Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 7 chọn đáp án C.

Bán kính đáy $r=3$. Thiết diện qua trục là một hình vuông nên chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy:
$h=2r=6.$
Thể tích của khối trụ bằng:
$V=\pi r^{2}h=\pi \cdot 3^2\cdot 6=54\pi .$

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 11 chọn đáp án B.

Theo bài ra ta có:
- Diện tích đáy $S_d=\pi r^2=16\pi a^2\Rightarrow r=4a$.
- Thể tích khối nón $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=16\pi a^3\Rightarrow \frac{1}{3}\cdot 16\pi a^2\cdot h=16\pi a^3\Rightarrow h=3a$.
Độ dài đường sinh của hình nón là:
$l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(4a{)}^2+(3a{)}^2}=5a.$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
$S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 4a\cdot 5a=20\pi a^2.$

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 46 chọn đáp án C.

Vì $SM,SP$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $S$ đến mặt cầu nên $SM=SP=2a$.
Tương tự, $BN,BP$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $B$ nên $BN=BP=3a$.
Do $P$ nằm trên cạnh $SB$ nên độ dài cạnh bên của chóp là:
$SB=SP+PB=2a+3a=5a.$
Vì $S.ABC$ là chóp tam giác đều nên $SA=SB=SC=5a$.
Lại có $AM,AN$ là hai tiếp tuyến kẻ từ $A$ đến mặt cầu nên $AM=AN$.
Mà $M$ thuộc tia đối của tia $SA$ nên $AM=SA+SM=5a+2a=7a$.
$N$ thuộc tia đối của tia $BA$ nên $AN=AB+BN=AB+3a$.
Do $AM=AN\Rightarrow AB+3a=7a\Rightarrow AB=4a$.
Đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $4a$ nên:
$S_{ABC}=\frac{(4a{)}^2\sqrt{3}}{4}=4a^2\sqrt{3}.$
Gọi $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$, ta có $SH\perp (ABC)$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy:
$AH=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\frac{4a}{\sqrt{3}}=\frac{4a\sqrt{3}}{3}.$
Chiều cao của khối chóp:
$SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{(5a{)}^2-{\left(\frac{4a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\sqrt{25a^2-\frac{16a^2}{3}}=\frac{a\sqrt{59}}{\sqrt{3}}.$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 4a^2\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{59}}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{59}{a}^3}{3}.$

Chọn đáp án C.

Chọn D.
Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho bằng $V=a\cdot 2a\cdot 4a=8a^3$.

Chọn A.
Hình nón tạo thành có độ dài đường sinh $l=4a$, bán kính đáy $R=2a$.
Diện tích xung quanh của hình nón là:
$S_{xq}=\pi Rl=\pi \cdot 2a\cdot 4a=8\pi a^2.$

Chọn C.
Độ dài đường sinh của hình trụ bằng khoảng cách giữa hai đáy: $l=10\text{ cm}$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot 4\cdot 10=80\pi {\text{ cm}}^2.$

Chọn B.
Đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B$, $AB=3a$ và $BC=a$ nên có diện tích $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{3a^2}{2}$.
Thể tích của khối chóp đã cho là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot \frac{3a^2}{2}\cdot 3a=\frac{3a^3}{2}.$

Chọn D.
Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $a$, do đó đường kính đáy $2r=a⟹r=\frac{a}{2}$.
Chiều cao của khối nón bằng đường cao tam giác đều cạnh $a$: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích của khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi {\left(\frac{a}{2}\right)}^2\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}\pi a^3}{24}.$

Chọn C.


Vì $(\alpha )\parallel BD$ nên $MN\parallel BD$.
Gọi $O,O^{\prime }$ lần lượt là tâm của hai hình vuông $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $I=MN\cap O{O}^{\prime }$.
Khi đó $I$ là trung điểm của $MN$ và trong hình thang $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$, đoạn $AK$ cắt $O{O}^{\prime }$ tại $I$.
Theo định lý Ta-lét trong hình thang $A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C$ với $O$ là trung điểm $AC$:
$OI=\frac{1}{2}CK=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{3}a=\frac{a}{3}.$
Vì $MN\parallel BD$ nên $BM=DN=OI=\frac{a}{3}$.
Gọi $V$ là thể tích khối đa diện cần tính. Do tính đối xứng qua mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$:
$V=2V_{OBC.IMK}=2(V_{A.BCKM}-V_{A.OBMI})=\frac{2}{3}(AB\cdot S_{BCKM}-AO\cdot S_{OBMI}).$
Ta có $S_{BCKM}=\frac{(BM+CK)\cdot BC}{2}=\frac{\left(\frac{a}{3}+\frac{2a}{3}\right)a}{2}=\frac{a^2}{2}$.
$S_{OBMI}=\frac{(BM+OI)\cdot OB}{2}=\frac{\left(\frac{a}{3}+\frac{a}{3}\right)\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}}{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{6}$.
$V=\frac{2}{3}\left[a\cdot \frac{a^2}{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{2}}{6}\right]=\frac{2}{3}\left(\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{6}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{a^3}{3}=\frac{2a^3}{9}.$

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot 3=10$.

Thể tích khối nón có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ được tính theo công thức $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$.

Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh $2a$ nên đường kính đáy $2r=2a⟹r=a$ và chiều cao $h=2a$. Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot a\cdot 2a=4\pi a^2$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$, $K$ là trung điểm $AB$. Khi đó $HK\perp AB$ và góc giữa $(SAB)$ và $(ABC)$ là $\widehat{SKH}=60^{\circ }$. Chiều cao $SH=HK\tan 60^{\circ }=\frac{AC}{2}\sqrt{3}=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot SH=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.



Sử dụng phép phân chia khối đa diện và tỷ số thể tích theo các vectơ chỉ phương, ta tính được $V_{ABCSMN}=2\sqrt{3}{a}^3$.

Xác định chân đường cao $H$ của khối chóp dựa vào điều kiện góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau. Kết hợp với $\tan \alpha =\frac{2\sqrt{19}}{3}$ và $SA=SB=2a$ để tính chiều cao và diện tích đáy hình thoi, ta thu được $V=\frac{57a^3}{8}$.

Khối chóp tứ giác đều có đáy là hình vuông nên có 4 mặt phẳng đối xứng: 2 mặt phẳng đi qua đỉnh và đường chéo đáy, 2 mặt phẳng đi qua đỉnh và trung điểm các cặp cạnh đối diện của đáy.

Gọi $H$ là trung điểm $AB$, $A^{\prime }H\perp (ABC)$. Vì $C{C}^{\prime }\parallel A{A}^{\prime }$ nên góc giữa $C{C}^{\prime }$ và $(ABC)$ là góc giữa $A{A}^{\prime }$ và $(ABC)$, chính là góc $\widehat{A^{\prime }AH}=60^{\circ }$. Ta có $AH=\frac{a}{2}⟹A^{\prime }H=AH\tan 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối lăng trụ $V=S_{ABC}\cdot A^{\prime }H=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}$. Khối chóp $AC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ có thể tích bằng $\frac{1}{3}V=\frac{a^3}{8}$.

Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện $ABCD$. Phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k=-\frac{1}{3}$ biến tứ diện $ABCD$ thành tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.



Do đó tỉ số thể tích là $|k{|}^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$. Thể tích khối tứ diện $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ là $V=\frac{V_{ABCD}}{27}=\frac{2020}{27}$.

Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=a^2\cdot 4a=4a^3$.

Do $AB=2CD$ và $V_{S.ABCD}=27$ nên $V_{S.ABC}=18,V_{S.ACD}=9$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, gọi $E=DN\cap AB$, vì $NB=2NC$ nên $EB=2CD=AB\Rightarrow B$ là trung điểm của $AE$. Trong $(SAB)$, gọi $P=EM\cap SB\Rightarrow \frac{SP}{SB}=\frac{2}{3}$. Tính tỉ số thể tích suy ra phần khối đa diện chứa đỉnh $A$ có thể tích bằng $14$.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 4^2\cdot 3=16$.