Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AM}=-\overrightarrow{BM}$, suy ra $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$. Khẳng định B đúng. Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$ (tính chất trung điểm), không phải $\overrightarrow{AB}$; C sai vì $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{IM}$, thiếu hệ số 2; D sai vì $\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng đẳng thức với mọi điểm $A$, $B$, $C$:
- A: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}$, không đơn giản thành $\overrightarrow{AC}$ (sai).
- B: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ theo quy tắc ba điểm (đúng).
- C: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$, không phải $\overrightarrow{BC}$ (sai).
- D: $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$, không phải $\overrightarrow{AB}$ (sai).
Vậy đẳng thức luôn đúng là phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Vì $\widehat{AMB}=90^{\circ }$ nên $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2}=\sqrt{100^2+100^2}=100\sqrt{2}$ (N). Vậy cường độ của $\overrightarrow{F_3}$ bằng $100\sqrt{2}N$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $k<0$ thì $k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$ (khi $\vec{a}\ne \vec{0}$), nên khẳng định C là sai. Các khẳng định A, B, D đều đúng (D là định nghĩa hai vecto cùng phương với $\vec{b}\ne \vec{0}$).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{MN}=-3\overrightarrow{MP}$ suy ra $\overrightarrow{MP}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{MN}$, nên $\overrightarrow{MP}$ ngược hướng với $\overrightarrow{MN}$: điểm $P$ nằm ngoài đoạn $MN$, về phía $M$, và $MP=\frac{1}{3}MN$. Xét các hình: Hình 1 và Hình 4 có $P$ nằm giữa $M$ và $N$ (cùng hướng) → sai. Hình 2 có $P$ về phía $N$ với $MP=2MN$ → sai. Hình 3 có thứ tự $N,\dots ,M,P$ với $MN$ gồm 3 khoảng bằng nhau và $MP$ đúng 1 khoảng, tức $MP=\frac{1}{3}MN$ và ngược hướng → đúng. Vậy chọn Hình 3, phương án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AC}$, ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $I$ là trung điểm của $BC$ nên $I$ nằm giữa $B$ và $C$ với $IB=IC$, do đó $\overrightarrow{BI}$ và $\overrightarrow{IC}$ cùng hướng và có độ dài bằng nhau: $\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AM}$ (A đúng). Vì $N$ là trung điểm của $AC$ nên $\overrightarrow{CN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$ (D đúng), do đó $2\overrightarrow{CN}=-\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{AC}$, tức mệnh đề B sai. Với $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ thì $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, suy ra $\overrightarrow{NM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$, tức $\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{NM}$ (C đúng). Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất hiệu hai vectơ: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}=-4\vec{a}-3\vec{a}=-7\vec{a}$. Vậy chọn C. (Lưu ý: trong tài liệu gốc, phương án B và D đều in là $\overrightarrow{MN}=-5\vec{a}$; giữ nguyên theo nguồn.)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy độ dài: $|\vec{a}|=|m||\vec{b}|\Rightarrow 5=|m|\cdot 15\Rightarrow |m|=\frac{1}{3}$. Kết hợp $m<0$ ta được $m=-\frac{1}{3}$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(-1;2)$, $\vec{b}=(5;-7)$. Khi đó $\vec{a}-\vec{b}=(-1-5;2-(-7))=(-6;9)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(3;-4)$ và $\vec{b}=(-1;2)$, ta có $\vec{a}+\vec{b}=(3+(-1);-4+2)=(2;-2)$. Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}=(1;2)$ nên $4\vec{a}=(4;8)$. Khi đó $\vec{c}=4\vec{a}-\vec{b}=(4-3;8-4)=(1;4)$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(5-(-1);5-5)=(6;0)$ và $\overrightarrow{AC}=(-1-(-1);11-5)=(0;6)$. Kiểm tra tính cùng phương: $6\cdot 6-0\cdot 0=36\ne 0$, nên hai vectơ không cùng phương. Do đó $A,B,C$ không thẳng hàng (loại A), loại B, và vì không cùng phương nên cũng không thể cùng hướng (loại D). Khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
a) $M$ trung điểm $AB$, $P$ trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$; $N$ trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{NC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$. Vậy $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{NC}$: đúng.
b) $G$ là trọng tâm nên nằm trên trung tuyến $BP$ với $BG=2GP$, $G$ giữa $B$ và $P$, do đó $\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{GP}$, không phải $2\overrightarrow{GP}$: sai.
c) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GN}$ với $N$ trung điểm $BC$. Vì $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=-\overrightarrow{GB}\ne \overrightarrow{GB}$: sai.
d) Tính chất trọng tâm: với mọi điểm $O$, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{NC}$ vì $M,P,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AC,BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $G$ nằm giữa $B$ và $P$ trên trung tuyến $BP$ với $BG=2GP$, nên $\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{GP}$, do đó khẳng định $\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GP}$ sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GB}\ne \overrightarrow{GB}$, nên khẳng định sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$ với mọi điểm $O$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $M,N$ lần lượt là trung điểm $AB,BC$ nên $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vì $P$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$. Vậy $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BP}$: đúng.
b) Trọng tâm $G$ thẳng hàng với đỉnh $B$ và trung điểm $P$ của cạnh đối diện, với $GB=2GP$ và $G$ nằm giữa $B,P$, do đó $\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{GP}$: đúng.
c) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}\ne \overrightarrow{GC}$: sai.
d) Với điểm $O$ tùy ý: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{OG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{OG}$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BP}$ vì $P$ là trung điểm $AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ nằm trên trung tuyến $BP$ với $\overrightarrow{GB}=-2\overrightarrow{GP}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=-\overrightarrow{GC}$, không bằng $\overrightarrow{GC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, với mọi điểm $O$ ta có $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 6: Tam giác ABC có trọng tâm G; M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC.
a) Sai. Vì N, P là trung điểm của BC, AC nên $\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ (đường trung bình), còn $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$. Hai vectơ này không cùng phương (cùng đi qua M nhưng $\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{BA}$ khác phương) nên không thể bằng nhau.
b) Đúng. Vì N là trung điểm BC: $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GN}$. Vì G là trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{GA}=-(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=-2\overrightarrow{GN}$.
c) Sai. Theo trên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GA}\ne \overrightarrow{GA}$.
d) Đúng. Với mọi điểm O: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=3\overrightarrow{OG}$ do $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{NP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ còn $\overrightarrow{MA}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$, hai vectơ không cùng phương nên không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GA}=-(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})=-2\overrightarrow{GN}$ vì N là trung điểm BC và G là trọng tâm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GN}=-\overrightarrow{GA}$, khác $\overrightarrow{GA}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính chất trọng tâm: với mọi điểm O, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=3\overrightarrow{OG}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$: $MN=\frac{1}{2}BC$ và $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ (cùng hướng, không ngược hướng). Do đó a) sai, c) sai. P đối xứng với M qua N nên N là trung điểm của MP, suy ra $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$, do đó $|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{BC}|=BC$. Vậy b) và d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình tam giác nên $MN=\frac{1}{2}BC\ne BC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P$ đối xứng $M$ qua $N$ nên $\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$, suy ra $|\overrightarrow{MP}|=|\overrightarrow{BC}|$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên hai vectơ cùng hướng, không ngược hướng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}=2\cdot \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Quy tắc hình bình hành tại đỉnh C: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ (đường chéo CA) → đúng.
b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}\ne \overrightarrow{CD}$ → sai.
c) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\ne \overrightarrow{AC}$ → sai.
d) $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ vì CA là đường chéo của hình bình hành.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}$, khác $\overrightarrow{CD}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$, khác $\overrightarrow{AC}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CD}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Theo quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên $\left|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}\right|=AC=a\ne 2a$ → sai.
c) Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$, với $AM$ là đường trung tuyến tam giác đều: $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nên $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=2\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$ → đúng.
d) $\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CG}$. Trọng tâm $G$ cách đỉnh $C$ một khoảng $CG=\frac{2}{3}CM=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ nên độ dài bằng $a$, không phải $2a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AM}$ với $M$ trung điểm $BC$, $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, nên độ dài bằng $a\sqrt{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CG}$, và $CG=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$.