Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Một ống khói có cấu trúc gồm một khối chóp cụt tứ giác đều có thể tích $V_1$ và một khối hộp chữ nhật có thể tích $V_2$ ghép lại với nhau như hình vẽ bên dưới. Cho biết bản vẽ hình chiếu của ống khói với phương chiếu trùng với phương của một cạnh đáy khối chóp cụt, hãy tính tỉ số thể tích $\frac{V_1}{V_2}$, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Một khối trang trí trong suốt có dạng khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng $20\text{ cm}$. Khối chóp đó có phần rỗng bên trong chứa dung dịch màu. Biết rằng phần rỗng đó được tạo thành từ đỉnh, tâm của đáy và trọng tâm bốn mặt bên của khối chóp tứ giác đều ban đầu (như hình vẽ bên). Tính thể tích phần rỗng đó (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^3$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, biết $B{C}^{\prime }$ tạo với $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ một góc $30^{\circ }$ và $d(M,(B{A}^{\prime }{C}^{\prime }))=\sqrt{\frac{6}{11}}$ (với $M$ là trung điểm $AC$). Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 11. Cho hình lập phương có cạnh bằng $24\text{ cm}$ có chứa $3$ lít nước. Đặt một cạnh của hình lập phương tiếp xúc với mặt phẳng nằm ngang rồi nghiêng hình lập phương sao cho một mặt chứa cạnh đó hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc $30^{\circ }$. Khi đó diện tích mặt thoáng của nước có giá trị nằm trong khoảng nào dưới đây?

Câu 3. Một chiếc khay đựng đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật với kích thước: chiều dài $20\text{ cm}$, chiều rộng $10\text{ cm}$, chiều cao $8\text{ cm}$ (hình a). Để san bớt nước cho đỡ đầy, người ta đổ nước từ chiếc khay thứ nhất đó sang chiếc khay thứ hai có dạng hình chóp cụt tứ giác đều với đáy khay là hình vuông nhỏ có đường chéo dài $n\text{ (cm)}$, miệng khay là hình vuông lớn có đường chéo dài $2n\text{ (cm)}$ (hình b). Sau khi đổ, mức nước ở khay thứ hai cao bằng $\frac{2}{5}$ chiều cao của khay đó và lượng nước trong khay thứ nhất giảm đi $\frac{1}{4}$ so với ban đầu. Thể tích của chiếc khay thứ hai bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$ (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Người ta sử dụng một tấm bìa hình chữ nhật $ABCD$ có tâm $O$, sau đó cắt bỏ tam giác $OBC$ và gấp tấm bìa lại theo các đoạn thẳng $OA$, $OD$ sao cho hai đỉnh $B$ và $C$ trùng nhau thì thu được một khối tứ diện $OABD$ (không có mặt đáy $ABD$).

Nếu muốn khối tứ diện thu được có thể tích là $2{\text{ m}}^3$ thì cần sử dụng tấm bìa có diện tích nhỏ nhất là bao nhiêu mét vuông? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}_1=a\sqrt{2}$.

Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $B$, $\widehat{ABC}=120^{\circ }$, $AB=2$. Mặt bên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ tạo với đáy góc $60^{\circ }$, hình chiếu của $A^{\prime }$ lên mặt đáy là điểm $H$ sao cho $\widehat{HAB}=\widehat{HCB}=90^{\circ }$. Tính thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$.

Câu 4. Một mô hình thủy tinh được cấu tạo bởi một khối chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $4$, $O$ là giao điểm của $AC,BD$ và một khối cầu $(S)$ nội tiếp khối chóp. Biết $V_{(S)}=\frac{1}{3}{R}_{(S)}{S}_{tp}$ trong đó ($R_{(S)}$: bán kính mặt cầu nội tiếp khối chóp, $S_{tp}$ là diện tích toàn phần của hình chóp, $V_{(S)}$ thể tích khối cầu $(S)$).

Câu 3. Cho khối chóp tứ giác đều $S.ABCD$ mà khoảng cách từ đỉnh $A$ đến $(SBC)$ bằng $2a$. Khi thể tích của khối chóp đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính số đo góc nhị diện $[S,AD,B]$ theo đơn vị radian (kết quả chính xác đến hàng phần trăm).

Từ một miếng bìa hình vuông cạnh bằng $130\text{ cm}$, người ta cắt bỏ $4$ phần ở $4$ góc như hình vẽ và giữ lại một mảnh được tô màu (gồm $1$ hình vuông cạnh bằng $x\text{ cm}$ và $4$ tam giác cân). Tiến hành gấp mảnh còn lại thành một hình chóp tứ giác đều $(H)$.

Trên công trường xây dựng, một công nhân muốn tạo ra một dụng cụ để đựng vật liệu lỏng từ một tấm thép hình chữ nhật tâm $O$ có $AB=4,64\text{ m},AD=3,48\text{ m}$. Do tấm thép bị hỏng một phần

nên người đó cắt bỏ tam giác $OBC$ và hàn hai mép $OB,OC$ với nhau để thu được một hình tứ diện $OABD$ (không có mặt $ABD$). Dụng cụ này sẽ được vùi đất xung quanh sao cho đỉnh $O$ quay xuống và mặt $ABD$ hướng lên trên, khi đựng đầy vật liệu lỏng thì phần không gian trong lòng của dụng cụ hoàn toàn bị lấp đầy. Tính thể tích của vật liệu lỏng được đựng đầy trong dụng cụ. (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của đơn vị ${\text{m}}^3$ và xem độ dày của tấm thép không đáng kể).