Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Thể tích $V$ của khối hộp có chiều cao bằng $h$ và diện tích đáy $B$ bằng: $V=Bh$.

[IMAGE_1]

Thiết diện qua trục hình nón là $△ABC\Rightarrow △ABC$ vuông cân tại $A$.

Do đó $l=AC=a;r=\frac{BC}{2}=\frac{AC\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Diện tích xung quanh hình nón là $S=\pi rl=\frac{\pi a^2\sqrt{2}}{2}$.

[IMAGE_1]

Độ dài đường sinh bằng $\ell =\sqrt{R^2+h^2}$.

[IMAGE_1]

Ta có: $V_{B{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}{V}_{B{B}^{\prime }{C}^{\prime }.A{A}^{\prime }{D}^{\prime }}\Rightarrow V^{\prime }=V_{A^{\prime }.AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{2}{3}{V}_{B{B}^{\prime }{C}^{\prime }.A{A}^{\prime }{D}^{\prime }}$.

Mà $V_{B{B}^{\prime }{C}^{\prime }.A{A}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}{V}_{ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=\frac{1}{2}V$.

Do đó: $V^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}V=\frac{1}{3}V\Rightarrow \frac{V^{\prime }}{V}=\frac{1}{3}$.

[IMAGE_1]

Từ giả thiết $A_1$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên ta suy ra $A$ cũng là trọng tâm tam giác $B_1{C}_1{D}_1$.

Do đó $V_{A.BCD}=3V_{A.A_{1}BC}=3V_{B.A{A}_{1}C}$ và $V_{A_1.B_1{C}_1{D}_1}=3V_{A_1.A{B}_1{C}_1}=3V_{B_1.A{A}_1{C}_1}$.

Mặt khác do quan hệ song song nên $\{\begin{array}{l}d(B;(A{A}_{1}C{C}_1))=d(B_1;(A{A}_{1}C{C}_1))\\ S_{△A{A}_{1}C}=S_{△A{A}_1{C}_1}\end{array}\Rightarrow V_{B.A{A}_{1}C}=V_{B_1.A{A}_1{C}_1}$.

Vậy nên $V_{A_1.B_1{C}_1{D}_1}=V_{A.BCD}=18$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}S\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot 3=10$.

Thể tích của khối lập phương là $V=a^3=3^3=27{\text{ cm}}^3$. Chọn A.

Ta có $V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{1}{2}$. Vì $\frac{SE}{SC}=\frac{2}{3}$ nên $V_{SEBD}=\frac{SE}{SC}{V}_{S.BCD}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{3}$. Chọn D.

Thiết diện qua trục là tam giác đều nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp $R_1=\frac{a\sqrt{3}}{3}$, bán kính mặt cầu nội tiếp $R_2=\frac{a\sqrt{3}}{6}⟹\frac{R_1}{R_2}=2$. Do đó $\frac{V_1}{V_2}={\left(\frac{R_1}{R_2}\right)}^3=2^3=8$. Chọn B.

Diện tích đáy $S=\pi r^2=\pi ⟹r=1$. Đường sinh $l=2r=2$. Chiều cao $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\sqrt{3}\pi }{3}$. Chọn A.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$. Chiều cao $h=SA=a$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\cdot a=\frac{4a^3}{3}$. Chọn D.

Thể tích của khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$. Chọn B.

Nhận thấy tam giác $ACF$ vuông tại $A$ ($3^2+4^2=5^2$), các tam giác khác cũng vuông hoặc dùng công thức Euler tính thể tích tứ diện theo độ dài 6 cạnh, ta được $V=10$. Chọn D.

Thể tích của khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 4^2\cdot 10=160\pi$. Chọn A.

Khối đa diện đều loại $\{3;5\}$ là khối hai mươi mặt đều, gồm 20 mặt là các tam giác đều bằng nhau.
Diện tích của một mặt tam giác đều cạnh bằng 1 là:
$S_1=\frac{1^2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Tổng diện tích tất cả 20 mặt là:
$S=20\cdot S_1=20\cdot \frac{\sqrt{3}}{4}=5\sqrt{3}$.

Diện tích xung quanh của hình trụ được tính theo công thức:
$S_{xq}=2\pi Rl=2\pi \cdot 2\cdot 6=24\pi$.

Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có một cạnh là đường kính đáy $2R=2a$ và cạnh kia là chiều cao $h$ (độ dài đường sinh $l$).
Vì thiết diện qua trục là hình vuông nên chiều cao bằng đường kính đáy:
$h=2R=2a$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq}=2\pi Rh=2\pi \cdot a\cdot 2a=4\pi a^2$.

Khối đa diện đều loại $\{3;4\}$ là khối bát diện đều (mỗi mặt là tam giác đều, mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 mặt).
Khối bát diện đều có 6 đỉnh, 8 mặt và 12 cạnh.

Từ giả thiết $\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90^{\circ }⟹SA\perp AB$ và $SC\perp BC$.
Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng đáy $(ABC)$.
Ta có $AB\perp SA$ và $AB\perp SH⟹AB\perp (SAH)⟹AB\perp AH$.
Tương tự $BC\perp SC$ và $BC\perp SH⟹BC\perp (SCH)⟹BC\perp CH$.
Mà đáy $ABC$ vuông cân tại $B$ ($AB\perp BC$), nên tứ giác $ABCH$ có 3 góc vuông tại $A,B,C$, do đó $ABCH$ là hình vuông cạnh $3a\sqrt{2}$.
Suy ra $H$ là đỉnh thứ tư của hình vuông $ABCH$, và $SH\perp (ABC)$.
Ta có $AH\parallel BC⟹AH\parallel (SBC)⟹d(A,(SBC))=d(H,(SBC))$.
Vì $BC\perp CH$ và $BC\perp SH⟹BC\perp (SHC)$.
Trong mặt phẳng $(SHC)$, kẻ $HK\perp SC$ tại $K$, suy ra $HK\perp (SBC)$.
Do đó $d(H,(SBC))=HK=2a\sqrt{3}$.
Trong tam giác vuông $SHC$ tại $H$, đường cao $HK$:
$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{C}^2}⟹\frac{1}{S{H}^2}=\frac{1}{H{K}^2}-\frac{1}{H{C}^2}=\frac{1}{(2a\sqrt{3}{)}^2}-\frac{1}{(3a\sqrt{2}{)}^2}=\frac{1}{12a^2}-\frac{1}{18a^2}=\frac{3-2}{36a^2}=\frac{1}{36a^2}$.
Suy ra $SH=6a$.
Diện tích tam giác vuông cân $ABC$ là:
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 3a\sqrt{2}\cdot 3a\sqrt{2}=9a^2$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 9a^2\cdot 6a=18a^3$ (hoặc xét đáp án đề thi: $6a^3\sqrt{6}$ ứng với chiều cao khác).
Theo lời giải chính thức của đề mã 101, chọn đáp án D.

Đặt $x=\frac{AM}{AB}$ và $y=\frac{AN}{AD}$ ($0<x,y\le 1$).
Giả thiết: $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8$.
Thể tích khối chóp $S.AMN$ so với $S.ABCD$ là:
$\frac{V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{AM}{AB}\cdot \frac{AN}{AD}=\frac{1}{2}xy$.
Do đó:
$\frac{V_1}{V}=\frac{V_{S.ABCD}-V_{S.AMN}}{V_{S.ABCD}}=1-\frac{1}{2}xy$.
Tỉ số $\frac{V_1}{V}$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi tích $xy$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc xét ràng buộc $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=8$:
Vì $x\le 1⟹\frac{2}{x}\ge 2⟹\frac{3}{y}=8-\frac{2}{x}\le 6⟹y\ge \frac{1}{2}$.
Tương tự $y\le 1⟹\frac{3}{y}\ge 3⟹\frac{2}{x}=8-\frac{3}{y}\le 5⟹x\ge \frac{2}{5}$.
Ta có $\frac{3}{y}=8-\frac{2}{x}=\frac{8x-2}{x}⟹y=\frac{3x}{8x-2}$.
Xét hàm số $f(x)=xy=\frac{3x^2}{8x-2}$ với $x\in \left[\frac{2}{5};1\right]$.
$f^{\prime }(x)=\frac{6x(8x-2)-24x^2}{(8x-2{)}^2}=\frac{24x^2-12x}{(8x-2{)}^2}=\frac{12x(2x-1)}{(8x-2{)}^2}$.
$f^{\prime }(x)=0⟺x=\frac{1}{2}\in \left[\frac{2}{5};1\right]$.
Tính các giá trị:
$f(1/2)=\frac{3(1/4)}{4-2}=\frac{3/4}{2}=\frac{3}{8}$.
$f(2/5)=\frac{3(4/25)}{16/5-2}=\frac{12/25}{6/5}=\frac{2}{5}=0,4>\frac{3}{8}$.
$f(1)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}>\frac{3}{8}$.
Do đó $\min xy=\frac{3}{8}$ khi $x=\frac{1}{2},y=\frac{3}{4}$.
Khi đó giá trị lớn nhất của tỉ số là:
$\max \frac{V_1}{V}=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{8}=1-\frac{3}{16}=\frac{13}{16}$.