Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}<0$ nên $\frac{d}{c}>0$, tức $c$ cùng dấu $d$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}>0$ nên $a$ cùng dấu $c$. Suy ra $a$ cùng dấu $d$, do đó $ad>0$. Nhánh phải cắt trục $Oy$ tại điểm có tung âm: $y(0)=\frac{b}{d}<0$ nên $b$ trái dấu $d$, mà $d$ cùng dấu $c$ nên $bc<0$. Kiểm tra thêm: hàm đồng biến trên mỗi nhánh nên $y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}>0\Rightarrow ad>bc$, phù hợp $ad>0>bc$. Vậy $ad>0$ và $bc<0$, đáp án D, trùng với đáp án mã đề 3101 (Câu 9 = D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$ hàm số không xác định (vạch đôi, $y\to -4$ bên trái và $y\to +\infty$ bên phải) nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to -\infty$, $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+2=3$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 0$ nên có tiệm cận ngang $y=0$; khi $x\to 0^{-}$, $y\to -\infty$ và khi $x\to 0^{+}$, $y\to +\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=0$; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Tổng số tiệm cận đứng và ngang là $1+2=3$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1;1\}$, liên tục trên mỗi khoảng xác định. Từ bảng biến thiên: khi $x\to -1^{\pm }$, $y\to \pm \infty$ (trên $(-\infty ;-1)$ hàm giảm tới $-\infty$, trên $(-1;0)$ hàm bắt đầu từ $+\infty$), nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Tương tự, khi $x\to 1^{\pm }$, $y\to \pm \infty$ (trên $(0;1)$ hàm giảm tới $-\infty$, trên $(1;+\infty )$ hàm bắt đầu từ $+\infty$), nên $x=1$ là tiệm cận đứng. Tại $x=0$, hàm có giá trị hữu hạn $y=-1$ và liên tục, nên $x=0$ không phải tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có đúng 2 tiệm cận đứng là $x=-1$ và $x=1$, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-6x+7}{x-2}=x-4+\frac{-1}{x-2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{-1}{x-2}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-4$, tức $a=1,b=-4$. Suy ra $2a+6b=2\cdot 1+6\cdot (-4)=2-24=-22$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-22).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 5: nhánh bên phải của đồ thị đi xuống và tiệm cận theo đường thẳng đứng $x=1$ (tiệm cận đứng), còn khi $x\to \pm \infty$ đồ thị tiệm cận đường ngang $y=-1$ (tiệm cận ngang). Với hàm $y=\frac{ax+b}{cx+d}$, tiệm cận đứng là $x=-\frac{d}{c}=1$ và tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{c}=-1$. Vậy đáp án là $x=1,y=-1$, khớp với đáp án nguồn (C) — bảng đáp án mã đề 1002, câu 3 cho kết quả C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiệm cận đường thẳng $y=x$ (đường nét đứt đi qua gốc tọa độ $O$ với hệ số góc bằng 1, cắt trục tung tại $0$). Kiểm tra: đường $y=x$ có hệ số góc $a=1$ và $b=0$, khớp với đường tiệm cận nét đứt trong hình. Vậy tiệm cận xiên là $y=x$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(-x)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$. Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=-x+\frac{5}{x+2}$ là đường thẳng $y=-x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 1001, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{x^2-5x+7}{x-3}=x-2+\frac{1}{x-3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=x-2$, tức $a=1,b=-2$. Suy ra $3a-5b=3(1)-5(-2)=3+10=13$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (13).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, đường tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua các điểm $(-1;0)$ và $(0;1)$ (đồ thị tiến gần đường thẳng này khi $x\to \pm \infty$). Đường thẳng qua hai điểm đó có hệ số góc $a=\frac{1-0}{0-(-1)}=1$ và hệ số chặn $b=1$, nên phương trình là $y=x+1$. Kiểm tra: khi $x\to +\infty$, nhánh đồ thị bên phải tiến tới đường $y=x+1$; khi $x\to -\infty$, nhánh bên trái cũng tiến tới đường này. Vậy tiệm cận xiên là $y=x+1$, trùng với đáp án đã cho (C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2, nhánh trái tiến lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$ và nhánh phải tiến lên từ $-\infty$ khi $x\to 1^{+}$, nên tiệm cận đứng là $x=1$. Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến tới đường ngang $y=1$, nên tiệm cận ngang là $y=1$. Vậy hai tiệm cận lần lượt là $x=1$ và $y=1$, khớp với đáp án B (đáp án nguồn cũng là B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to -2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-2$; khi $x\to +\infty$, $y\to 2$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=2$. Các giới hạn vô cực tại $x=-1$ và $x=1$ chỉ cho tiệm cận đứng. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận ngang, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2-3x+7}{x-1}=\frac{(2x-1)(x-1)+6}{x-1}=2x-1+\frac{6}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x-1}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $y=2x-1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên (đối chiếu hình gốc): trên $(-\infty ;-1)$ hàm số đi từ $+\infty$ xuống $-\infty$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng. Trên $(-1;1)$, hàm số đi từ $+\infty$ xuống đạt giá trị nhỏ nhất $y=1$ tại $x=0$ (vì $y^{\prime }=0$ tại $x=0$) rồi tăng trở lại lên $+\infty$ khi $x\to 1^{-}$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng (lưu ý $x=0$ thuộc tập xác định nên không phải tiệm cận). Trên $(1;+\infty )$, hàm số đi từ $-\infty$ tăng lên và tiến tới $0$ khi $x\to +\infty$, nên $y=0$ là tiệm cận ngang. Khi $x\to -\infty$, $y\to +\infty$ nên không có tiệm cận ngang bên trái. Vậy đồ thị có tất cả $3$ đường tiệm cận: $x=-1$, $x=1$ và $y=0$. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{2x^2-x+3}{x-1}$. Thực hiện phép chia: $2x^2-x+3=(2x+1)(x-1)+4$, nên $y=2x+1+\frac{4}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{4}{x-1}\to 0$, do đó tiệm cận xiên là $y=2x+1$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (đề 101, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x-5}{x-1}$, TXĐ $\mathbb{R}\setminus \{1\}$. Ta có $y=2+\frac{-3}{x-1}$, nên $y^{\prime }=\frac{3}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$.
a) ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=2$ nên tiệm cận ngang là $y=2$: Đúng.
b) $y^{\prime }>0$ trên từng khoảng $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định: Đúng.
c) $y^{\prime }\ne 0$ trên tập xác định nên hàm số không có cực trị: Sai.
d) Tâm đối xứng của (C) là giao hai tiệm cận $I(1;2)$. Thay vào $(\Delta ):x+4y-9=0$: $1+4\cdot 2-9=0$, đúng nên $I\in (\Delta )$: Đúng.
Kết quả Đ Đ S Đ khớp bảng HD chấm đề 101 (Phần II, Câu 1: Đ Đ S Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $y=2+\frac{-3}{x-1}\to 2$ khi $x\to \pm \infty$, tiệm cận ngang là $y=2$: Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x-1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne 1$, nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;+\infty )$: Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }>0$ trên toàn bộ tập xác định nên hàm số không có điểm cực trị: Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(1;2)$; kiểm tra $1+4\cdot 2-9=0$ nên $I$ nằm trên $(\Delta )$: Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to -3$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-3$; khi $x\to +\infty$, $y\to 2$ nên có tiệm cận ngang $y=2$; tại $x=1$ (không thuộc tập xác định), $y\to -\infty$ khi $x\to 1^{-}$ và $y\to +\infty$ khi $x\to 1^{+}$ nên có tiệm cận đứng $x=1$. Vậy đồ thị có tất cả 3 đường tiệm cận (2 tiệm cận ngang và 1 tiệm cận đứng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: C.

Đáp án: 5. (Nguồn chỉ ghi đáp án, không có lời giải chi tiết.)

Đáp án: -5. (Nguồn chỉ ghi đáp án, không có lời giải chi tiết.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x+2}{1-x}$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=\frac{1}{-1}=-1$ (do ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{x+2}{1-x}=-1$). Vậy phương trình tiệm cận ngang là $y=-1$.