Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên theo định lý đường trung bình $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Xét các vecto tạo bởi các điểm $M,N,P,A,B,C$ (khác vecto $\vec{0}$): chỉ có $\overrightarrow{PC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (vì $P$ là trung điểm $BC$) nên $\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{MN}$. Các vecto khác như $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ (ngược hướng), $\overrightarrow{BM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{NA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$, $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$... đều khác $\overrightarrow{MN}$ vì ngược hướng hoặc không cùng phương với $\overrightarrow{BC}$. Vậy có đúng 2 vecto bằng $\overrightarrow{MN}$: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PC}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, tức $B-A=D-C$, suy ra $A+D=B+C$, nghĩa là trung điểm của $AD$ trùng trung điểm của $BC$.
- A sai: $ABCD$ là hình bình hành cho $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (không phải $\overrightarrow{CD}$, vì hai vecto này ngược hướng).
- B sai: $ACBD$ là hình bình hành cho $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}$, không tương đương với $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.
- C đúng: Nếu $AD$ và $BC$ có cùng trung điểm $I$ thì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{ID}=\vec{0}$ và $\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}=\vec{0}$, suy ra $A+D=B+C$, do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Ngược lại, từ $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ suy ra $A+D=B+C$ nên hai đoạn $AD$ và $BC$ có cùng trung điểm. Vậy C là điều kiện cần và đủ.
- D sai: đây chỉ là lặp lại điều kiện cần chứng minh kèm điều kiện song song, không phải dạng điều kiện hình học chuẩn.
Đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh $a$, góc $A=60^{\circ }$ nên tam giác $ABD$ (với $AB=AD=a$) cân tại $A$ có góc $60^{\circ }$ là tam giác đều, do đó đường chéo $BD=a$ và đường chéo $AC=2\cdot a\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$. Tâm $O$ là trung điểm hai đường chéo nên $OA=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Vậy $\left|\overrightarrow{OA}\right|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, đáp án A. Kiểm tra các phương án khác: $\left|\overrightarrow{OB}\right|=\frac{BD}{2}=\frac{a}{2}\ne \left|\overrightarrow{OA}\right|$, loại B, C, D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ giác $ABCD$, $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CD,DA$. Trong tam giác $ABC$, $MN$ là đường trung bình nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Tương tự trong tam giác $ADC$, $\overrightarrow{QP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Do đó $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QP}$ (A đúng) và $|\overrightarrow{QP}|=|\overrightarrow{MN}|$ (B đúng). Trong tam giác $ABD$, $\overrightarrow{MQ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$; trong tam giác $BCD$, $\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$, nên $\overrightarrow{MQ}=\overrightarrow{NP}$ (C đúng). Còn $|\overrightarrow{MN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|\ne |\overrightarrow{AC}|$ (với $AC\ne 0$), nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật ngoài ABCD có AB = 25 m, AD = 16 m; đường đi rộng 0,5 m mỗi phía nên vườn rau EFGH có EF = 25 − 2·0,5 = 24 m và EH = 16 − 2·0,5 = 15 m.
a) Sai. Các vecto cùng phương với \overrightarrow{AB} tạo từ 8 điểm: \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{DC}, \overrightarrow{CD}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{FE}, \overrightarrow{HG}, \overrightarrow{GH} — tổng cộng 8 vecto, không phải 6.
b) Sai. AC = √(25² + 16²) = √881 ≈ 29,68 m < 30 m.
c) Đúng. EF = 24 m như tính trên.
d) Sai. Diện tích vườn rau = 24 × 15 = 360 m². Lượng đạm cần: (360/25)·2 = 28,8 kg. Chi phí = 28,8 × 24 000 = 691 200 đồng ≠ 700 000 đồng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 8 vecto cùng phương với \overrightarrow{AB}: AB, BA, DC, CD, EF, FE, HG, GH, không phải 6.
b) (AI giải đề cho tôi)
AC = √(25² + 16²) = √881 ≈ 29,68 m < 30 m.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF = 25 − 2·0,5 = 24 m.
d) (AI giải đề cho tôi)
Diện tích vườn rau 24×15 = 360 m², cần 28,8 kg đạm, chi phí 691 200 đồng ≠ 700 000 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ tâm $O$, cạnh $AB=1$, $\hat{A}=60^{\circ }$. Đường chéo $AC$ là phân giác góc $A$, do đó tam giác $ABO$ vuông tại $O$ có $\widehat{BAO}=30^{\circ }$. Suy ra $AO=AB\cos 30^{\circ }=1\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866\approx 0,9$. Vậy $|\overrightarrow{AO}|\approx 0,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là giao hai đường chéo của hình thoi $ABCD$. Vì $ABCD$ là hình thoi cạnh 1 và $\widehat{BAD}=60^{\circ }$ nên tam giác $ABD$ cân tại $A$ có góc đỉnh $60^{\circ }$ là tam giác đều, do đó $BD=1$. Theo tính chất hình thoi, hai đường chéo vuông góc tại $O$ và $O$ là trung điểm mỗi đường chéo, nên $BO=\frac{1}{2}$. Xét tam giác $ABO$ vuông tại $O$: $AO=\sqrt{A{B}^2-B{O}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $AC=2AO=\sqrt{3}\approx 1,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$. Trung điểm $M$ của $AB$ là $M\left(\frac{a}{2};0\right)$. Vì $N$ đối xứng với $C$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $CN$: $N=2D-C=(2\cdot 0-a;2a-a)=(-a;a)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=\left(-a-\frac{a}{2};a-0\right)=\left(-\frac{3a}{2};a\right)$. Độ dài: $MN=\sqrt{\frac{9a^2}{4}+a^2}=\sqrt{\frac{13a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{13}}{2}\approx 1,8a$. Vậy $|\overrightarrow{MN}|=\frac{a\sqrt{13}}{2}\approx 1,8a$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt tọa độ: $B(0;0)$, $C(1;0)$, $A\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. Trọng tâm $G=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$. Trung điểm $I$ của $AG$: $I=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Khi đó $\overrightarrow{BI}=\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$ nên $BI=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{7}{12}}=\frac{\sqrt{21}}{6}\approx 0,7638\approx 0,8$. Vậy độ dài vecto $\overrightarrow{BI}$ xấp xỉ $0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(\sqrt{13};0)$, $D(0;\sqrt{13})$, $C(\sqrt{13};\sqrt{13})$. Trung điểm $M$ của $AB$ là $M\left(\frac{\sqrt{13}}{2};0\right)$. Vì $N$ đối xứng với $C$ qua $D$ nên $D$ là trung điểm $CN$: $\overrightarrow{DN}=-\overrightarrow{DC}$, suy ra $N=2D-C=(-\sqrt{13};\sqrt{13})$. Khi đó $\overrightarrow{MN}=\left(-\frac{3\sqrt{13}}{2};\sqrt{13}\right)$, nên $MN=\sqrt{\frac{117}{4}+13}=\sqrt{\frac{169}{4}}=\frac{13}{2}$. (Điểm $P$ với $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{BA}$ không ảnh hưởng đến độ dài $\overrightarrow{MN}$.) Vậy $|\overrightarrow{MN}|=\frac{13}{2}=6,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với quy tắc hiệu và tổng vecto:
- A: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, sai.
- B: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}$, đúng.
- C: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, sai.
- D: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, sai.
Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$ (đề viết nhầm $ABCDCF$). Chọn hệ trục với bán kính 1: $A(1;0)$, $B(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $C(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $D(-1;0)$, $E(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$, $F(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
A) $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AF}|=1$ (cạnh lục giác đều) → đúng.
B) $\overrightarrow{AB}=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$, $\overrightarrow{ED}=D-E=(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ → đúng.
C) $\overrightarrow{OD}=(-1;0)$, $\overrightarrow{BC}=C-B=(-1;0)$ → đúng.
D) $\overrightarrow{OB}=(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2})$ còn $\overrightarrow{OE}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\overrightarrow{OB}$, hai vecto ngược hướng nên không bằng nhau → sai.
Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=\vec{0}$ khi và chỉ khi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $PQ$ (quy tắc trung điểm). Đoạn thẳng $PQ$ có đúng một trung điểm, nên có đúng 1 điểm $M$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|$. Trong tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, $H$ là trung điểm $BC$ nên $CA=a$, $CH=\frac{a}{2}$, và góc giữa $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{CH}$ là $\widehat{ACH}=60^{\circ }$. Do đó ${\left|\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CH}\right|}^2=a^2+\frac{a^2}{4}+2\cdot a\cdot \frac{a}{2}\cos 60^{\circ }=a^2+\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{2}=\frac{7a^2}{4}$. Vậy $\left|\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{HC}\right|=\frac{a\sqrt{7}}{2}$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $D$ của hình vuông $ABCD$: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DB}$. Vậy độ dài cần tính là độ dài đường chéo của hình vuông cạnh $2a$: $|\overrightarrow{DB}|=DB=2a\sqrt{2}$. Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai lực cùng độ dài 50 N, góc $60^{\circ }$. a) Đúng theo giả thiết. b) Hai vecto khác hướng nên $\overrightarrow{F_1}\ne \overrightarrow{F_2}$, sai. c) Lực tổng hợp $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$, với hai lực bằng nhau hợp góc $60^{\circ }$ thì $|\overrightarrow{F}|=2\cdot 50\cos 30^{\circ }=50\sqrt{3}$ N, đúng. d) Do $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|$, tổng hợp nằm trên phân giác góc giữa hai lực nên tạo với mỗi lực góc $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$, sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo giả thiết hai lực đều có cường độ 50 N.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai vecto cùng độ dài nhưng khác phương (hợp góc $60^{\circ }$) nên $\overrightarrow{F_1}\ne \overrightarrow{F_2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lực tổng hợp $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}$ có độ dài $|\overrightarrow{F}|=2\cdot 50\cos 30^{\circ }=50\sqrt{3}$ N (quy tắc hình bình hành OACB với OC là đường chéo).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|$, hình bình hành OACB là hình thoi nên $\overrightarrow{F}$ nằm trên phân giác góc $\widehat{AOB}=60^{\circ }$, do đó tạo với $\overrightarrow{F_1}$ góc $30^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm của $BC$. Theo quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GM}$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $AM$ và $GM=\frac{1}{3}AM$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên $AM=\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}=6$. Suy ra $GM=\frac{6}{3}=2$ và $\left|\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=2GM=2\cdot 2=4$. Vậy độ dài của véc-tơ $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$ bằng $4$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overrightarrow{v_n}$ là vận tốc của dòng nước so với bờ: $|\overrightarrow{v_n}|=10$ km/h, hướng từ Bắc xuống Nam. Gọi $\overrightarrow{v_c}$ là vận tốc của ca nô so với dòng nước: $|\overrightarrow{v_c}|=35$ km/h, hướng từ Đông sang Tây. Vì hai phương này vuông góc với nhau, vận tốc của ca nô so với bờ là $\vec{v}=\overrightarrow{v_c}+\overrightarrow{v_n}$ với $|\vec{v}|=\sqrt{35^2+10^2}=\sqrt{1225+100}=\sqrt{1325}=5\sqrt{53}\approx 36.4$ km/h. Vậy vận tốc của ca nô so với bờ khoảng $36.4$ km/h (hướng chếch về phía Tây Nam, tạo với hướng Tây góc $\arctan (10/35)\approx 15.9^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, vecto vận tốc của máy bay có độ lớn 150 km/h theo hướng bắc, vecto vận tốc gió có độ lớn 30 km/h theo hướng đông. Hai vecto này vuông góc với nhau nên theo quy tắc hình bình hành (ở đây là quy tắc tam giác), vecto tổng là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh vuông góc 150 km/h và 30 km/h.

Độ dài vecto tổng là:
$$|\vec{v}|=\sqrt{150^2+30^2}=\sqrt{22500+900}=\sqrt{23400}=30\sqrt{26}\approx 152,97\text{ (km/h)}.$$

Vậy độ dài vecto tổng của hai vecto vận tốc bằng $30\sqrt{26}\approx 153$ km/h.