Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quy tắc đếm, hoán vị/chỉnh hợp/tổ hợp (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chia 27 thẻ thành 3 nhóm theo số dư khi chia cho 3: nhóm A (dư 0): {3,6,...,27}, nhóm B (dư 1): {1,4,...,25}, nhóm C (dư 2): {2,5,...,26}; mỗi nhóm có 9 thẻ. Tổng ba số chia hết cho 3 khi và chỉ khi ba số cùng nhóm hoặc ba số thuộc ba nhóm khác nhau.
- Trường hợp 1: ba thẻ cùng một nhóm: $3\cdot C_9^3=3\cdot 84=252$ cách.
- Trường hợp 2: mỗi nhóm lấy đúng một thẻ: $9^3=729$ cách.
Vậy tổng số cách là $252+729=981$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Để nam và nữ xen kẽ nhau trên 9 chỗ với 5 nam và 4 nữ, dãy phải có dạng Nữ Nam Nữ Nam ... Nữ Nam, tức các bạn nam chiếm 5 vị trí lẻ (1,3,5,7,9) và các bạn nữ chiếm 4 vị trí chẵn (2,4,6,8). Số cách xếp nam: $5!=120$. Số cách xếp nữ: $4!=24$. Vậy tổng số cách là $5!\cdot 4!=120\cdot 24=2880$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Vì chữ số sau luôn lớn hơn chữ số trước, mỗi số thỏa mãn ứng với một cách chọn 5 chữ số phân biệt từ tập $A=\{0;1;2;3;4;5;6\}$, rồi xếp chúng theo thứ tự tăng dần (mỗi bộ chọn chỉ cho đúng một số). Số cách chọn 5 chữ số từ 7 chữ số là $C_7^5=\frac{7!}{5!2!}=21$. Lưu ý: chữ số 0 không thể đứng đầu, nhưng vì các chữ số được xếp tăng dần nên nếu 0 được chọn thì 0 luôn ở vị trí đầu tiên, tức số đó sẽ có dạng 0xxxx không phải số có 5 chữ số. Do đó phải loại các bộ chứa chữ số 0: chọn 5 chữ số từ $\{1;2;3;4;5;6\}$ có $C_6^5=6$ bộ. Vậy số lượng số thỏa mãn là $C_7^5-C_6^5=21-6=15$.

(AI giải đề cho tôi)
Ba chức vụ khác nhau nên đây là chỉnh hợp chập 3 của 32: $A_{32}^3=32\cdot 31\cdot 30=29760$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Số điện thoại có 11 chữ số, 3 chữ số đầu cố định là 024, còn 8 chữ số sau mỗi chữ số có 10 cách chọn (0–9). Theo quy tắc nhân, số thuê bao tối đa là $10^8$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mỗi bộ trang phục gồm 1 áo và 1 quần. Theo quy tắc nhân, số bộ là $4\times 5=20$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bạn An chọn một chiếc áo trong hai nhóm: size S có 5 cách chọn, size M có 7 cách chọn. Vì hai nhóm không giao nhau (khác size), theo quy tắc cộng, số cách chọn là $5+7=12$ cách. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 13: a) Sai. Chọn 1 nam trong 6 và 1 nữ trong 4 nên số cách là $6\cdot 4=24$, không phải $C_{10}^2=45$. b) Sai. Chọn 5 người cho nhóm thứ nhất: $C_{10}^5=252$ cách, nhưng vì 2 nhóm không phân biệt (nhóm còn lại tự động) nên số cách phân chia là $\frac{C_{10}^5}{2}=126$. c) Đúng. Xếp 10 học sinh phân biệt thành hàng ngang có $10!$ cách. d) Đúng. Không gian mẫu $C_{10}^5=252$; trường hợp thuận lợi $C_6^3\cdot C_4^2=20\cdot 6=120$; xác suất $=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cặp nam nữ là $6\cdot 4=24$, không phải $C_{10}^2=45$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai nhóm không phân biệt nên số cách là $\frac{C_{10}^5}{2}=126$, không phải $C_{10}^5=252$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 10 học sinh phân biệt: $10!$ cách.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P=\frac{C_6^3{C}_4^2}{C_{10}^5}=\frac{120}{252}=\frac{10}{21}$.

(AI giải đề cho tôi)
Lưới có 4 ô ngang và 4 ô dọc, nên mỗi đường từ $A(0,0)$ đến $B(4,4)$ gồm 4 bước sang phải và 4 bước đi lên, tổng số đường là $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4}\right)=70$. Điểm $C$ nằm tại nút $(3;1)$. Số đường đi qua $C$: từ $A$ đến $C$ cần 3 bước phải, 1 bước lên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$; từ $C$ đến $B$ cần 1 bước phải, 3 bước lên: $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{1}\right)=4$. Vậy số đường qua $C$ là $4\times 4=16$. Số cách thỏ đi đến $B$ mà không qua $C$ là $70-16=54$. Lưu ý: nếu vị trí $C$ được hiểu khác theo hình thì kết quả thay đổi, nhưng theo hình $C$ là nút giao thứ tư từ trái, hàng thứ nhất từ dưới lên, nên đáp số là 54.

(AI giải đề cho tôi)
a) Số có 4 chữ số đôi một khác nhau từ P={0;1;2;3;4;5;6}: chữ số đầu có 7 cách (khác 0 không bắt buộc vì 0 thuộc P nhưng chữ số hàng nghìn không được là 0, nên có 6 cách), thực ra: hàng nghìn có 6 cách (khác 0), hàng trăm có 6 cách, hàng chục có 5 cách, hàng đơn vị có 4 cách. Vậy |S| = 6·6·5·4 = 720.

b) Số chia hết cho 2 có chữ số cuối thuộc {0;2;4;6}.
- Chữ số cuối là 0: hàng nghìn có 6 cách, hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → 120 số.
- Chữ số cuối là 2, 4 hoặc 6 (3 cách): hàng nghìn có 5 cách (khác 0 và khác chữ số cuối), hàng trăm 5 cách, hàng chục 4 cách → 3·5·5·4 = 300 số.
Tổng số chia hết cho 2: 120 + 300 = 420.
Xác suất = 420/720 = 7/12.

(AI giải đề cho tôi)
Một vectơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, với điều kiện điểm đầu khác điểm cuối (để khác vectơ – không). Chọn điểm đầu: 20 cách; chọn điểm cuối khác điểm đầu: 19 cách. Vậy số vectơ là $20\cdot 19=A_{20}^2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Một véc-tơ được xác định bởi điểm đầu và điểm cuối, có tính thứ tự. Từ 10 điểm phân biệt, chọn điểm đầu có 10 cách, chọn điểm cuối có 9 cách (khác điểm đầu để vectơ khác vectơ-không). Vậy số vectơ là $A_{10}^2=10\cdot 9=90$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai quả cùng màu: hoặc cả hai trắng, hoặc cả hai đen. Chọn 2 quả trắng từ 6 quả: $C_6^2=15$ cách. Chọn 2 quả đen từ 4 quả: $C_4^2=6$ cách. Tổng: $15+6=21$ cách. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xếp 4 nam và 3 nữ (cá nhân phân biệt) vào ghế dài.
a) Xếp ngẫu nhiên 7 người: 7! = 5040 cách → đúng.
b) Nếu mỗi nhóm giới ngồi liền nhau: coi nhóm nam là 1 khối, nhóm nữ là 1 khối, có 2!·4!·3! = 2·24·6 = 288 cách, không phải 240 → sai.
c) Xen kẽ: với 4 nam, 3 nữ, dãy phải dạng N N N N N N N (nữ nằm giữa các nam). Xếp nam: 4! = 24; chọn và xếp nữ vào 3 trong 4 khoảng trống giữa các nam: A(4,3) = 24. Tổng 24·24 = 576 cách, không phải 288 → sai. (Lưu ý: nếu hiểu xen kẽ tối đa tức nữ chỉ ngồi giữa nam thì 4!·3! = 144, cũng khác 288.)
d) Nữ không ngồi cạnh nhau: xếp 4 nam trước: 4! = 24; có 5 khoảng trống, chọn 3 chỗ cho nữ: A(5,3) = 60. Tổng 24·60 = 1440 cách, không phải 3600 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
7! = 5040 cách xếp 7 người phân biệt.
b) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi giới liền nhau: 2!·4!·3! = 288 cách, không phải 240.
c) (AI giải đề cho tôi)
Xen kẽ: 4!·A(4,3) = 24·24 = 576 cách (hoặc 4!·3! = 144 nếu chỉ dãy N N N N N N N), đều khác 288.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nữ không cạnh nhau: 4!·A(5,3) = 24·60 = 1440 cách, không phải 3600.

(AI giải đề cho tôi)
Chia 16 số thành 3 nhóm theo số dư khi chia cho 3: nhóm dư 0 gồm {3;6;9;12;15} có 5 thẻ; nhóm dư 1 gồm {1;4;7;10;13;16} có 6 thẻ; nhóm dư 2 gồm {2;5;8;11;14} có 5 thẻ. Tổng 3 số chia hết cho 3 khi hoặc cả 3 thẻ cùng nhóm, hoặc mỗi nhóm lấy đúng 1 thẻ. Trường hợp 1: $C_5^3+C_6^3+C_5^3=10+20+10=40$. Trường hợp 2: $5\cdot 6\cdot 5=150$. Tổng: $40+150=190$ cách.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Cho tập $S=\{0;1;2;3;4;5;6\}$ (7 chữ số).

**a.** Số tự nhiên có 4 chữ số: chữ số đầu tiên có 6 cách (khác 0), ba chữ số sau mỗi chữ có 7 cách. Vậy số các số là $6\cdot 7\cdot 7\cdot 7=6\cdot 343=2058$.

**b.** Số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chẵn, xét chữ số tận cùng:
- Chữ số tận cùng là $0$: chọn 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số còn lại, có $A_6^3=6\cdot 5\cdot 4=120$ số.
- Chữ số tận cùng là $2,4$ hoặc $6$ (3 cách): chữ số đầu có 5 cách (khác 0 và khác chữ số tận cùng), chữ số thứ hai có 5 cách, chữ số thứ ba có 4 cách, nên có $3\cdot 5\cdot 5\cdot 4=300$ số.

Tổng: $120+300=420$ số.

(AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn đồng thời một cây bút chì, một cây bút bi và một cuốn tập là $8\times 6\times 10=480$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sắp xếp 11 người (6 nam, 5 nữ, đôi một khác nhau) vào một ghế dài là hoán vị của 11 phần tử: $11!$ cách → đúng.
b) Chọn cùng lúc 4 bạn từ 11 bạn: $|\Omega |=C(11,4)=330$ → đúng.
c) Chọn 2 nam từ 6 và 2 nữ từ 5: $C(6,2)\cdot C(5,2)=15\cdot 10=150$, không phải 250 → sai.
d) Biến cố 'ít nhất 2 nữ': 2 nữ 2 nam: $C(5,2)C(6,2)=150$; 3 nữ 1 nam: $C(5,3)C(6,1)=10\cdot 6=60$; 4 nữ: $C(5,4)=5$. Tổng $=150+60+5=215$. Xác suất $=215/330$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hoán vị 11 người khác nhau vào ghế dài: $11!$ cách.
b) (AI giải đề cho tôi)
$|\Omega |=C(11,4)=330$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Số kết quả thuận lợi $=C(6,2)\cdot C(5,2)=15\cdot 10=150\ne 250$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số cách chọn có ít nhất 2 nữ $=C(5,2)C(6,2)+C(5,3)C(6,1)+C(5,4)=150+60+5=215$, nên $P=215/330$.

(AI giải đề cho tôi)
Xem hai chữ số 1 và 2 đứng cạnh nhau như một khối. Khối này có thể ở một trong 4 vị trí (vị trí các chữ số 1-2, 2-3, 3-4, 4-5). Với mỗi vị trí khối, chọn 3 chữ số từ 8 chữ số còn lại (0,3,4,5,6,7,8,9) và sắp xếp: $A_8^3=336$ cách; hai chữ số trong khối có thể đổi chỗ cho nhau: 2 cách. Tổng: $4\cdot A_8^3\cdot 2=4\cdot 336\cdot 2=2688$. Vậy có 2688 số thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp trưởng cố định ở vị trí chạy cuối. Còn 5 vị trí đầu được chọn và sắp từ 14 bạn còn lại, nên số cách xếp là hoán vị chập 5 của 14 phần tử: $A_{14}^5=\frac{14!}{9!}=14\cdot 13\cdot 12\cdot 11\cdot 10=240240$. Vậy có $240240$ cách xếp đội hình.