Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{3x^2-7x+4}{x-2}=3x-1+\frac{2}{x-2}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=3x-1$. Thử các điểm: $N(-1;2)$: $3(-1)-1=-4\ne 2$; $P(2;3)$: $3(2)-1=5\ne 3$; $Q(0;1)$: $-1\ne 1$; $M(1;2)$: $3(1)-1=2$ ✓. Vậy tiệm cận xiên đi qua điểm $M(1;2)$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $\frac{-2x^2-x+4}{x+1}=-2x+1+\frac{3}{x+1}$. Vậy tiệm cận xiên là $y=-2x+1$. Thử các điểm: $N(2;1)$: $-2\cdot 2+1=-3\ne 1$; $Q(1;-1)$: $-2\cdot 1+1=-1$ đúng; $M(1;2)$: $-1\ne 2$; $P(-1;-1)$: $1\ne -1$. Vậy tiệm cận xiên đi qua $Q(1;-1)$, khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Tiệm cận đứng: $x=-\frac{d}{c}$; tiệm cận ngang: $y=\frac{a}{c}$. Giao điểm của hai tiệm cận là $I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$, đây chính là tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Vậy chọn C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có tiệm cận ngang $y=-1$ và đường thẳng đứng $x=1$ là tiệm cận đứng (nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to 1$). Vậy đường tiệm cận đứng có phương trình $x=1$, đáp án B. Khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 101: B).

Đáp án bảng mã đề 2102, câu 16: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng (DDSD).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Đạo hàm: $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$, nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, do đó không có cực trị. Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=1$), tức hai đường tiệm cận. So sánh với đáp án mã đề 2101, câu 16: DDSD — khớp hoàn toàn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Lưu ý: mệnh đề d đúng vì $y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, không có xung đột với bảng đáp án.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=1$, tức hai đường tiệm cận.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{3}{(x+1{)}^2}>0$ với mọi $x\ne -1$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $y^{\prime }>0$ trên toàn tập xác định, hàm số không có cực trị.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x-2)}{(x+1{)}^2}=\frac{3}{(x+1{)}^2}$, đúng như mệnh đề.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=0$ hàm số không xác định và $y\to -\infty$ khi $x\to 0$ (các nhánh trái, phải của $x=0$ đều xuống $-\infty$), nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$. Ngoài ra ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=1$ và ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=3$, nên đồ thị có hai tiệm cận ngang $y=1$ và $y=3$. Vậy đồ thị có tất cả $3$ đường tiệm cận. Khớp với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ ở Câu 7, đồ thị có tiệm cận đứng $x=-\frac{1}{2}$ (nét đứt dọc) và đường tiệm cận xiên được vẽ nét đứt, ghi rõ là $y=x-2$; đồ thị tiến gần đường thẳng này khi $x\to \pm \infty$. Vậy tiệm cận xiên là $y=x-2$, khớp đáp án B (bảng hướng dẫn chấm, mã đề 1201: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\frac{(x+1{)}^2+1}{x+1}=x+1+\frac{1}{x+1}$, tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. a) Vì ${\lim }_{x\to -1^{+}}y=+\infty$ và ${\lim }_{x\to -1^{-}}y=-\infty$ nên đồ thị $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$ → Đúng. b) Vì bậc tử lớn hơn bậc mẫu nên không có tiệm cận ngang (đường $y=0$ không phải TCN) → Sai. c) Vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-(x+1)\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+1}=0$ nên $(C)$ có tiệm cận xiên $y=x+1$ → Đúng. d) Thay $x=1$ vào $y=x+1$ được $y=2\ne 0$, nên $M(1;0)$ không thuộc đường tiệm cận xiên → Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đ; b) S; c) Đ; d) S.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to -1^{\pm }}\frac{x^2+2x+2}{x+1}=\pm \infty$ nên $(C)$ có tiệm cận đứng $x=-1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bậc của tử (2) lớn hơn bậc của mẫu (1) nên đồ thị không có tiệm cận ngang; thay vào đó có tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$y=x+1+\frac{1}{x+1}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x+1}=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=1$, đường $y=x+1$ có $y=2\ne 0$, nên $M(1;0)$ không thuộc tiệm cận xiên.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm phân thức $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ có hai đường tiệm cận: tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=1$ (nhìn từ hình vẽ). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức là giao điểm của hai đường tiệm cận, nên tâm đối xứng là $(1;1)$. Điều này khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 121: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở Câu 8, đường thẳng đứng $x=-2$ là tiệm cận đứng (nhánh đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -2$), còn đường ngang $y=1$ là tiệm cận ngang vì khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến đến đường thẳng $y=1$ (đường nét đứt ngang qua mức $y=1$). Vậy tiệm cận ngang là $y=1$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (Mã đề 121, Câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận ngang $y=2$ (đường tiệm cận xiên và nhánh cong đối xứng qua giao của hai tiệm cận). Tâm đối xứng của đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất là giao điểm của hai tiệm cận, nên tâm đối xứng là $(2;2)$. Điều này khớp với đáp án D trong bảng hướng dẫn chấm (mã đề 001, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số có đường thẳng $y=x+1$ là tiệm cận xiên (đồ thị $(C)$ tiến dần tới đường thẳng này khi $x\to \pm \infty$). Đáp án khớp với mã đề 3102, Câu 1: C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: 4x^2-9>=0 nên x<=-3/2 hoặc x>=3/2; do đó x=1 không thuộc tập xác định và không phải tiệm cận đứng. Khi x→+∞, f(x)=√(4x²−9)/(x−1)→2; khi x→−∞, f(x)→−2. Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang y=2 và y=−2, không có tiệm cận đứng, tổng cộng đúng hai đường tiệm cận. Khớp đáp án nguồn: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→+∞} √(4x²−9)/(x−1) = lim 2x√(1−9/(4x²))/(x−1) = 2, nên y=2 là tiệm cận ngang.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là x≤−3/2 hoặc x≥3/2, nên x=1 không thuộc tập xác định; hơn nữa lim_{x→1} f(x) không tồn tại (hàm không xác định lân cận x=1), nên x=1 không phải tiệm cận đứng.
c) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→−∞} √(4x²−9)/(x−1) = lim (−2x√(1−9/(4x²)))/(x−1) = −2, nên y=−2 là tiệm cận ngang.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có đúng hai tiệm cận ngang y=2, y=−2 và không có tiệm cận đứng, nên tổng cộng đúng hai đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-2}$ có tiệm cận đứng $x=2$ và tiệm cận xiên $y=x+2$ (do $x^2+3=(x-2)(x+2)+7$). Bốn đường $x=2$, $y=x+2$, $x=0$, $y=0$ tạo thành hình thang vuông với các đỉnh $(0,0)$, $(2,0)$, $(2,4)$, $(0,2)$. Hai đáy là $2$ và $4$, chiều cao là $2$, nên $S=\frac{(2+4)\cdot 2}{2}=6$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 3102, câu 4 phần trả lời ngắn = 6).

(AI giải đề cho tôi)
[Lời giải do AI solution agent cung cấp, không có trong nguồn] Hàm số $y=\frac{x^2+3}{x-2}$ có ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$. Phép chia: $\frac{x^2+3}{x-2}=x+2+\frac{7}{x-2}$, và vì ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2+3}{x-2}-(x+2)\right)=0$ nên tiệm cận xiên là $y=x+2$. Hai tiệm cận này cùng hai trục tọa độ tạo thành hình thang vuông với các đỉnh $(0;0)$, $(2;0)$, $(2;4)$, $(0;2)$: tiệm cận xiên $y=x+2$ cắt trục tung tại $(0;2)$ và cắt đường $x=2$ tại $(2;4)$. Hai đáy song song có độ dài $4$ (trên đường $x=2$, từ $(2;0)$ đến $(2;4)$) và $2$ (trên trục tung, từ $(0;0)$ đến $(0;2)$), chiều cao bằng $2$. Diện tích $S=\frac{4+2}{2}\cdot 2=6$. Kết quả khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 3102, Phần III Câu 5 = 6).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\frac{x^2-x+1}{x-1}=\frac{x(x-1)+1}{x-1}=x+\frac{1}{x-1}$. Khi $x\to \pm \infty$, $\frac{1}{x-1}\to 0$, nên ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left[y-x\right]={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{1}{x-1}=0$. Vậy đồ thị có tiệm cận xiên $y=x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 3101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: khi $x\to -\infty$ thì $y\to 5$ nên đồ thị có tiệm cận ngang $y=5$. Khi $x\to 2^{-}$ thì $y\to -\infty$ và khi $x\to 3^{-}$ thì $y\to -\infty$ nên đồ thị có hai tiệm cận đứng $x=2$ và $x=3$. Khi $x\to +\infty$ thì $y\to -\infty$ (không có tiệm cận ngang bên phải). Vậy tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng là $1+2=3$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: nhánh bên trái và nhánh bên phải đều tiến tới đường thẳng $y=-2$ khi $x\to \pm \infty$, nên tiệm cận ngang là $y=-2$; đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1^{-}$ và $x\to -1^{+}$, nên tiệm cận đứng là $x=-1$. Đồ thị dạng hàm phân giác có tâm đối xứng là giao hai tiệm cận $I(-1;-2)$, không phải $I(1;0)$.
a) Sai: tâm đối xứng là $I(-1;-2)$, không phải $I(1;0)$.
b) Đúng: tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) Sai: tiệm cận ngang là $y=-2$, không phải $y=0$.
d) Đúng: đồ thị có 1 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, tổng số đường tiệm cận là 2. Kết quả khớp với đáp án nguồn (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của hai tiệm cận $x=-1$ và $y=-2$, tức $I(-1;-2)$, không phải $I(1;0)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị tiến đến vô cực khi $x\to -1^{\pm }$ nên tiệm cận đứng là $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to \pm \infty$, đồ thị tiến tới $y=-2$ nên tiệm cận ngang là $y=-2$, không phải $y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 1 tiệm cận đứng ($x=-1$) và 1 tiệm cận ngang ($y=-2$), tổng cộng 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3x-2}{x+1}$ xác định khi $x\ne -1$. Tại $x=-1$, mẫu số bằng 0 và tử số bằng $-5\ne 0$, nên ${\lim }_{x\to -1^{\pm }}y=\pm \infty$. Vậy đường tiệm cận đứng là $x=a=-1$. Vì bậc tử bằng bậc mẫu, ta có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\frac{3}{1}=3$, nên đường tiệm cận ngang là $y=b=3$. Do đó $a+b=-1+3=2$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 3101, câu 6 phần trả lời ngắn = 2).