Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -2^{-}$ thì $y\to 1$ và khi $x\to -2^{+}$ thì $y\to -\infty$, nên $x=-2$ là tiệm cận đứng. Tương tự tại $x=0$: $y\to +\infty$ hai phía, nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Vậy có 2 tiệm cận đứng. Về tiệm cận ngang: khi $x\to +\infty$ thì $y\to 0$ nên $y=0$ là tiệm cận ngang; khi $x\to -\infty$ thì $y\to +\infty$ (không cho thêm tiệm cận ngang). Tổng: $2+1=3$. Chọn C, khớp với đáp án nguồn (Câu 12, mã đề 1201: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x}{1-x}$ xác định khi $1-x\ne 0$, tức $x\ne 1$. Vì ${\lim }_{x\to 1^{-}}\frac{2x}{1-x}=+\infty$ và ${\lim }_{x\to 1^{+}}\frac{2x}{1-x}=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$. Mặt khác ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2x}{1-x}={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{2}{\frac{1}{x}-1}=-2$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=-2$. Vậy đáp án là $x=1;y=-2$, khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận ngang: ${\lim }_{t\to +\infty }S(t)={\lim }_{t\to +\infty }100\left(\frac{2}{3}-\frac{8}{2+t}\right)=\frac{200}{3}$. Vậy $a=200,b=3$ (phân số tối giản), $P=a-2b=200-6=194$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (194).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$, $y\to 0$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=0$. Tại $x=0$, hàm số gián đoạn với $y\to -4$ (bên trái) và $y\to +\infty$ (bên phải), tức ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$, nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên có tiệm cận ngang $y=3$. Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1+2=3$. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $S(t)=200\left(\frac{2}{3}-\frac{8}{2+t}\right)$. Khi $t\to +\infty$ thì $\frac{8}{2+t}\to 0$, do đó ${\lim }_{t\to +\infty }S(t)=200\cdot \frac{2}{3}=\frac{400}{3}$. Vậy tiệm cận ngang là $y=\frac{400}{3}$ với $a=400$, $b=3$ (phân số tối giản, $a,b\in {\mathbb{N}}^{\ast }$). Suy ra $P=a-2b=400-2\cdot 3=394$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{-x^2-3x+4}{x+2}=-x-1+\frac{6}{x+2}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{6}{x+2}\to 0$, nên tiệm cận xiên là $y=-x-1$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$, $y^{\prime }$ có dấu || (không xác định) và hàm số gián đoạn nên $x=0$ là tiệm cận đứng. Khi $x\to -\infty$, $y\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$, $y\to 3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang. Tổng: $1+2=3$ tiệm cận. Đáp án B, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{5}{x+2}=0$ nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x-1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\left(-\frac{5}{x+2}\right)=0$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x-1$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang; khi $x\to 0^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên $x=0$ là tiệm cận đứng (không phải tiệm cận ngang); khi $x\to 0^{+}$ thì $y\to 2$ nên $y=2$ là tiệm cận ngang (giới hạn hữu hạn tại một điểm gián đoạn cũng tạo tiệm cận ngang của nhánh bên phải); khi $x\to +\infty$ thì $y\to 3$ nên $y=3$ là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị có 3 tiệm cận ngang: $y=1$, $y=2$, $y=3$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 1$ nên $y=1$ là tiệm cận ngang; khi $x\to +\infty$ thì $y\to 3$ nên $y=3$ cũng là tiệm cận ngang. Tại $x=0$ hàm số có tiệm cận đứng $x=0$ (giới hạn trái $-\infty$), không phải tiệm cận ngang. Vậy tổng số tiệm cận ngang là 2: $y=1$ và $y=3$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$ (đường nét đứt tại $x=2$) và hai điểm đặc biệt $(-2;4)$, $(2;-4)$ nằm trên nhánh đồ thị đối xứng qua tâm. Đường tiệm cận xiên đi qua hai điểm $(-2;4)$ và $(2;-4)$ nên có phương trình $y=-2x$. Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: tại $x=2$, $y=-2\cdot 2=-4$. Vậy tâm đối xứng là $(2;-4)$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{5}{x+2}\to 0$ nên $y=x-1-\frac{5}{x+2}\to x-1$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x-1$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng là $x=-2$ (đường thẳng đứng qua $x=-2$), tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua $(-2;0)$ và $(0;-4)$ nên có phương trình $y=-2x-4$ (hệ số góc âm vì nhánh đồ thị đi xuống). Do đó $a=-2$, $b=-4$, $d=2$. Xét $f(x)=-2x-4-\frac{2}{x+2}$: có TCĐ $x=-2$, TCX $y=-2x-4$, và $f(0)=-4-\frac{2}{2}=-5$ khớp với đồ thị (điểm $-5$ trên trục $Oy$). Vậy: a) Sai vì TCX là $y=-2x-4$ chứ không phải $y=2x-4$; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng vì $f(0)=-5$. Kết quả khớp bảng đáp án mã 1020: S, D, D, D.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, tiệm cận xiên đi qua $(-2;0)$ và $(0;-4)$, hệ số góc $=\frac{-4-0}{0-(-2)}=-2<0$, nên TCX là $y=-2x-4$, không phải $y=2x-4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có đường thẳng đứng tiệm cận tại $x=-2$, nên $d=2$ và TCĐ là $x=-2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=-2$, $b=-4$, $d=2$ và $c=2$ (khớp nhánh đồ thị và điểm $f(0)=-5$), ta được $y=-2x-4-\frac{2}{x+2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=-2\cdot 0-4-\frac{2}{0+2}=-4-1=-5$, khớp điểm $-5$ trên trục $Oy$ trong hình.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{2x^2+x-5}{x+3}=2x-5+\frac{10}{x+3}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{10}{x+3}\to 0$ nên tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$, tức $a=2,b=-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 1^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 1^{+}$ thì $y\to +\infty$, nên $x=1$ là tiệm cận đứng (1 đường). Khi $x\to -\infty$, $y\to -3$ và khi $x\to +\infty$, $y\to 2$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=-3$ và $y=2$. Tổng cộng $1+2=3$ đường tiệm cận. Khớp đáp án B (theo bảng đáp án chính thức, Mã đề 1020, Câu 9 = B).

Chọn C (theo thứ tự phương án trong lời giải gốc; theo đề mã 1010 là phương án B). Đồ thị hàm số có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=2$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-3$ và $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=+\infty$, $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên có 1 đường tiệm cận đứng là $x=1$ và hai đường tiệm cận ngang là $y=-3$; $y=2$.

Chọn C. (Lời giải gốc in ở trang 16–17 dành cho câu tương ứng trong bộ lời giải, nơi phương án chứa giá trị $-3$ được đánh dấu là A; trong đề mã 1010, giá trị $-3$ là phương án C.) Ta xét phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-5}{x+3}$ có dạng $\Delta :y=ax+b$. Ta xét $$\{\begin{array}{l}a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{f(x)}{x}\right)=2\Rightarrow b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f(x)-ax\right)=-5\\ a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{f(x)}{x}\right)=2\Rightarrow b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(f(x)-ax\right)=-5\end{array}$$ Vậy đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận xiên là $\Delta :y=2x-5$. Vậy $a+b=2+(-5)=-3$, tương ứng với phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $-2x^2+7x-3=(x-1)(-2x+5)+2$, nên $y=-2x+5+\frac{2}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{2}{x-1}\to 0$, vậy tiệm cận xiên là $y=-2x+5$, tức $a=-2$, $b=5$. Suy ra $5b-a=5\cdot 5-(-2)=27$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to 3^{-}$ thì $f(x)\to +\infty$ và khi $x\to 3^{+}$ thì $f(x)\to +\infty$, nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=3$. Khi $x\to +\infty$, $f(x)\to 1$, nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=1$. Vậy khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có tiệm cận đứng $x=1$ (đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to 1$) và tiệm cận ngang $y=-1$ (đồ thị tiến đến $-1$ khi $x\to \pm \infty$; kiểm tra: đồ thị cắt trục tung tại $y=-2$ và đi qua điểm gần $(2;-1)$, phù hợp với hàm dạng $y=\frac{-x-2}{x-1}$). Vậy đường tiệm cận ngang là $y=-1$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 201, câu 1: B).