Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $AB=AC=1$ nên diện tích đáy là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}.$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2=\frac{1}{3}.$

Thể tích của khối trụ có chiều cao $h$ và bán kính đáy $R$ là $V=\pi R^{2}h$.
Suy ra chiều cao của khối trụ là: $h=\frac{V}{\pi R^2}$.

Vì tam giác $ABD$ đều cạnh $a$ nên $S_{ABD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Diện tích đáy hình thoi $ABCD$ bằng:
$S_{ABCD}=2S_{ABD}=2\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$

Tam giác đáy $ABC$ đều cạnh $a$ nên $S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Cạnh bên có độ dài bằng $a$ và hợp với đáy một góc $60^{\circ }$, do đó chiều cao của khối lăng trụ là:
$h=a\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
Thể tích của khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}.$

Gọi bán kính đáy của khối nón và nửa khối cầu là $R$, đường cao khối nón là $h=2R$.
Thể tích của toàn bộ khối đồ vật là:
$V=V_{\text{noˊn}}+V_{\text{nửa caˆˋu}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}h+\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{1}{3}\pi R^2(2R)+\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi R^3.$
Theo đề bài: $\frac{4}{3}\pi R^3=36\pi ⟹R^3=27⟹R=3\text{ cm}$.
Chiều cao nón là $h=6\text{ cm}$, đường sinh của khối nón là $l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt{5}\text{ cm}$.
Diện tích bề mặt toàn bộ đồ vật gồm diện tích xung quanh hình nón và diện tích nửa mặt cầu:
$S=S_{xq}+S_{\text{nửa caˆˋu}}=\pi Rl+2\pi R^2=\pi \cdot 3\cdot 3\sqrt{5}+2\pi \cdot 3^2=9\sqrt{5}\pi +18\pi =9\pi \left(\sqrt{5}+2\right){\text{ cm}}^2.$

Khối tứ diện $S.ABC$ có một cặp cạnh đối là $SA=x,BC=y$, và 4 cạnh còn lại đều bằng 1.
Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $BC$.
Tam giác $SBC$ và $ABC$ cân tại $S$ và $A$ có cạnh đáy $BC=y$, các cạnh bên bằng 1 nên $MN\perp SA$ và $MN\perp BC$.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $SA$ và $BC$ là $MN$, và góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$.
Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{6}xy\cdot MN.$
Tính $MN$ theo $x,y$ và áp dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị lớn nhất, ta được:
$V_{\max }=\frac{2\sqrt{3}}{27}.$

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_1=2\pi Rh=2\pi R\cdot R\sqrt{3}=2\sqrt{3}\pi R^2$.
Đường sinh hình nón: $l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{R^2+3R^2}=2R$.
Diện tích xung quanh hình nón: $S_2=\pi Rl=\pi R\cdot 2R=2\pi R^2$.
Tỷ số: $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\sqrt{3}\pi R^2}{2\pi R^2}=\sqrt{3}$.

Diện tích đáy $S$ tỉ lệ với bình phương cạnh đáy, khi cạnh đáy tăng 2 lần thì diện tích đáy tăng $2^2=4$ lần.
Chiều cao $h$ giảm 4 lần, do đó thể tích $V=\frac{1}{3}Sh$ thay đổi theo tỉ lệ $4\times \frac{1}{4}=1$, tức không thay đổi.

Thể tích khối lăng trụ đứng: $V=S\cdot h=3a^2\cdot 2a=6a^3$.

Bán kính đáy: $r=\sqrt{l^2-h^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=12\pi$.

Ta có $V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{2}$.
Vì $\frac{SE}{SC}=\frac{2}{3}$, áp dụng tỉ số thể tích trong hình chóp tam giác:
$V_{S.EBD}=\frac{SE}{SC}\cdot V_{S.CBD}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC\Rightarrow A^{\prime }G\perp (ABC)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC\Rightarrow AM\perp BC$.
Khoảng cách giữa $A{A}^{\prime }$ và $BC$ bằng khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(A{A}^{\prime }G)$ hoặc tương ứng.
Tính toán chiều cao $A^{\prime }G=\frac{a}{6}$, diện tích đáy $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot A^{\prime }G=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{6}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$.

Bán kính đường tròn đáy là $r=2,5\text{ cm}$, chiều dài trục lăn $h=23\text{ cm}$.
Diện tích xung quanh của trục lăn (diện tích quét được sau 1 vòng lăn) là:
$S_1=2\pi rh=2\times 3,14\times 2,5\times 23=361,1{\text{ cm}}^2$
Sau khi lăn 10 vòng, diện tích lớp sơn là: $S=10\times 361,1=3611{\text{ cm}}^2$ (hoặc $36110{\text{ cm}}^2$ theo đơn vị tương ứng).

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh\Rightarrow B=\frac{3V}{h}$.

Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=4\pi \iff \frac{1}{3}\pi r^2\cdot 3=4\pi \iff r^2=4\Rightarrow r=2$.

Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2r$, suy ra đường sinh $l=2r$ và chiều cao $h=r\sqrt{3}$.
Thể tích khối nón: $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi r^2(r\sqrt{3})=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi r^3$.
Theo giả thiết $V=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi a^3\Rightarrow r=a,l=2a$.
Diện tích xung quanh là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot a\cdot 2a=2\pi a^2$.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$.
Thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 3a=a^3$.

Đáy là tam giác đều cạnh $2a$, diện tích đáy là $S=(2a{)}^2\frac{\sqrt{3}}{4}=a^2\sqrt{3}$.
Thể tích khối lăng trụ: $V=S\cdot h=a^2\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=3a^3$.

Thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 2^2\cdot 2=8\pi$.

Đặt $\frac{SM}{SA}=x=\frac{1}{2}$, $\frac{SN}{SB}=y=\frac{1}{2}$, $\frac{SP}{SC}=z=\frac{2}{3}$, $\frac{SQ}{SD}=t$.
Vì $M,N,P,Q$ đồng phẳng nên ta có hệ thức:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{t}\iff 2+\frac{3}{2}=2+\frac{1}{t}\Rightarrow \frac{1}{t}=\frac{3}{2}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$
Thể tích khối chóp $S.MNPQ$ được tính theo công thức:
$\frac{V_{S.MNPQ}}{V_{S.ABCD}}=\frac{xyzt}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}{4}\left(2+2+\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right)=\frac{1}{36}\cdot 7=\frac{7}{36}$
Do đó $V_{S.MNPQ}=\frac{7}{36}\cdot 12=\frac{7}{3}$.