Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Thể tích chóp/lăng trụ (Toán học Lớp 11)

**Chọn D**

Gọi $O=AC\cap BD$; $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC$.
Do $M,N$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $SAB,SBC$ nên $\frac{SM}{SI}=\frac{SN}{SJ}=\frac{2}{3}\Rightarrow MN=\frac{2}{3}IJ=\frac{2}{3}\cdot \frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Do tính đối xứng của khối bát diện đều cạnh $a$, tất cả các cạnh của khối lăng trụ $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ đều bằng nhau và bằng $\frac{a\sqrt{2}}{3}$, các mặt đều là hình vuông.
Do đó $MNPQ.M^{\prime }{N}^{\prime }{P}^{\prime }{Q}^{\prime }$ là hình lập phương cạnh $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.
Vậy thể tích là $V={\left(\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^3=\frac{2a^3\sqrt{2}}{27}$.

**Chọn A**

Gọi chiều cao các hình trụ là $h$, bán kính đáy của bể nước mới là $R$.
Ta có: $\pi R^{2}h=\pi (1,6{)}^{2}h+\pi (1,8{)}^{2}h\iff R^2=1,6^2+1,8^2=5,8\iff R=\sqrt{5,8}\approx 2,41\text{ m}$.
Giá trị này gần nhất với $2,4\text{ m}$.

**Chọn A**

Xét hình nón đỉnh $S$, tâm đáy $O$, chiều cao $SO=3a$.
Thiết diện cắt bởi $(P)$ là tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, ta có $OH\perp AB$ và $SH\perp AB$, góc giữa $(P)$ và mặt đáy là $\widehat{SHO}=60^{\circ }$.
Trong tam giác vuông $SOH$:
$OH=\frac{SO}{\tan 60^{\circ }}=\frac{3a}{\sqrt{3}}=a\sqrt{3}$.
$SH=\frac{SO}{\sin 60^{\circ }}=\frac{3a}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2a\sqrt{3}$.
Do tam giác $SAB$ vuông cân tại $S$ nên $HA=HB=SH=2a\sqrt{3}$.
Bán kính đáy của hình nón là $R=OA=\sqrt{O{H}^2+H{A}^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2+(2a\sqrt{3}{)}^2}=a\sqrt{15}$.
Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (15a^2)\cdot 3a=15\pi a^3$.

Diện tích đáy là $S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{△ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

Vì $△ABC$ vuông cân tại $B$ có $AC=a\sqrt{2}$ nên $AB=BC=a\Rightarrow S_{△ABC}=\frac{1}{2}{a}^2$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}SA\cdot S_{△ABC}=\frac{1}{3}a\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rh=2\pi \cdot 5\cdot 7=70\pi {\text{ cm}}^2$.

Đặt $A{A}^{\prime }=h$. Góc giữa hai mặt phẳng $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ và $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ bằng $60^{\circ }$, từ đó tính được $h=a$. Thể tích khối chóp $B^{\prime }.AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ bằng $\frac{1}{3}$ thể tích khối hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, tức $V=\frac{a^3}{3}$.

Đặt cạnh đáy $AB=BC=CA=x$. Từ điều kiện $BD\perp AE$, tính được bán kính đáy hình nón $R=\frac{x}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{3}a$ và chiều cao $h=\sqrt{a^2-R^2}=\frac{\sqrt{7}}{3}a$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot \frac{2}{9}{a}^2\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}a=\frac{2a^3\pi \sqrt{7}}{81}$.

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy $r$ và độ dài đường sinh $l$ là $S_{xq}=\pi rl$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn D.

Thể tích của khối chóp có diện tích đáy $B$ và chiều cao $h$ là $V=\frac{1}{3}Bh$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn A.

Thể tích khối lăng trụ là $V=B\cdot h=9\times 5=45$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn C.

Gọi thiết diện qua đỉnh là tam giác đều $SAB$ cạnh bằng 4. Gọi $M$ là trung điểm của dây cung $AB$, ta có $SM\perp AB$ và $OM\perp AB$ ($O$ là tâm đáy). Khi đó góc giữa thiết diện và đáy là $\widehat{SMO}=60^{\circ }$. Trong tam giác đều $SAB$ cạnh 4: $SM=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Chiều cao hình nón là $h=SO=SM\cdot \sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3$. Độ dài $OM=SM\cdot \cos 60^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \frac{1}{2}=\sqrt{3}$. Đoạn $AM=\frac{AB}{2}=2$. Bán kính đáy hình nón là $R=OA=\sqrt{O{M}^2+A{M}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+2^2}=\sqrt{7}$. Thể tích khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi (\sqrt{7}{)}^2\cdot 3=7\pi$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn C.

Vì đáy $ABCD$ là hình thang cân với $AB\parallel CD$ và $AC\perp BD$ tại $O$, nên các tam giác $OAB$ và $OCD$ vuông cân tại $O$. Ta có $AB=2a\sqrt{2}\Rightarrow OA=OB=2a$, và $CD=4a\sqrt{2}\Rightarrow OC=OD=4a$. Độ dài các đường chéo: $AC=BD=OA+OC=2a+4a=6a$. Do $AC\perp BD$, diện tích đáy là $S_{ABCD}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=\frac{1}{2}(6a{)}^2=18a^2$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Ta có $OM\perp AB,ON\perp CD$, và $M,O,N$ thẳng hàng. Tam giác $OAB$ vuông cân tại $O\Rightarrow OM=\frac{AB}{2}=a\sqrt{2}$; tam giác $OCD$ vuông cân tại $O\Rightarrow ON=\frac{CD}{2}=2a\sqrt{2}$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SM\perp AB$ và $SN\perp CD$. Khi đó góc giữa $(SAB)$ và $(SCD)$ là góc giữa $SM$ và $SN$. Vì $(SAB)\perp (SCD)$ nên tam giác $SMN$ vuông tại $S$. Ta có $SO$ là đường cao của tam giác vuông $SMN$, suy ra $S{O}^2=OM\cdot ON=(a\sqrt{2})(2a\sqrt{2})=4a^2\Rightarrow SO=2a$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}(18a^2)(2a)=12a^3$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 7), chọn B.

Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot h=\frac{1}{3}\cdot a^2\sqrt{3}\cdot 2a=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Thể tích tứ diện có ba cạnh tại đỉnh đôi một vuông góc là $V=\frac{1}{6}OA\cdot OB\cdot OC=\frac{1}{6}abc$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn B.

Bán kính đáy $R=\sqrt{5}$. Khoảng cách từ các tâm đáy đến hai dây cung là $d_1=\sqrt{5-2^2}=1$ và $d_2=\sqrt{5-1^2}=2$. Diện tích hình thang cân $MN{N}^{\prime }{M}^{\prime }$ là $S=\frac{4+2}{2}{h}_{\text{ht}}=3h_{\text{ht}}=15\Rightarrow h_{\text{ht}}=5$. Chiều cao hình trụ thỏa mãn $h^2+(d_1+d_2{)}^2=h_{\text{ht}}^2\Rightarrow h=\sqrt{5^2-3^2}=4$. Thể tích khối trụ là $V=\pi R^{2}h=\pi (5)(4)=20\pi$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn C.

Gọi tâm đáy là $O\Rightarrow OA=OC=a$. Chiều cao $h=B{B}^{\prime }$. Góc giữa $(C^{\prime }BD)$ và $(A^{\prime }BD)$ bằng $60^{\circ }$ cho ta $\frac{a}{h}=\sqrt{3}\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{3}<a$. Thể tích khối hộp là $V_{\text{hộp}}=(a\sqrt{2}{)}^2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{3}$. Thể tích tứ diện $AC{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ bằng $\frac{1}{3}{V}_{\text{hộp}}=\frac{2a^3\sqrt{3}}{9}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn B.

Thể tích của khối chóp đã cho là $V=\frac{1}{3}Bh=\frac{1}{3}\cdot 6a^2\cdot 2a=4a^3$.

Diện tích xung quanh của hình trụ là $S_{xq}=2\pi rl=2\pi \cdot 3\cdot 4=24\pi$.

Vì $BC\perp AB$ và $BC\perp A{A}^{\prime }$ nên $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Kẻ $AH\perp A^{\prime }B$ tại $H$ thì $AH\perp (A^{\prime }BC)\Rightarrow AH=d(A,(A^{\prime }BC))=\frac{\sqrt{6}}{3}a$. Trong tam giác vuông $A^{\prime }AB$: $\frac{1}{A{A}^{\prime 2}}=\frac{1}{A{H}^2}-\frac{1}{A{B}^2}=\frac{3}{2a^2}-\frac{1}{a^2}=\frac{1}{2a^2}\Rightarrow A{A}^{\prime }=a\sqrt{2}$. Thể tích khối lăng trụ là $V=S_{△ABC}\cdot A{A}^{\prime }=\frac{1}{2}{a}^2\cdot a\sqrt{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}{a}^3$.