Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tích phân xác định (Toán học Lớp 12)

Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ với gốc tại đỉnh $O(0;0)$ của parabol dưới $(P_1):y=a{x}^2$ ($a>0$), trục đối xứng tạo với trục hoành góc $60^{\circ }$ nên là đường thẳng $d:y=\sqrt{3}x$. Đỉnh còn lại của chiếc lá có hoành độ $x_A=20\text{ cm}$, tung độ $y_A=50\text{ cm}$ thuộc $(P_1)$? Theo hình vẽ, khoảng cách ngang từ $O$ đến điểm cao nhất là $20\text{ cm}$, nhưng điểm cao nhất nằm trên trục đối xứng có tung độ $50\text{ cm}$. Thiết lập phương trình parabol và tích phân diện tích giới hạn bởi hai nhánh parabol đối xứng qua đường thẳng tạo góc $60^{\circ }$, ta thu được diện tích chiếc lá xấp xỉ $745{\text{ cm}}^2$. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 5, mã đề 0101: 745.)

Dựa vào đồ thị $f^{\prime }(x)$ đi qua các điểm cực trị và trục hoành, kết hợp điều kiện $S=16/3$ ta xác định được phương trình đạo hàm $f^{\prime }(x)$.
Tích phân tìm được hàm số $f(x)$ với $f(0)=1$.
Sau đó giải phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị và tính diện tích hình phẳng ta được kết quả xấp xỉ $68,3$.

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1101 (trang 17): Chọn B ($\frac{9}{8}$).

Theo bảng đáp án chính thức Mã đề 1101 (trang 19): Đáp án là $35$.

Ta có $f(x)\cdot f^{\prime }(x)=(2x+1)\sqrt{1+f^2(x)}\iff \frac{f(x)\cdot f^{\prime }(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}=2x+1\iff \int \frac{f(x)\cdot f^{\prime }(x)}{\sqrt{1+f^2(x)}}\text{d}x=\int (2x+1)\text{d}x\iff \sqrt{1+f^2(x)}=x^2+x+C$. Vì $f(0)=2\sqrt{2}$ nên $C=3\Rightarrow f(x)=\sqrt{(x^2+x+3{)}^2-1}\Rightarrow f(1)=2\sqrt{6}\approx 4,9$.