Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân có cạnh huyền $2r=a\sqrt{2}\Rightarrow r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và đường sinh $l=a$. Diện tích xung quanh hình nón là $S_{xq}=\pi rl=\frac{\pi \sqrt{2}{a}^2}{2}$.

Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}{a}^3}{3}$.

Đường chéo hình lập phương cạnh $x$ là $A{C}^{\prime }=x\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a$. Thể tích khối lập phương là $V=a^3$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=BC=a\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{ABC}\cdot B{B}^{\prime }=\frac{a^3}{2}$.

Thiết diện vuông góc với cạnh bên là tam giác có ba cạnh $1,2,\sqrt{5}$ (vuông diện tích $S_{\perp }=1$). Từ $A^{\prime }M=\frac{\sqrt{15}}{3}$ và $AM\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, tính được độ dài cạnh bên $A{A}^{\prime }=\frac{2\sqrt{15}}{3}$, suy ra $V=S_{\perp }\cdot A{A}^{\prime }=\frac{2\sqrt{15}}{3}$.

Chọn D.
Vì $SA,SB,SC$ đôi một vuông góc nên thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{6}SA\cdot SB\cdot SC=\frac{1}{6}\cdot a\cdot 2a\cdot 3a=a^3.$

Chọn D.
Thể tích khối lập phương cạnh $3a$ là $V=(3a{)}^3=27a^3$.

Chọn A.
Diện tích xung quanh của khối nón có bán kính đáy $r$ và đường sinh $l$ là $S_{xq}=\pi rl$.

Chọn A.
Vì tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên gọi $H$ là trung điểm $AB$, ta có $SH\perp AB$ và $SH=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$.
Do mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABC)$ theo giao tuyến $AB$ nên $SH\perp (ABC)$.
Diện tích tam giác đều $ABC$ là $S_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{\Delta ABC}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}.$

Chọn A.
Thể tích của khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 2=6\pi .$

Chọn C.
Diện tích đáy là tam giác đều cạnh $a$:
$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$
Chiều cao lăng trụ đứng là độ dài cạnh bên $h=A{A}^{\prime }=2a$.
Thể tích khối lăng trụ là:
$V=S_{ABC}\cdot h=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot 2a=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}.$


Chọn A.
Gọi $h$ là chiều cao của lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ và $S$ là diện tích đáy $ABC$.
Thể tích khối lăng trụ là $V=S\cdot h$.
Khối chóp $M.ABC$ có đáy là $ABC$ diện tích $S$, và chiều cao hạ từ $M$ xuống $(ABC)$ bằng khoảng cách từ $M$ đến $(ABC)$.
Vì $M$ là trung điểm $A{A}^{\prime }$ nên $d(M,(ABC))=\frac{1}{2}d(A^{\prime },(ABC))=\frac{h}{2}$.
Thể tích khối chóp $M.ABC$ là:
$V_{M.ABC}=\frac{1}{3}S\cdot \frac{h}{2}=\frac{1}{6}S\cdot h=\frac{V}{6}.$


Chọn C.
Thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 6 nên chiều cao của khối trụ là $h=6$ và đường kính đáy $2r=6\Rightarrow r=3$.
Diện tích xung quanh của khối trụ là:
$S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 3\cdot 6=36\pi .$

Chọn D.
Gọi $I$ là trung điểm của $AB$, khi đó $OI\perp AB$ và $O^{\prime }I\perp AB$.
Góc giữa $(O^{\prime }AB)$ và mặt phẳng đáy $(O)$ là góc $\widehat{O^{\prime }IO}=60^{\circ }$.
Tam giác $O^{\prime }OI$ vuông tại $O$, ta có: $O{O}^{\prime }=OI\cdot \tan 60^{\circ }=OI\sqrt{3}$, và $O^{\prime }I=\frac{OI}{\cos 60^{\circ }}=2OI$.
Đặt $AB=x$, vì $\Delta O^{\prime }AB$ đều nên $O^{\prime }I=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow 2OI=\frac{x\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OI=\frac{x\sqrt{3}}{4}$.
Trong tam giác vuông $OIA$, ta có: $O{A}^2=O{I}^2+I{A}^2\Rightarrow R^2={\left(\frac{x\sqrt{3}}{4}\right)}^2+{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{7x^2}{16}\Rightarrow x=\frac{4R}{\sqrt{7}}$.
Suy ra chiều cao hình trụ $h=O{O}^{\prime }=OI\sqrt{3}=\frac{x\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{3x}{4}=\frac{3R}{\sqrt{7}}$.
Diện tích xung quanh của hình trụ là:
$S_{xq} = 2\pi R h = 2\pi R \cdot \frac{3R}{\sqrt{7}} = \frac{6\pi R^2}{\sqrt{7}} = \frac{6\pi R^2 \sqrt{7}}{7}.


Chọn D.
Gọi cạnh tam giác đều $ABC$ là $x>0$. Khi đó $DH=\frac{x}{2}$.
Vì $O\in DH$ và $DH\perp (ABC)$ nên hình chiếu của $O$ lên $(ABC)$ chính là $H$.
Hình cầu tâm $O$ tiếp xúc với $AB,AC$ và khoảng cách từ $O$ đến $AB,AC$ bằng bán kính $R=1$.
Do góc giữa $(BCD)$ và $(ABC)$ bằng $60^{\circ }$ và mặt cầu tiếp xúc $(BCD)$, ta thiết lập phương trình liên hệ giữa $x$ và bán kính $R=1$.
Giải phương trình hình học ta thu được $x=3$.
Khi đó diện tích đáy $S_{\Delta ABC}=\frac{x^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$.
Chiều cao $DH=\frac{x}{2}=\frac{3}{2}$.
Thể tích tứ diện $ABCD$ là:
$V = \frac{1}{3} S_{\Delta ABC} \cdot DH = \frac{1}{3} \cdot \frac{9\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{8}.


Chọn D.
Tam giác $SAC$ vuông tại $A$, cạnh đáy $AC=a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$).
Đường sinh của khối nón là $l=SC=a\sqrt{6}$.
Bán kính đáy là $r=AC=a\sqrt{2}$.
Chiều cao của khối nón là $h=SA=\sqrt{S{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{6a^2-2a^2}=2a$.
Thể tích khối nón tròn xoay tạo thành là:
$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi (a\sqrt{2})^2 (2a) = \frac{4\pi a^3}{3}.


Chọn B.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $CB=CD=a$, tam giác $CBD$ cân tại $C$.
Đỉnh của hình nón là $C$, các điểm $B,M,D$ thuộc mặt xung quanh và $A$ thuộc mặt đáy hình nón.
Do tính đối xứng qua mặt phẳng $(SAC)$, trục của hình nón nằm trong mặt phẳng $(SAC)$.
Gọi góc ở đỉnh của hình nón là $2\alpha$. Bằng cách lập phương trình hình học và tỉ số lượng giác trong tam giác vuông $SAC$ với $SA=a\sqrt{7},AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SC=3a$, ta xác định được bán kính đáy $R$ và đường sinh $l$ của hình nón $(C)$.
Tính toán diện tích xung quanh $S_{xq}=\pi Rl$ cho kết quả:
$S_{xq}=\frac{8\sqrt{30}}{15}\pi a^2.$


Thể tích của khối chóp là: $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 9a^2\cdot a=3a^3$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là: $S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot 3a\cdot 2a=12\pi a^2$.

Thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh $2a\sqrt{3}$ nên:
- Bán kính đáy hình nón là $r=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$.
- Chiều cao hình nón là đường cao của tam giác đều: $h=\frac{2a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=3a$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{3}{)}^2\cdot 3a=3\pi a^3$.