Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tứ giác ABCD có 4 đỉnh. Vectơ khác vec 0 có điểm đầu và điểm cuối là hai đỉnh phân biệt, nên số vectơ là số cách chọn điểm đầu và điểm cuối khác nhau: 4 × 3 = 12 vectơ (AB, BA, AC, CA, AD, DA, BC, CB, BD, DB, CD, DC). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ và ngược hướng với $\overrightarrow{CB}$ → A sai. $M$ nằm trên đoạn $AB$ nên $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$ → B đúng. $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng vì $M$ nằm giữa $A$ và $B$ → C sai. $N$ nằm trên $AC$ nên $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$, ngược hướng với $\overrightarrow{CA}$ → D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{CD}|$ nghĩa là điểm $D$ cách đều $C$ một khoảng bằng độ dài $AB$ (với $\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$ nên độ dài này dương). Tập hợp các điểm $D$ là đường tròn tâm $C$ bán kính $|\overrightarrow{AB}|$, gồm vô số điểm. Vậy có vô số điểm $D$ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét vectơ $\vec{0}$: (I) sai vì vectơ $\vec{0}$ chính là vectơ có độ dài bằng 0 ($|\vec{0}|=0$). (II) sai vì vectơ $\vec{0}$ được coi là có mọi phương (nhiều phương), do đó khẳng định 'không là vectơ có nhiều phương' là sai. Vậy cả (I) và (II) đều sai, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nên độ dài mỗi cạnh bằng $a$. Xét các mệnh đề: A sai vì $\left|\overrightarrow{AC}\right|$ là số (bằng $a$) còn $\overrightarrow{BC}$ là vectơ, không thể so sánh bằng nhau giữa số và vectơ. B sai vì $\overrightarrow{AC}$ là vectơ còn $a$ là số. C sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng độ dài nhưng khác hướng (góc giữa chúng bằng $60^{\circ }$) nên không bằng nhau. D đúng vì $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=a$. Vậy đáp án là $D$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì M thuộc đoạn AB và AB = 3AM nên AM = AB/3, MB = AB - AM = 2AB/3. Xét từng khẳng định: A) |MB| = 2AB/3 = 2|MA| đúng. B) |MA| = AB/3 ≠ 2|MB| = 4AB/3, sai. C) |BA| = AB = 3|AM| đúng. D) |AM| = AB/3 = (1/2)(2AB/3) = (1/2)|BM| đúng. Vậy khẳng định sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $AD\parallel BC$ và $AD=BC$, hai vectơ $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng (cùng đi từ cạnh $AB$ sang cạnh $DC$), do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Các khẳng định còn lại sai: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không bằng nhau (khác phương, khác độ dài); $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{DB}$ là hai vectơ đối nhau trên hai đường chéo nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\ne \overrightarrow{DB}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường chéo, nên $O$ nằm giữa $B$ và $D$ trên đường thẳng $BD$. Xét hướng của từng véc tơ so với $\overrightarrow{OB}$ (hướng từ $O$ đến $B$):
- $\overrightarrow{OD}$: hướng từ $O$ đến $D$, ngược hướng với $\overrightarrow{OB}$ vì $O$ nằm giữa $B$ và $D$.
- $\overrightarrow{BO}$: hướng từ $B$ đến $O$, ngược hướng với $\overrightarrow{OB}$.
- $\overrightarrow{BD}$: hướng từ $B$ đến $D$, đi qua $O$ về phía $D$, tức là cùng chiều với $\overrightarrow{OD}$ và ngược chiều với $\overrightarrow{OB}$.
- $\overrightarrow{DB}$: hướng từ $D$ đến $B$, cùng hướng với $\overrightarrow{OB}$ nên không thỏa mãn.
Vậy các véc tơ ngược hướng với $\overrightarrow{OB}$ là $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{OD},\overrightarrow{BO}$, tương ứng phương án D. Kết quả này trùng với đáp án đã cho.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $AD=4$ nên $BC=AD=4$, $CD=AB=3$. Đường chéo $AC=BD=\sqrt{3^2+4^2}=5$. Xét các đáp án: A: $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{BD}|=5$ — đúng (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau). B: $|\overrightarrow{CD}|=3\ne |\overrightarrow{BC}|=4$ — sai. C: $|\overrightarrow{AC}|=5\ne |\overrightarrow{AB}|=3$ — sai. D: $|\overrightarrow{BD}|=5\ne 7$ — sai. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3$, $BC=4$ nên đường chéo $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{9+16}=5$. Tâm $I$ là trung điểm đường chéo $AC$ (và $BD$), do đó $BI=\frac{BD}{2}=\frac{AC}{2}=\frac{5}{2}$. Vậy $\left|\overrightarrow{BI}\right|=\frac{5}{2}$, chọn đáp án B.

Xét từng mệnh đề:
- A sai: hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng, nên không phải lúc nào cũng cùng hướng.
- B đúng: theo định nghĩa, hai vectơ cùng phương thì giá của chúng song song hoặc trùng nhau. Đây là khẳng định chuẩn trong SGK Toán 10.
- C sai: hai vectơ có giá vuông góc thì không thể cùng phương (trừ trường hợp suy biến, không xét).
- D cần lưu ý: nếu hai vectơ cùng ngược hướng với một vectơ thứ ba thì chúng cùng hướng với nhau, do đó cũng cùng phương nhau; về mặt logic mệnh đề D cũng đúng. Tuy nhiên đáp án chuẩn của đề là B — khẳng định định nghĩa chuẩn trong SGK; D không phải đáp án intended của sách.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ không: $\vec{a}.\vec{b}=\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|.\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định đúng là phương án B. Các phương án A, D thiếu hệ số cos hoặc dùng sin sai; phương án C sai vì $\left|\vec{a}.\vec{b}\right|$ là một số dương, không phải độ dài hai véc tơ.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, hai véc tơ có cùng độ dài (độ lớn) và ngược hướng được gọi là hai véc tơ đối nhau. Ví dụ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là hai véc tơ đối nhau. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình bình hành $ABCD$ tâm $O$ nên $O$ là trung điểm các đường chéo, do đó $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$. Xét từng đáp án: A) $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}\ne \overrightarrow{AB}$, sai. B) $\overrightarrow{CO}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{CB}\ne \overrightarrow{BA}$, sai. C) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}\ne \overrightarrow{AC}$, sai. D) $\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$ (vì $ABCD$ là hình bình hành), đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 29 (theo ảnh, đề ghi Câu 28 trong dữ liệu): Xét từng khẳng định với ba vectơ $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ khác vectơ-không. A đúng theo tính giao hoán của phép cộng vectơ: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$. B đúng theo tính kết hợp: $\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}=\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)$. C đúng theo tính chất của vectơ-không: $\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$. D sai vì $\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\ne \vec{0}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, hai vectơ $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{CD}$ có cùng điểm gốc $C$. Theo quy tắc hình bình hành, tổng $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$ bằng vectơ đi từ $C$ theo đường chéo của hình bình hành, tức là $\overrightarrow{CA}$ (vì $A$ là đỉnh đối diện với $C$). Vậy $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm (tổng hai vectơ liên tiếp $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$):
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ đúng.
- B: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ đúng.
- C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ đúng.
- D: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$, sai.
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Sắp xếp lại: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}=\vec{0}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$, ta có: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{QP}$ với $Q$ là trung điểm $MN$ (tính chất trung điểm). Vì $M$ trung điểm $AB$, $N$ trung điểm $BC$ nên $Q$ trung điểm $MN$ chính là trung điểm của $AC$ (đường trung bình), tức $Q\equiv P$. Do đó $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{PP}=\vec{0}$? Kiểm tra lại bằng tọa độ: đặt $A,B,C$ tùy ý, $M=\frac{A+B}{2}$, $N=\frac{B+C}{2}$, $P=\frac{C+A}{2}$. Khi đó $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=(P-M)+(P-N)=2P-M-N=(A+C)-\frac{A+B}{2}-\frac{B+C}{2}=\frac{A+C-2B}{2}$. Mặt khác $\overrightarrow{BP}=P-B=\frac{A+C}{2}-B=\frac{A+C-2B}{2}$. Vậy $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{BP}$, chọn đáp án A. (Cách nhìn khác: $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})/2+(\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NC})/2$ không cần; đơn giản nhất là dùng quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{MP}=\frac{\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}}{2}$... thực chất kết quả $\overrightarrow{BP}$ đúng vì $P$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{NP}=2\overrightarrow{QP}$ với $Q$ trung điểm $MN$, và $Q$ trung điểm $MN$ có $\overrightarrow{QB}=\vec{0}$ khi $Q\equiv$ trung điểm $AC$... kiểm chứng bằng tọa độ như trên là đủ.)

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ có $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$. Do đó $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{IB}$ (quy tắc ba điểm). Vậy khẳng định A đúng. Các phương án khác sai: B sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành); C sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AD}\ne \overrightarrow{IB}$; D sai vì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{IA}=\overrightarrow{IB}\ne \overrightarrow{BI}$.