Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Tiệm cận (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Viết lại tử số: $m^2-2m+1=(m-1{)}^2$.

a) Với $m=-1$: $y=\frac{x^2-2x+4}{1-x}$. Chia đa thức: $x^2-2x+4=(1-x)(1-x)+3$, nên $y=1-x+\frac{3}{1-x}$. Tiệm cận xiên là $y=1-x$. Tại $x=2$ thì $y=-1\ne -3$, nên TCX không đi qua $M(2;-3)$ → SAI.

b) Với $m=1$: $y=\frac{x^2}{1-x}=-x-1+\frac{1}{1-x}$ (vì $x^2=(1-x)(-x-1)+1$). TCX: $y=-x-1$, cắt các trục tại $(-1;0)$ và $(0;-1)$, diện tích tam giác $=\frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{2}$ → ĐÚNG.

c) Với $m=1$: tâm đối xứng là giao của TCĐ $x=1$ và TCX $y=-x-1$: $I(1;-2)$ → ĐÚNG.

d) Với $m=1$: TCĐ $x=1$, TCX $y=-x-1$ cùng hai trục tạo hình thang vuông với hai đáy $1$ (trên trục hoành từ $0$ đến $1$) và $2$ (đoạn TCX từ $(0;-1)$ đến $(1;-2)$), chiều cao $1$: $S=\frac{(1+2)}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}\ne 3$ → SAI.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với m=-1, TCX là y=1-x; tại x=2 có y=-1 ≠ -3 nên không đi qua M(2;-3).
b) (AI giải đề cho tôi)
TCX y=-x-1 cắt trục tại (-1;0),(0;-1), diện tích tam giác = 1/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm đối xứng là giao TCĐ x=1 và TCX y=-x-1: I(1;-2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông có hai đáy 1 và 2, chiều cao 1, diện tích = 3/2 ≠ 3.

(AI giải đề cho tôi)
Xét mẫu số $f(x)=x^2-3mx+m$ với $\Delta =9m^2-4m=m(9m-4)$.

- Nếu $\Delta <0$ ($0<m<4/9$): mẫu luôn dương, không có tiệm cận đứng → loại.
- Nếu $\Delta =0$: $m=0$ (nghiệm kép $x=0\ne 2$) hoặc $m=\frac{4}{9}$ (nghiệm kép $x=\frac{3m}{2}=\frac{2}{3}\ne 2$): mỗi giá trị cho đúng một tiệm cận đứng → nhận 2 giá trị.
- Nếu $\Delta >0$: có hai nghiệm phân biệt. Để có đúng một tiệm cận đứng, một nghiệm phải bằng $x=2$ (bị triệt tiêu với tử số) và nghiệm kia khác 2. Thay $x=2$: $4-6m+m=0\iff m=\frac{4}{5}$. Khi đó hai nghiệm là $2$ và $\frac{2}{5}\ne 2$, nên còn đúng một tiệm cận đứng $x=\frac{2}{5}$ → nhận $m=\frac{4}{5}$.

Vậy có 3 giá trị của $m$: $m\in \left\{0;\frac{4}{9};\frac{4}{5}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chiều cao bể là 10 dm = 1 m, thể tích 5 m³ nên đáy có diện tích xy = 5, tức y = 5/x. Diện tích toàn phần (không nắp) gồm mặt đáy xy = 5 và bốn mặt bên có diện tích 2x·1 + 2y·1 = 2x + 2·(5/x) = 2x + 10/x. Vậy S(x) = 2x + 10/x + 5 với x > 0. Khi x → +∞, S(x) − (2x + 5) = 10/x → 0, nên tiệm cận xiên là y = 2x + 5, tức a = 2, b = 5. Do đó P = a² + b² = 4 + 25 = 29.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thang vuông có đáy nhỏ $x$, đáy lớn $2x$, chiều cao $h$. Diện tích: $\frac{x+2x}{2}h=\frac{3xh}{2}=24\Rightarrow h=\frac{16}{x}$. Cạnh nghiêng $=\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{\frac{256}{x^2}+x^2}$. Chu vi: $P(x)=3x+\frac{16}{x}+\sqrt{x^2+\frac{256}{x^2}}$, với $x>0$. Khi $x\to 0^{+}$: $P(x)\approx \frac{32}{x}\to +\infty$ nên có tiệm cận đứng $x=0$. Khi $x\to +\infty$: $P(x)\approx 3x+x=4x$ nên có tiệm cận xiên $y=4x$ (vì $P(x)-4x=\frac{16}{x}+\sqrt{x^2+\frac{256}{x^2}}-x\to 0$). Vậy đồ thị $P(x)$ có 2 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng chi phí: $T(x)=C(x)+4000x=x^2-2000x+10^8+4000x=x^2+2000x+10^8$ (đồng), vì chi phí phát hành mỗi cuốn 4 nghìn đồng $=4000$ đồng và $C(x)$ tính bằng đồng.

Chi phí trung bình:
$$M(x)=\frac{T(x)}{x}=x+2000+\frac{10^8}{x}.$$

Khi $x\to +\infty$, $\frac{10^8}{x}\to 0$ nên $M(x)$ tiệm cận với đường thẳng $y=x+2000$, tức $a=1$, $b=2000$.

Vậy $b=2000$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x-1}{x^2-8x+m}$ luôn có tiệm cận ngang $y=0$ (bậc tử < bậc mẫu). Để có 3 tiệm cận, mẫu số phải có 2 nghiệm phân biệt và nghiệm đó không trùng với $x=1$ (nghiệm của tử). Điều kiện: $\Delta =64-4m>0\iff m<16$; và $x=1$ không là nghiệm mẫu: $1-8+m\ne 0\iff m\ne 7$. Vì $m$ nguyên dương nên $m\in \{1,2,\dots ,15\}\setminus \{7\}$, cho 14 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích bể $V=12800\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3=0,0128{\mathrm{m}}^3$, chiều cao $h=80\mathrm{cm}=0,8\mathrm{m}$ nên diện tích đáy $=0,0128:0,8=0,016{\mathrm{m}}^2$. Gọi $y$ (m) là chiều rộng đáy thì $xy=0,016\Rightarrow y=\frac{0,016}{x}$.

Diện tích mặt bên $=2(x+y)\cdot 0,8=1,6\left(x+\frac{0,016}{x}\right)$ (m${}^2$), diện tích đáy $=0,016$ (m${}^2$).

Chi phí:
$$f(x)=70000\cdot 1,6\left(x+\frac{0,016}{x}\right)+100000\cdot 0,016=112000x+\frac{1792}{x}+1600,x>0.$$

- Tiệm cận đứng: ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=+\infty$ nên không có tiệm cận ngang.
- Tiệm cận xiên: ${\lim }_{x\to +\infty }\frac{f(x)}{x}=112000$ và ${\lim }_{x\to +\infty }\left(f(x)-112000x\right)=1600$, nên tiệm cận xiên là $y=112000x+1600$.

Kết luận: đồ thị $f(x)$ có tiệm cận đứng $x=0$ và tiệm cận xiên $y=112000x+1600$ (không có tiệm cận ngang).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=0$ (trục $Oy$) và tiệm cận xiên $y=x$ (đường nét đứt). Xét các đáp án:
- $y=\frac{x-1}{x+1}$: tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$ → loại.
- $y=x^4-2x^2$ và $y=x^3-3x^2$: là đa thức, không có tiệm cận đứng hay xiên → loại.
- $y=\frac{x^2+4}{x}=x+\frac{4}{x}$: có ${\lim }_{x\to 0^{+}}y=+\infty$, ${\lim }_{x\to 0^{-}}y=-\infty$ (tiệm cận đứng $x=0$) và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(\frac{x^2+4}{x}-x\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x}=0$ (tiệm cận xiên $y=x$). Nhánh $x>0$ đạt cực tiểu tại $x=2$, $y=4>0$; nhánh $x<0$ đạt cực đại tại $x=-2$, $y=-4<0$ — khớp hoàn toàn với hình vẽ.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\frac{(a-1)x+b}{(c-1)x+d}$, $d<0$. Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c-1}>0$, mà $d<0$ nên $c-1>0\Rightarrow c>1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a-1}{c-1}>0$, vì $c-1>0$ nên $a-1>0\Rightarrow a>1$. Tại $x=0$: $y(0)=\frac{b}{d}$, đồ thị đi qua gần gốc tọa độ với $y(0)<0$ (nhánh trái cắt trục hoành ngay sát gốc và đi xuống dưới), mà $d<0$ nên $b>0$. Vậy $a>1,b>0,c>1$.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^4-3x^2+2>0\iff (x^2-1)(x^2-2)>0\iff x^2>2$ hoặc $x^2<1$... thực chất điều kiện mẫu khác 0 và dương: $x^2>2$ hoặc $x^2<1$, tức $x\in (-\infty ;-\sqrt{2})\cup (-1;1)\cup (\sqrt{2};+\infty )$. Tại $x=\pm 1$ và $x=\pm \sqrt{2}$ mẫu bằng 0 nhưng chỉ $x=\pm 1$ là điểm trong lân cận có mẫu dương một phía (hàm xác định gần đó), nên hàm có 2 tiệm cận đứng $x=1$ và $x=-1$. Khi $x\to \pm \infty$: $y=\frac{x^2+2x+3}{\sqrt{x^4-3x^2+2}}\to \frac{x^2}{x^2}=1$, nên chỉ có một tiệm cận ngang $y=1$. Vậy: a) đúng ($x=1$ là TCĐ); b) sai (TCN là $y=1$, không phải $y=\sqrt{2}$); c) sai (2 TCĐ nhưng chỉ 1 TCN); d) sai (đồ thị có 3 đường tiệm cận).
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định gồm các khoảng $(-\infty ;-\sqrt{2}),(-1;1),(\sqrt{2};+\infty )$. Tại $x=1$: mẫu $\to 0^{+}$ khi $x\to 1$ từ trong khoảng $(-1;1)$ nên $y\to +\infty$; vậy $x=1$ là tiệm cận đứng.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to \pm \infty }y=\lim \frac{x^2+2x+3}{\sqrt{x^4-3x^2+2}}=1$, nên tiệm cận ngang là $y=1$, không phải $y=\sqrt{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 tiệm cận đứng ($x=\pm 1$) nhưng chỉ có 1 tiệm cận ngang ($y=1$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có 2 tiệm cận đứng và 1 tiệm cận ngang, tổng cộng 3 đường tiệm cận.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\frac{x^2-x+2}{x-2}=x+1+\frac{4}{x-2}$, tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$.
a) Vì ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$, ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty$ nên đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$. Đúng.
b) ${\lim }_{x\to \pm \infty }\left(f(x)-x-1\right)={\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên. Đúng.
c) $f(0)=\frac{2}{-2}=-1\ne 2$ nên đồ thị không đi qua $M(0;2)$. Sai.
d) $f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=0\iff (x-2{)}^2=4\iff x=0$ hoặc $x=4$. Trên nhánh $x<2$: $f$ đạt giá trị lớn nhất $f(0)=-1$; trên nhánh $x>2$: $f$ đạt giá trị nhỏ nhất $f(4)=7$. Đường thẳng $y=m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi $-1<m<7$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{\pm }}\frac{x^2-x+2}{x-2}=\pm \infty$ nên tiệm cận đứng là $x=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x+1+\frac{4}{x-2}$ và ${\lim }_{x\to \pm \infty }\frac{4}{x-2}=0$ nên $y=x+1$ là tiệm cận xiên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=\frac{0-0+2}{0-2}=-1\ne 2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=1-\frac{4}{(x-2{)}^2}=0\iff x=0$ hoặc $x=4$. Trên nhánh $x<2$: max $f(0)=-1$; trên nhánh $x>2$: min $f(4)=7$. Vậy $y=m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt khi $-1<m<7$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: lim_{x→±∞} (2x−3)/(x+2) = 2 nên TCN là y = 2. b) Sai: x²+5x+4 = (x+1)(x+4), mẫu triệt tiêu tại x = −1 và x = −4 nhưng tử cũng triệt tiêu tại x = −1 (x²−1 = (x−1)(x+1)), nên hàm rút gọn thành g(x) = (x−1)/(x+4) với x ≠ −1; tại x = −1 hàm liên tục (g(−1) = 2/3), chỉ có một tiệm cận đứng x = −4. c) Sai: h(x) = √((x−1)²+1). Khi x → +∞, h(x) − (x−1) = 1/(√(x²−2x+2)+x−1) → 0 nên có tiệm cận xiên y = x−1; tương tự khi x → −∞ có tiệm cận xiên y = −x+1. Vậy đồ thị CÓ tiệm cận xiên, mệnh đề 'không có tiệm cận xiên' là sai. d) Sai: rót dung dịch nồng độ 45% vào bình, khi thời gian rót càng lâu nồng độ trong bình càng tiến gần về 45% (nồng độ dung dịch rót vào), không phải gần nồng độ ban đầu 30%.
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→±∞} (2x−3)/(x+2) = 2 nên tiệm cận ngang là y = 2.
b) (AI giải đề cho tôi)
x²+5x+4 = (x+1)(x+4); tử x²−1 = (x−1)(x+1) triệt tiêu cùng mẫu tại x = −1 nên hàm rút gọn thành (x−1)/(x+4), chỉ có một tiệm cận đứng x = −4.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(x) = √((x−1)²+1) có tiệm cận xiên y = x−1 khi x → +∞ và y = −x+1 khi x → −∞, nên mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nồng độ trong bình tiến về 45% (nồng độ dung dịch rót vào), không tiến về nồng độ ban đầu 30%.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x\ge -2$ và $|x|\ne 2$, tức $x\in [-2;2)\cup (2;+\infty )$.
- Tiệm cận đứng: tại $x=2$, mẫu số $|x|-2\to 0$ còn $\sqrt{x+2}\to 2\ne 0$ nên ${\lim }_{x\to 2^{\pm }}y=\pm \infty$ → $x=2$ là TCĐ.
- Tại $x=-2$: với $x$ gần $-2$ thì $|x|=-x$, nên $y=\frac{\sqrt{x+2}}{-x-2}=\frac{-1}{\sqrt{x+2}}\to -\infty$ khi $x\to (-2{)}^{+}$ → $x=-2$ cũng là TCĐ.
- Tiệm cận ngang: ${\lim }_{x\to +\infty }y=0$ → $y=0$ là TCN (chỉ xét $x\to +\infty$ vì tập xác định bị chặn dưới bởi $-2$).
Vậy đồ thị có 3 tiệm cận (hai TCĐ: $x=\pm 2$ và một TCN: $y=0$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trang 16: tiệm cận đứng $x=1$ nên $bx+c=0$ tại $x=1$; tiệm cận ngang $y=\frac{a}{b}=1$ (đường $y=1$ trên hình). Đồ thị đi qua $(0;2)$: $\frac{a}{c}=2$ và đi qua $(2;0)$: $\frac{2+a}{2b+c}=0$. Chọn $b=1$ thì $c=-1$, suy ra $a=-2$. Kiểm tra: $\frac{2-2}{2-1}=0$ đúng. Vậy $a=-2,b=1,c=-1$.

a) Đúng: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$.
b) Sai: tiệm cận ngang là $y=\frac{a}{b}=1$, không phải $y=0$.
c) Đúng: $y^{\prime }=\frac{b(x+a)-b(x+a{)}^{\prime }}{(bx+c{)}^2}=\frac{bc-ac}{(bx+c{)}^2}=\frac{c-ab}{(bx+c{)}^2}=\frac{-1-(-2)}{(x-1{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ trên mỗi khoảng của tập xác định, nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
d) Đúng: $T=a-3b-2c=-2-3-2(-1)=-3$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$, tức $bx+c=0$ tại $x=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) TCN là $y=\frac{a}{b}=1$ (vì $b=1$), không phải $y=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Với $a=-2,b=1,c=-1$: $y^{\prime }=\frac{c-ab}{(bx+c{)}^2}=\frac{1}{(x-1{)}^2}>0$ nên hàm đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus \{1\}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $a=-2,b=1,c=-1$ nên $T=-2-3+2=-3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: đồ thị có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên là đường thẳng đi qua điểm $(0;-2)$, tại $x=1$ có tung độ $-3$, tức tiệm cận xiên $y=-x-2$. Loại A vì có tiệm cận đứng $x=-1$. Xét các phương án còn lại:
- B: $y=\frac{-x^2+x+2}{x-1}=-x+\frac{2}{x-1}$, tiệm cận xiên $y=-x$ (loại).
- C: $y=\frac{x^2-x+1}{-x+1}=-x+\frac{1}{1-x}$, tiệm cận xiên $y=-x$ (loại).
- D: $y=\frac{-x^2-x+1}{x-1}=-x-2-\frac{1}{x-1}$, tiệm cận đứng $x=1$, tiệm cận xiên $y=-x-2$ — khớp đồ thị.
Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: tiệm cận đứng $x=-2$ nên $c\cdot (-2)+2=0\Rightarrow c=1$. Tiệm cận xiên: chia đa thức, $y=\frac{a{x}^2+bx+1}{x+2}=ax+(b-2a)+\frac{4a-2b+1}{x+2}$, nên tiệm cận xiên là $y=ax+(b-2a)$. Theo hình, tiệm cận xiên là $y=x+1$ (hệ số góc 1, cắt trục tung tại 1), suy ra $a=1$ và $b-2a=1\Rightarrow b=3$. Khi đó $T=2a+3b-c=2+9-1=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: tiệm cận đứng là $x=1$ nên $x+b=0\iff b=-1$. Khi đó $y=\frac{x^2+a}{x-1}=x+1+\frac{a+1}{x-1}$, tiệm cận xiên $y=x+1$ (đường nét đứt cắt trục tung tại điểm có tung độ $1$, đúng như hình vẽ). Phân số dư $\frac{a+1}{x-1}$ dương với $x>1$ nên nhánh phải nằm trên tiệm cận xiên và có cực tiểu. Theo hình, điểm cực tiểu của nhánh phải có tung độ $2$ (được đánh dấu bằng $2$ trên trục tung). $y^{\prime }=\frac{x^2-2x-a}{(x-1{)}^2}=0$; với $a=0$ thì $x^{\prime }=0$ hoặc $x=2$, và $y(2)=\frac{4}{1}=2$ đúng bằng giá trị cực tiểu đã đánh dấu. Kiểm tra: với $a=0,b=-1$, hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ có TCĐ $x=1$, TCX $y=x+1$ cắt trục tung tại $(0;1)$, nhánh phải có cực tiểu $(2;2)$ — khớp hoàn toàn hình vẽ. Vậy $a=0,b=-1\Rightarrow T=a+b=-1$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tập xác định: $x^2+4x-1\ge 0$, tức $x\le -2-\sqrt{5}$ hoặc $x\ge -2+\sqrt{5}$. Xét $x\to +\infty$:
$$\sqrt{x^2+4x-1}=\sqrt{(x+2{)}^2-5}=|x+2|\sqrt{1-\frac{5}{(x+2{)}^2}}=(x+2)\sqrt{1-\frac{5}{(x+2{)}^2}}\to x+2.$$
Do đó $y=x+\sqrt{x^2+4x-1}\to 2x+2$ khi $x\to +\infty$, nên tiệm cận xiên là $y=2x+2$, tức $a=2$, $b=2$. Vậy $a^2+b^2=4+4=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Phép chia: $y=\frac{x^2+x-2}{x+4}=x-3+\frac{10}{x+4}$. Tiệm cận đứng: $x=-4$; tiệm cận xiên: $y=x-3$. Hình thang giới hạn bởi $x=-4$, $y=x-3$ và hai trục (phần gạch chéo ở góc phần tư thứ ba): các đỉnh $(-4;0)$, $(0;0)$, $(0;-3)$, $(-4;-7)$. Hai cạnh song song là hai đoạn thẳng đứng có độ dài $7$ và $3$, chiều cao (khoảng cách giữa hai cạnh) bằng $4$. Diện tích $S=\frac{7+3}{2}\cdot 4=20$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tiệm cận đứng $x=2$ nên $2b+c=0$, tiệm cận ngang $y=1$ nên $\frac{a}{b}=1$, tức $a=b$, $c=-2b$. Khi đó $f(x)=\frac{bx+1}{b(x-2)}$.

Xét giới hạn khi $x\to 2^{-}$ phải bằng $+\infty$: khi $x\to 2^{-}$ thì $x-2\to 0^{-}$, nên mẫu số $b(x-2)\to 0$ với dấu là dấu của $-b$.

Trường hợp $b>0$: mẫu số $\to 0^{-}$, để thương $\to +\infty$ cần tử số $2b+1<0$, vô lý vì $b>0$. Loại.

Trường hợp $b<0$: mẫu số $\to 0^{+}$, để thương $\to +\infty$ cần tử số $2b+1>0$, tức $b>-\frac{1}{2}$. Kết hợp $b<0$ ta được $-\frac{1}{2}<b<0$ (thỏa mãn).

Vậy $a=b<0$ và $c=-2b>0$. Trong ba số $a,b,c$ có đúng $1$ số dương (số $c$).