Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=20$): 111 (1 giá trị), 112 (3 giá trị), 113 (5 giá trị), 114 (5 giá trị), 115 (4 giá trị), 116 (1 giá trị), 117 (1 giá trị). Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ 10 và thứ 11. Cộng dồn: đến 113 là $1+3+5=9$ giá trị, nên giá trị thứ 10 và thứ 11 đều thuộc nhóm 114. Vậy trung vị $=\frac{114+114}{2}=114$ (kg/sào).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng khối lượng của 30 quả trứng là $36,5\cdot 30=1095$ (g). Tổng các giá trị đã biết: $25\cdot 3+30\cdot 5+35\cdot 10+45\cdot 4+50\cdot 2=75+150+350+180+100=855$ (g). Do đó $6x=1095-855=240$, suy ra $x=40$. Vậy mẫu số liệu (đã sắp xếp) gồm: giá trị 25 (tần số 3), 30 (5), 35 (10), 40 (6), 45 (4), 50 (2). Tần số tích lũy: 3; 8; 18; 24; 28; 30. Tứ phân vị thứ ba: $\frac{3\cdot 30}{4}=22,5$, tức quan sát thứ 23. Vì $18<23\le 24$ nên quan sát thứ 23 có giá trị 40. Vậy $Q_3=40$ (g).

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu: 1; 2; 2; 4; 4; 5; 6; 7; 7; 7; 9; 10. Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất: giá trị 7 xuất hiện 3 lần, nhiều hơn các giá trị khác (2 và 4 chỉ xuất hiện 2 lần, còn lại 1 lần). Vậy mốt của mẫu số liệu là 7, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu ($n=7$): 5; 7; 17; 19; 23; 24; 39. Tứ phân vị thứ nhất là giá trị ở vị trí thứ $(7+1)/4=2$, tức $Q_1=7$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Số đặc trưng do xu thế trung tâm được tính bằng trung bình cộng của tất cả các giá trị trong mẫu là số trung bình (kí hiệu $\bar{x}$), theo định nghĩa: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$. Trung vị và tứ phân vị dựa trên vị trí sau khi sắp xếp, còn mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất, nên A, C, D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $n$ lẻ, trung vị là giá trị chính giữa của mẫu đã sắp xếp, tức phần tử thứ $\frac{n+1}{2}$: $M_e=x_{\frac{n+1}{2}}$. Ví dụ $n=5$ thì $M_e=x_3$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, mốt $M_o$ của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị xuất hiện với tần số nhiều nhất trong mẫu số liệu. Các phương án B, D mô tả trung vị, phương án C không phải định nghĩa của mốt.

(AI giải đề cho tôi)
Tứ phân vị thứ hai $Q_2$ là giá trị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần bằng nhau, và $Q_2$ chính là trung vị $M_e$ của mẫu số liệu. Do đó đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình của mẫu 2; 4; 6; 8; 10 là $\overline{x}=\frac{2+4+6+8+10}{5}=\frac{30}{5}=6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 3; 5; 7; 8; 12. Cỡ mẫu $n=5$ là số lẻ nên trung vị là giá trị thứ $(5+1)/2=3$, tức $M_e=7$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất. Trong dãy 1; 3; 3; 5; 6; 8; 9, giá trị 3 xuất hiện hai lần, các giá trị khác chỉ xuất hiện một lần. Vậy $M_o=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Số trung bình được tính từ tổng của tất cả các giá trị trong mẫu, nên khi mẫu có giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ), số trung bình bị kéo lệch mạnh. Trong khi đó trung vị, mốt và tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào vị trí/thứ tự sắp xếp của dữ liệu nên ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường. Ví dụ: mẫu $2;4;6;8;10$ có số trung bình bằng $6$; nếu thay $10$ bằng $100$ thì số trung bình bằng $24$ trong khi trung vị vẫn là $6$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Khi mẫu số liệu có giá trị dị biệt (bất thường, quá lớn hoặc quá nhỏ), số trung bình bị ảnh hưởng mạnh bởi các giá trị này, trong khi trung vị không phụ thuộc vào giá trị dị biệt vì chỉ dựa vào vị trí chính giữa của mẫu đã sắp xếp. Do đó trung vị là số đặc trưng thích hợp nhất để đại diện cho mẫu số liệu trong trường hợp này. Phương sai không phải số đo xu thế trung tâm. Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, bộ ba tứ phân vị $(Q_1;Q_2;Q_3)$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần, mỗi phần chứa xấp xỉ 25% số lượng giá trị. Các phương án A–D của Câu 10 nằm ở đầu trang 120 và khớp với dữ liệu: A. 2 phần, B. 3 phần, C. 4 phần, D. 5 phần. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Nếu mọi giá trị $x_i$ tăng lên $k$ đơn vị thì số trung bình mới là ${\overline{x}}^{\prime }=\frac{1}{n}\sum (x_i+k)=\overline{x}+k$, tức tăng lên $k$ đơn vị. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mốt là giá trị xuất hiện với tần số cao nhất trong mẫu số liệu. Một mẫu số liệu có thể không có mốt (khi mọi giá trị xuất hiện với cùng tần số), có đúng một mốt, hoặc có nhiều mốt (khi có nhiều giá trị cùng xuất hiện với tần số cao nhất). Do đó đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự tăng dần: $5;6;7;8;9;10$. Mẫu có $n=6$ (chẵn) nên trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở giữa: $M_e=\frac{7+8}{2}=7,5$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu đã sắp xếp: $4;6;7;8;8;9;10$ với $n=7$. Vị trí tứ phân vị thứ nhất theo công thức phổ biến trong SGK: $x_{(n+1)/4}=x_2=6$. Cách khác: nửa dưới gồm 3 giá trị đầu $4;6;7$ có trung vị là $6$. Vậy $Q_1=6$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu có $n=8$ giá trị đã sắp xếp: $1;4;5;7;8;10;12;15$. Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa sau gồm $8;10;12;15$, nên $Q_3=\frac{10+12}{2}=11$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng các giá trị: $1+2+2+3+4+4+5+6=27$. Số trung bình $\overline{x}=\frac{27}{8}=3,375$. Vậy chọn C.