\frac{6!}{3!}=120$ hoán vị, trừ các số bắt đầu bằng 0: $\frac{5!}{3!}=20$, nên mỗi bộ cho $120-20=100$ số. Tổng: $6\times 100=600$.
- Trường hợp không có chữ số 0: chọn 3 chữ từ $\{2;3;4;5\}$: $C_4^3=4$ cách, mỗi bộ cho $\frac{6!}{3!}=120$ số. Tổng: $4\times 120=480$.
Kết quả: $600+480=1080$.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 6 quyển sách khác nhau vào một hàng ngang là một hoán vị của 6 phần tử, số cách là $6!=720$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số cần lập có 4 chữ số, chữ số lấy từ tập $A$ (được phép lặp vì đề không yêu cầu các chữ số khác nhau), chữ số cuối phải chẵn. Số cách: chữ số cuối có 3 lựa chọn (0; 2; 4), chữ số đầu khác 0 nên có 5 lựa chọn, hai chữ số giữa mỗi chữ có 6 lựa chọn. Tổng: $3\cdot 5\cdot 6\cdot 6=540$. Vậy đáp án B. (Lưu ý: nếu yêu cầu các chữ số đôi một khác nhau thì kết quả là 156, không khớp đáp án nào, nên cách hiểu chuẩn là cho phép lặp.)

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 15 viên bi phân biệt: 6 đỏ, 5 vàng, 4 trắng.
a) Chọn 3 viên từ 15 viên (không kể thứ tự): $C_{15}^3=455$ cách → đúng.
b) Lấy 2 bi đỏ và 1 bi vàng: phải chọn độc lập nên số cách là $C_6^2\cdot C_5^1=15\cdot 5=75$, không phải $C_6^2+C_5^1=20$ → sai.
c) Ba bi cùng màu: chọn 3 đỏ HOẶC 3 vàng HOẶC 3 trắng, số cách là $C_6^3+C_5^3+C_4^3=20+10+4=34$, không phải tích $C_6^3\cdot C_5^3\cdot C_4^3$ → sai.
d) Đúng hai màu nghĩa là chọn 2 trong 3 màu và mỗi màu có ít nhất 1 bi:
- Đỏ và vàng: $C_6^2{C}_5^1+C_6^1{C}_5^2=75+60=135$.
- Đỏ và trắng: $C_6^2{C}_4^1+C_6^1{C}_4^2=60+36=96$.
- Vàng và trắng: $C_5^2{C}_4^1+C_5^1{C}_4^2=40+30=70$.
Tổng: $135+96+70=301$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chọn 3 viên từ 15 viên phân biệt, không kể thứ tự: $C_{15}^3=455$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phải nhân: $C_6^2\cdot C_5^1=75$, không phải $C_6^2+C_5^1=20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Ba trường hợp rời nhau nên cộng: $C_6^3+C_5^3+C_4^3=34$, không phải tích.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đúng hai màu: $(C_6^2{C}_5^1+C_6^1{C}_5^2)+(C_6^2{C}_4^1+C_6^1{C}_4^2)+(C_5^2{C}_4^1+C_5^1{C}_4^2)=135+96+70=301$.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi tam giác tương ứng với một cách chọn 3 điểm từ 8 điểm (vì không có 3 điểm nào thẳng hàng, mọi bộ 3 điểm đều tạo thành tam giác). Số tam giác là $C_8^3=\frac{8!}{3!5!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{6}=56$.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp 10D có 25 học sinh nữ và 12 học sinh nam, tổng cộng $25+12=37$ học sinh. Chọn 1 học sinh bất kỳ trong lớp để làm nhiệm vụ trực nhật có số cách là: $C_{37}^1=37$ cách. Vậy đáp án đúng là A.