Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Trung bình/trung vị/tứ phân vị/mốt (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
**a) Đồng bằng Sông Hồng (n = 11):** Sắp xếp: 23, 27, 34, 35, 37, 39, 46, 54, 57, 57, 187.
- Số trung bình: $\bar{x}=\frac{596}{11}\approx 54,18$.
- Trung vị: giá trị thứ 6 là $39$.
- Tứ phân vị: $Q_1$ là giá trị thứ 3 là $34$; $Q_3$ là giá trị thứ 9 là $57$.
- Mốt: $57$ (xuất hiện 2 lần).
- Khoảng biến thiên: $R=187-23=164$.
- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=57-34=23$.
- Phương sai: $S^2=\frac{1}{11}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2=\frac{53028}{11}-{\left(\frac{596}{11}\right)}^2\approx 1885,06$.
- Độ lệch chuẩn: $S\approx 43,42$.

**Đồng bằng Sông Cửu Long (n = 13):** Sắp xếp: 15, 19, 23, 24, 24, 24, 26, 29, 33, 33, 34, 39, 42.
- Số trung bình: $\bar{y}=\frac{365}{13}\approx 28,08$.
- Trung vị: giá trị thứ 7 là $26$.
- Tứ phân vị: $Q_1$ là giá trị thứ 3{,}5 là $\frac{23+24}{2}=23,5$; $Q_3$ là giá trị thứ 10{,}5 là $\frac{33+34}{2}=33,5$.
- Mốt: $24$ (xuất hiện 3 lần).
- Khoảng biến thiên: $R=42-15=27$.
- Khoảng tứ phân vị: ${\Delta }_Q=33,5-23,5=10$.
- Phương sai: $S^2=\frac{10979}{13}-{\left(\frac{365}{13}\right)}^2\approx 56,22$.
- Độ lệch chuẩn: $S\approx 7,50$.

**b)** Mẫu số liệu Đồng bằng Sông Hồng chứa giá trị ngoại lệ $187$ (Hà Nội) rất lớn so với các giá trị còn lại. Số trung bình nhạy cảm với giá trị ngoại lệ nên bị kéo lên nhiều ($\approx 54,18$), trong khi trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ nên gần bằng trung vị của mẫu Đồng bằng Sông Cửu Long ($39$ so với $26$, cùng cấp độ nhỏ).

**c)** Khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn đều tính đến tất cả các giá trị của mẫu nên chịu ảnh hưởng mạnh của giá trị ngoại lệ $187$, làm chúng rất lớn ở mẫu Đồng bằng Sông Hồng ($R=164$, $S\approx 43,4$) so với mẫu Đồng bằng Sông Cửu Long ($R=27$, $S\approx 7,5$). Khoảng tứ phân vị chỉ dựa trên $Q_1$ và $Q_3$, bỏ qua $25\%$ giá trị nhỏ nhất và lớn nhất nên không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ; do đó hai khoảng tứ phân vị ($23$ và $10$) không chênh lệch nhiều như khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp dữ liệu: 200, 300, 340, 340, 350, 350, 360, 370, 380, 400, 400, 410, 410, 500.

a) Có 14 giá trị nên cỡ mẫu $n=14\ne 13$ → sai.

b) Tổng $\sum x_i=5110$, số trung bình $\bar{x}=\frac{5110}{14}=365$ gam $\ne 364$ gam → sai.

c) $\sum x_i^2=1923300$. Phương sai (tính trên toàn mẫu) $s^2=\frac{1923300}{14}-365^2\approx 4153,57$, nên $s\approx 64,4\ne 63,7$ (nếu dùng mẫu hiệu chỉnh $\frac{1}{n-1}$ thì $s\approx 121,3$). Cách tính nào cũng không ra 63,7 → sai.

d) Với $n=14$: $Q_1=340$, $Q_3=407,5$ hoặc theo cách chia nửa mẫu $Q_1=340$, $Q_3=400$. Dùng $Q_1=340$, $Q_3=400$ thì $IQR=60$, khoảng biến thiên mở rộng $[250;470]$. Giá trị ngoại lệ: 200 (< 250) và 500 (> 470). Loại 2 quả này còn 12 quả: 300, 340, 340, 350, 350, 360, 370, 380, 400, 400, 410, 410. Chọn 25% quả nặng nhất: $0,25\times 12=3$ quả là 400, 410, 410 gam — đều có cân nặng từ 395 gam trở lên → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Dữ liệu gồm 14 giá trị nên $n=14\ne 13$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\bar{x}=\frac{5110}{14}=365$ gam, không phải 364 gam.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sum x_i^2=1923300$; $s^2=\frac{1923300}{14}-365^2\approx 4153,57\Rightarrow s\approx 64,4\ne 63,7$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$Q_1=340$, $Q_3=400$, $IQR=60$, ngoại lệ là 200 và 500. Loại bỏ còn 12 quả; 25% của 12 là 3 quả nặng nhất: 400, 410, 410 gam, đều từ 395 gam trở lên.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp 9 số liệu: 2318, 2326, 2352, 2407, 2418, 2432, 2463, 2600, 2731. Gọi $x$ là số liệu bị mờ. Vì trung vị của mẫu 10 số là $2415,5$ (trung bình của số thứ 5 và thứ 6), thử các vị trí của $x$: nếu $2407\le x\le 2418$ thì trung vị $=\frac{x+2418}{2}=2415,5\Rightarrow x=2413$ (thỏa mãn). Các trường hợp khác đều vô lý (ví dụ $x<2407$ cho trung vị $\frac{2407+2418}{2}=2412,5$; $x>2418$ cho trung vị $\frac{2418+2432}{2}=2425$). Vậy số liệu bị mờ là $2413$. Mẫu đầy đủ: 2318, 2326, 2352, 2407, 2413, 2418, 2432, 2463, 2600, 2731. Tính tứ phân vị: nửa dưới gồm 5 số nên $Q_1=2352$; nửa trên gồm 5 số nên $Q_3=2463$; $IQR=2463-2352=111$. Khoảng xác định: $[Q_1-1,5\cdot IQR;Q_3+1,5\cdot IQR]=[2185,5;2629,5]$. Vì $2731>2629,5$ nên $2731$ là giá trị bất thường (outlier).

(AI giải đề cho tôi)
Sắp mẫu 9 số tự nhiên khác nhau tăng dần: $x_1<x_2<\cdots <x_9$, trung vị $x_5=12$. Để $\overline{x}$ lớn nhất, ta tối thiểu hóa bốn số nhỏ nhất: $x_1=0,x_2=1,x_3=2,x_4=3$ (tổng nhỏ nhất là 6). Bốn số lớn nhất $x_6<x_7<x_8<x_9$ chỉ cần lớn hơn 12 và phân biệt nhau, nhưng không bị chặn trên — ta có thể chọn $x_9$ lớn tùy ý, khiến tổng và số trung bình $\overline{x}$ tăng vô hạn. Vậy $\overline{x}$ không có giá trị lớn nhất (không giới hạn). Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Mẫu số liệu có 10 giá trị: 8;9;10;9;8;10;10;9;x;10. Không tính x, các giá trị đã có: 8 xuất hiện 2 lần, 9 xuất hiện 3 lần, 10 xuất hiện 4 lần; tổng bằng 83. Để 10 là mốt duy nhất, số lần xuất hiện của 10 (4 lần) phải lớn hơn số lần xuất hiện của mọi giá trị khác, tức x không được làm giá trị nào khác đạt 4 lần trở lên và x không được xuất hiện cùng lúc tạo mốt khác. Với x = 8 thì 8 xuất hiện 3 lần, 9 xuất hiện 3 lần, 10 vẫn xuất hiện 4 lần nên 10 vẫn là mốt duy nhất; do đó điều kiện chỉ yêu cầu x khác các giá trị khiến mốt không duy nhất — thực tế mọi x với tần số của nó nhỏ hơn 4 đều thỏa. Điểm số bắn súng nhỏ nhất có thể là 0, khi đó mốt vẫn là 10 (xuất hiện 4 lần, nhiều nhất). Số trung bình nhỏ nhất: $\bar{x}=\frac{83+0}{10}=8,30$. Khớp với đáp số nguồn 8,30.

(AI giải đề cho tôi)
Vì mẫu không có giá trị bất thường nên giá trị nhỏ nhất phải thỏa min ≥ Q1 − 1,5·IQR. Với min = 10, Q1 = 25: 10 ≥ 25 − 1,5(Q3 − 25) ⟹ 1,5(Q3 − 25) ≥ 15 ⟹ Q3 − 25 ≥ 10 ⟹ Q3 ≥ 35. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cỡ mẫu n = 2+5+6+8+3+1 = 25. a) Trung vị là giá trị thứ 13: tích lũy 5:2, 6:7, 7:13 nên giá trị thứ 13 là 7, không phải 6 → Sai. b) R = 10 − 5 = 5 → Đúng. c) Số trung bình x̄ = (5·2+6·5+7·6+8·8+9·3+10·1)/25 = 183/25 = 7,32. S² = (25·2+36·5+49·6+64·8+81·3+100·1)/25 − 7,32² = 1379/25 − 53,5824 = 55,16 − 53,5824 = 1,5776, nên s ≈ 1,256 > 1 → Sai. d) Q1 ở vị trí 6,25 → Q1 = 6; Q3 ở vị trí 18,75 → Q3 = 9; ΔQ = 9 − 6 = 3 ≠ 2 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
n = 25, trung vị là giá trị thứ 13. Tích lũy: điểm 5 có 2 HS, điểm 6 có 7 HS (tổng 9), điểm 7 có 6 HS (tổng 15). Vậy giá trị thứ 13 là 7, trung vị bằng 7 chứ không phải 6.
b) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng biến thiên R = giá trị lớn nhất − giá trị nhỏ nhất = 10 − 5 = 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
x̄ = 183/25 = 7,32. S² = 1379/25 − 7,32² = 55,16 − 53,5824 = 1,5776, nên s = √1,5776 ≈ 1,256 > 1. Độ lệch chuẩn không nhỏ hơn 1 điểm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Q1 ở vị trí 0,25·25 = 6,25 nên Q1 = 6; Q3 ở vị trí 0,75·25 = 18,75 nên Q3 = 9. Khoảng tứ phân vị ΔQ = 9 − 6 = 3 ≠ 2.

Theo đáp án chính thức của đề, giá trị tứ phân vị thứ ba $Q_3$ (ngưỡng 25% cao nhất) là $35,4$.