Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Đặt $x=\frac{SC}{SP}\ge 1,y=\frac{SD}{SQ}\ge 1$.
Từ tính chất đồng phẳng cho đáy hình bình hành:
$\frac{SA}{SM}+\frac{SC}{SP}=\frac{SB}{SN}+\frac{SD}{SQ}⟹2+x=\frac{4}{3}+y⟹y=x+\frac{2}{3}.$
Tỉ số thể tích:
$\frac{V_{S.MNPQ}}{V}=\frac{9(x+2)}{16(3x^2+2x)}.$
Khảo sát hàm số $g(x)=\frac{9(x+2)}{16(3x^2+2x)}$ trên $[1;+\infty )$, ta thấy $g(x)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$.
Do đó $\max \frac{V_{S.MNPQ}}{V}=g(1)=\frac{27}{80}$.
Vậy giá trị lớn nhất bằng $\frac{27}{80}V$.

Thể tích khối chóp là $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot 3a\cdot a\cdot 2a=2a^3$. Chọn D.

Thể tích của khối lăng trụ là $V=B\cdot h=6\cdot 3=18{\text{ cm}}^3$.

Chọn đáp án D.

Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật có kích thước $2r=2a$ và chiều cao $h$. Chu vi thiết diện bằng $2(2a+h)=12a\iff 2a+h=6a\iff h=4a$. Thể tích khối trụ là $V=\pi r^{2}h=\pi a^2\cdot 4a=4\pi a^3$.

Chọn đáp án D.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$.

Chọn đáp án D.

Chiều cao của khối nón là $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
Thể tích của khối nón tròn xoay là $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 2\sqrt{3}=\frac{8\pi \sqrt{3}}{3}$.

Chọn đáp án B.

Gọi $h$ là chiều cao chung của các bể nước. Gọi $R$ là bán kính đáy của bể mới.
Thể tích bể nước mới bằng tổng thể tích hai bể ban đầu:
$V=V_1+V_2\iff \pi R^{2}h=\pi r_1^{2}h+\pi r_2^{2}h\iff R^2=r_1^2+r_2^2=(1,6{)}^2+(1,8{)}^2=2,56+3,24=5,8$.
Suy ra $R=\sqrt{5,8}\approx 2,408\text{ m}$.
Giá trị này gần nhất với $2,4\text{ m}$.

Chọn đáp án A.

Hình trụ có chiều cao $h=8a$. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha )$ song song với trục là hình vuông, do đó cạnh của hình vuông bằng chiều cao hình trụ là $8a$.
Độ dài dây cung của đáy bị cắt bởi $(\alpha )$ là $2d=8a\Rightarrow d=4a$. Khoảng cách từ trục đến mặt phẳng $(\alpha )$ là $3a$.
Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là $R=\sqrt{3^2{a}^2+4^2{a}^2}=5a$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi Rh=2\pi \cdot 5a\cdot 8a=80\pi a^2$.

Chọn đáp án A.

Trong tam giác $SBA$, kẻ phân giác trong $BE$ của góc $\widehat{SBA}=120^{\circ }$, ta có $\widehat{ABE}=\widehat{EBS}=60^{\circ }$.
Ta có $S_{△SAB}=S_{△ABE}+S_{△SBE}\iff \frac{1}{2}AB\cdot SB\sin 120^{\circ }=\frac{1}{2}AB\cdot BE\sin 60^{\circ }+\frac{1}{2}SB\cdot BE\sin 60^{\circ }$.
Vì $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, đặt $AB=x\Rightarrow SB=2x$, ta có $2x^2=ax+2ax=3ax\Rightarrow x=\frac{3a}{2}$. Do đó $AB=\frac{3a}{2}$ và $SB=3a$.
Áp dụng định lý cosin trong $△SAB$: $S{A}^2=A{B}^2+S{B}^2-2AB\cdot SB\cos 120^{\circ }={\left(\frac{3a}{2}\right)}^2+(3a{)}^2-2\cdot \frac{3a}{2}\cdot 3a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{9a^2}{4}+9a^2+\frac{9a^2}{2}=\frac{63a^2}{4}\Rightarrow SA=\frac{3a\sqrt{7}}{2}$.
Chiều cao của khối chóp là $h=SA\sin 45^{\circ }=\frac{3a\sqrt{7}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3a\sqrt{14}}{4}$.
Diện tích đáy hình vuông $S_{ABCD}=A{B}^2={\left(\frac{3a}{2}\right)}^2=\frac{9a^2}{4}$.
Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot \frac{9a^2}{4}\cdot \frac{3a\sqrt{14}}{4}=\frac{9\sqrt{14}{a}^3}{16}$.

Chọn đáp án B.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là $a$. Gắn hệ trục tọa độ hoặc dùng tính chất đối xứng:
Do $\tan \alpha =\sqrt{2}$, mặt phẳng $(P)$ cắt các cạnh đối diện tại các trung điểm tương ứng tạo thành thiết diện đi qua tâm của khối lập phương.
Khi một mặt phẳng đi qua tâm đối xứng của khối lập phương, nó chia khối lập phương thành hai khối đa diện có thể tích hoàn toàn bằng nhau.
Do đó $V_1=V_2=\frac{1}{2}V$, suy ra tỉ số $\frac{V_1}{V_2}=1$.

Chọn đáp án A.

Chọn A.
Ta có công thức thể tích khối chóp: $V=\frac{1}{3}B\cdot h\Rightarrow B=\frac{3V}{h}=\frac{3\cdot 10}{6}=5$.

Chọn A.
Mối liên hệ giữa đường sinh, chiều cao và bán kính đáy hình nón là: $l=\sqrt{h^2+r^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$.

Chọn D.
Thể tích khối trụ: $V=\pi r^{2}h\Rightarrow h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{196\pi }{\pi \cdot 7^2}=\frac{196}{49}=4$.

Chọn A.
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có cạnh huyền $AC=2a\Rightarrow AB=BC=\frac{AC}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.
Diện tích tam giác đáy là $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}{)}^2=a^2$.
Chiều cao hình chóp là $SA=2a$.
Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 2a=\frac{2}{3}{a}^3.$

Chọn D.
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD\Rightarrow SO\perp (ABCD)$.
Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Khi đó góc giữa mặt bên $(SCD)$ và đáy là góc $\widehat{SKO}=60^{\circ }$.
Chiều cao hình chóp $SO=OK\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{a}{2}\sqrt{3}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V_0=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.
Mặt phẳng $(P)$ chứa $AB$ tạo với đáy góc $30^{\circ }$ cắt $SK$ tại $J$. Sử dụng định lý hàm số sin và tỉ số thể tích hình chóp đa giác, ta tính được tỉ số thể tích $\frac{V_{S.ABMN}}{V_0}=\frac{3}{8}$.
Thể tích khối chóp $S.ABMN$ là:
$V = \frac{3}{8} \cdot \frac{a^3 \sqrt{3}}{6} = \frac{a^3 \sqrt{3}}{16}.

Độ dài đường sinh hình nón là $l=\sqrt{r^2+h^2}=\sqrt{(4a{)}^2+(3a{)}^2}=5a$. Diện tích xung quanh là $S_{xq}=\pi rl=\pi \cdot 4a\cdot 5a=20\pi a^2$.

Thể tích của khối hộp chữ nhật là $V=3\cdot 4\cdot 5=60$.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 2=2$.

Thể tích khối lăng trụ tam giác đều là $V=S_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot a=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$.

Ta có $S_{xq}=\pi rl=24\pi \Rightarrow l=\frac{24}{3}=8$. Chiều cao khối nón là $h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{8^2-3^2}=\sqrt{55}$.