Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

Thể tích của khối chóp đã cho $V=\frac{1}{3}B\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 5a^2\cdot a=\frac{5}{3}{a}^3$.

Diện tích toàn phần của hình trụ đã cho là $S_{tp}=S_{xq}+S_{\text{đaˊy}}=2\pi Rh+2\pi R^2$.

Diện tích xung quanh của hình nón đã cho:

$S_{xq}=\pi \cdot R\cdot l=\pi \cdot R\cdot \sqrt{R^2+h^2}=\pi \cdot 12\cdot \sqrt{12^2+16^2}=240\pi$.

[IMAGE_1]

Gọi $O$ là tâm đáy $\Rightarrow SO\perp (ABC)$, gọi $H$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $\{\begin{array}{l}AH\perp BC\\ SO\perp BC\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAH)\Rightarrow BC\perp SH$.

$\{\begin{array}{l}(SBC)\cap (ABC)=BC\\ BC\perp AH\\ BC\perp SH\end{array}\Rightarrow ((SBC),(ABC))=(SH,AH)=\widehat{SHA}=60^{\circ }$.

Tam giác $ABC$ cạnh $a$ có $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow OH=\frac{a\sqrt{3}}{6}$, $S_{△ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

Tam giác $SOH$ vuông tại $O$ có: $\tan 60^{\circ }=\frac{SO}{OH}\Rightarrow SO=\sqrt{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{6}=\frac{a}{2}$.

Vậy $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SO\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}\cdot \frac{a}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$.

[IMAGE_1]

Gọi $O=AC\cap BD$, $N$ là trung điểm $SD$ thì $MN$ là đường trung bình của tam giác $SCD$ nên suy ra $MN=\frac{CD}{2}=\frac{2a}{2}=a$ và thiết diện khi cắt hình chóp bởi mặt phẳng $(\alpha )$ là tứ giác $ABMN$ là hình thang cân nên $AN=BM$.

Chu vi của thiết diện là:

$C_{ABMN}=AB+BM+MN+AN=2a+BM+a+AN=3a+BM+AN=7a\Rightarrow BM+AN=4a$.

Suy ra $AN=BM=2a$. Đặt $SB=x$.

Áp dụng công thức độ dài đường trung tuyến vào tam giác $SBC$ ta có:

$B{M}^2=\frac{B{S}^2+B{C}^2}{2}-\frac{S{C}^2}{4}\iff 4a^2=\frac{x^2+4a^2}{2}-\frac{x^2}{4}\iff x^2=8a^2\iff x=2a\sqrt{2}$.

Do đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $BD=2a\sqrt{2}\Rightarrow r_N=OB=\frac{BD}{2}=a\sqrt{2}$.

Tam giác $SOB$ vuông tại $O$ nên ta có: $h_N=SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{8a^2-2a^2}=a\sqrt{6}$.

Thể tích hình nón cần tìm là: $V_N=\frac{1}{3}\pi r_N^2{h}_N=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{2}{)}^2\cdot a\sqrt{6}=\frac{2\pi a^3\sqrt{6}}{3}$.

Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V=\frac{1}{3}{S}_{△ABC}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot 10\cdot 3=10$. Chọn D.

Gọi $O$ là tâm của tam giác đều $ABC$ thì $A^{\prime }O\perp (ABC)$. Do $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })\parallel A{A}^{\prime }$ nên góc giữa $(BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }AO}=60^{\circ }$. Trong $△A^{\prime }AO$ vuông tại $O$: $OA=4\cos 60^{\circ }=2$, $A^{\prime }O=4\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$. Cạnh đáy $AB=OA\sqrt{3}=2\sqrt{3}\Rightarrow S_{△ABC}=\frac{(2\sqrt{3}{)}^2\sqrt{3}}{4}=3\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{△ABC}\cdot A^{\prime }O=3\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=18$. Đáp án (Phần III Câu 2, trang 7): 18.

Gọi cạnh của hình lập phương là $x$. Đường chéo của hình lập phương có độ dài $A{C}^{\prime }=x\sqrt{3}$. Theo bài ra, $x\sqrt{3}=a\sqrt{3}\Rightarrow x=a$. Thể tích của khối lập phương là $V=x^3=a^3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Diện tích đáy là tam giác đều cạnh 3: $S=\frac{3^2\sqrt{3}}{4}=\frac{9\sqrt{3}}{4}$. Chiều cao hình lăng trụ: $h=l\cdot \sin 30^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S\cdot h=\frac{9\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{3}=\frac{27}{4}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn D.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ có cạnh huyền $AC=2a$, suy ra $AB=BC=\frac{2a}{\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$. Diện tích tam giác đáy: $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{1}{2}(a\sqrt{2}{)}^2=a^2$. Thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V_{S.ABC}=\frac{1}{3}SA\cdot S_{ABC}=\frac{1}{3}a\cdot a^2=\frac{a^3}{3}$. Vì $M$ là trung điểm cạnh $SB$ nên theo công thức tỉ số thể tích: $\frac{V_{S.AMC}}{V_{S.ABC}}=\frac{SM}{SB}=\frac{1}{2}\Rightarrow V_{S.AMC}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABC}=\frac{a^3}{6}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn A.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_1=2\pi Rh=2\pi R(R\sqrt{3})=2\sqrt{3}\pi R^2$. Hình nón có bán kính đáy $R$, chiều cao $h=R\sqrt{3}$, đường sinh $l=\sqrt{R^2+h^2}=\sqrt{R^2+3R^2}=2R$. Diện tích xung quanh của hình nón là $S_2=\pi Rl=\pi R(2R)=2\pi R^2$. Tỉ số $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\sqrt{3}\pi R^2}{2\pi R^2}=\sqrt{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn C.

Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$. Chiều cao $h=SA=a\sqrt{3}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2(a\sqrt{3})=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 33), chọn A.

Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Vì $\Delta SAB$ cân tại $S$ nên $SM\perp AB$. Vì $\Delta SCD$ cân tại $S$ nên $SN\perp CD$. Đoạn $MN=AD=\sqrt{10}$. Góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ chính là góc giữa hai đường thẳng $SM$ và $SN$, do đó tam giác $SMN$ vuông tại $S$. Ta có $S{M}^2+S{N}^2=M{N}^2=10$. Mặt khác, tổng diện tích hai tam giác: $S_{\Delta SAB}+S_{\Delta SCD}=\frac{1}{2}AB\cdot SM+\frac{1}{2}CD\cdot SN=\frac{1}{2}(SM+SN)=2\Rightarrow SM+SN=4$. Khi đó $2SM\cdot SN=(SM+SN{)}^2-(S{M}^2+S{N}^2)=16-10=6\Rightarrow SM\cdot SN=3$. Chiều cao kẻ từ $S$ xuống đáy $MN$ là $h=\frac{SM\cdot SN}{MN}=\frac{3}{\sqrt{10}}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=AB\cdot AD=1\cdot \sqrt{10}=\sqrt{10}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}\sqrt{10}\cdot \frac{3}{\sqrt{10}}=1$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 132, trang 34), chọn A.

Ta có $V=B\cdot h=2\cdot 6=12$.

Ta có $S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot 2\cdot 5=20\pi$.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 6\cdot 5=10$.

[IMAGE_1]

Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điểm của $AB\Rightarrow OM\perp AB,SM\perp AB\Rightarrow \widehat{SMO}=60^{\circ }$.
Kẻ $OH\perp SM$ tại $H\Rightarrow d(O,(SAB))=OH=a\sqrt{3}$.
Trong tam giác vuông $OMH$: $OM=\frac{OH}{\sin 60^{\circ }}=2a$.
Trong tam giác vuông $SOM$: $SO=OM\tan 60^{\circ }=2a\sqrt{3}$.
Thể tích khối nón đã cho là $V=\frac{1}{3}\pi r^2\cdot SO=\frac{1}{3}\pi (2\sqrt{2}a{)}^2\cdot 2a\sqrt{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\pi a^3$.

[IMAGE_1]

Vì $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $AB=2a$ và $\widehat{ASB}=60^{\circ }$ nên $△SAB$ đều $\Rightarrow SB=2a$.
Gọi $O$ là tâm đáy $\Rightarrow BO=a\sqrt{2}\Rightarrow SO=\sqrt{S{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{4a^2-2a^2}=a\sqrt{2}$.
Vậy $V=\frac{1}{3}\cdot SO\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot 4a^2=\frac{4\sqrt{2}}{3}{a}^3$.

**Chọn D**

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}{a}^2\cdot 4a=\frac{4a^3}{3}$.

**Chọn A**

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Ta có $CO\perp BD$ và $C^{\prime }O\perp BD$, do đó góc giữa $(C^{\prime }BD)$ và $(ABCD)$ là $\widehat{C^{\prime }OC}=45^{\circ }$.
Ta có $OC=\frac{AC}{2}=\sqrt{2}a$.
Tam giác $C^{\prime }OC$ vuông tại $C$ có $\widehat{C^{\prime }OC}=45^{\circ }$ nên $C{C}^{\prime }=OC=\sqrt{2}a$.
Đáy $ABCD$ là hình vuông có đường chéo $AC=2\sqrt{2}a$ nên cạnh đáy bằng $2a$, diện tích đáy là $S_{ABCD}=(2a{)}^2=4a^2$.
Thể tích khối hộp là $V=S_{ABCD}\cdot C{C}^{\prime }=4a^2\cdot \sqrt{2}a=4\sqrt{2}{a}^3$.