Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$: đúng. b) Vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\vec{0}$: đúng. c) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MC}$, mà $\overrightarrow{MC}\ne \overrightarrow{MN}$ nói chung (chỉ đúng khi $N\equiv C$): sai. d) Kiểm chứng bằng tọa độ: $2\overrightarrow{MN}=\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}$ và $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=(\vec{C}-\vec{A})+(\vec{D}-\vec{B})=\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}$, nên $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$: đúng (đây là tính chất trung điểm của đoạn nối trung điểm hai đoạn thẳng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}$, tức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{NC}=-\overrightarrow{ND}$, tức $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MC}$, nói chung $\overrightarrow{MC}\ne \overrightarrow{MN}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất trung điểm: $2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$ (kiểm chứng bằng tọa độ: cả hai vế đều bằng $\vec{C}+\vec{D}-\vec{A}-\vec{B}$).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $N$ là trung điểm $AC$, $P$ là trung điểm $AB$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
a) Đúng: theo tính chất trọng tâm, $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
b) Sai: vì $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN}$, không phải $3\overrightarrow{BN}$.
c) Sai: dùng tọa độ $A(0;0),B(1;0),C(0;1)$: $N(0;0,5)\Rightarrow \overrightarrow{BN}=(-1;0,5)$, $P(0,5;0)\Rightarrow \overrightarrow{CP}=(0,5;-1)$. Khi đó $-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=(\frac{1}{3};\frac{1}{3})\ne \overrightarrow{AB}=(1;0)$. Tổng quát: $-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=-\frac{2}{3}\left(\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}-\vec{B}+\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}-\vec{C}\right)=-\frac{2\vec{A}}{3}+\frac{\vec{B}+\vec{C}}{3}\ne \vec{B}-\vec{A}$.
d) Đúng: $-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CP}\right)=\frac{2}{3}\left(\frac{\vec{A}+\vec{C}}{2}-\vec{B}-\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}+\vec{C}\right)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3\vec{C}-3\vec{B}}{2}=\vec{C}-\vec{B}=\overrightarrow{BC}$. Kiểm tra tọa độ: $(-\frac{1}{3};\frac{2}{3})+(-\frac{2}{3};\frac{1}{3})=(-1;1)=\overrightarrow{BC}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec{0}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $N$ là trung điểm $AC$ nên $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BN}\ne 3\overrightarrow{BN}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Thử $A(0;0),B(1;0),C(0;1)$: $-\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}=(\frac{1}{3};\frac{1}{3})\ne \overrightarrow{AB}=(1;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $-\frac{2}{3}\overrightarrow{CP}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{BN}-\overrightarrow{CP})=\frac{2}{3}\cdot \frac{3(\vec{C}-\vec{B})}{2}=\overrightarrow{BC}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3),\vec{b}=(4;1)$:

a) $\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$, nên $\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=(-2)(-6)+3\cdot 2=12+6=18\ne 12$ → sai.

b) $\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=2\cdot (-8)+4\cdot 5=-16+20=4$ → đúng.

c) $\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$ khi $\vec{a}\cdot \vec{c}=-2m+1=0\iff m=\frac{1}{2}\ne \frac{3}{2}$ → sai.

d) Gọi $\vec{d}=(x;y)$: $-2x+3y=4$ và $4x+y=-2$. Từ phương trình thứ hai $y=-2-4x$, thay vào: $-2x+3(-2-4x)=4\Rightarrow -14x=10\Rightarrow x=-\frac{5}{7}$, $y=-2+\frac{20}{7}=\frac{6}{7}$. Vậy $\vec{d}=\left(-\frac{5}{7};\frac{6}{7}\right)$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}\cdot (\vec{a}-\vec{b})=18\ne 12$
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=-16+20=4$
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện vuông góc cho $m=\frac{1}{2}$, không phải $\frac{3}{2}$
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ được $\vec{d}=\left(-\frac{5}{7};\frac{6}{7}\right)$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0,0)$, $B(a,0)$, $C(a,a)$, $D(0,a)$, $O(a/2,a/2)$.
a) $\overrightarrow{AB}=(a,0)$, $\overrightarrow{DC}=(a,0)$ (cùng hướng), tích vô hướng $=a^2\ne 2a^2$ → Sai.
b) $\overrightarrow{OC}=(a/2,a/2)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}=a\cdot a/2=a^2/2\ne a^2$ → Sai.
c) $\overrightarrow{CA}=(-a,-a)$, $\overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{OC}=-a^2/2-a^2/2=-a^2$ → Đúng.
d) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=(a,a)$; $\overrightarrow{BC}=(0,a)$, $\overrightarrow{BD}=(-a,a)$ nên $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=(-a,2a)$. Tích: $-a^2+2a^2=a^2$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng, độ dài bằng $a$ nên tích vô hướng bằng $a^2$, không phải $2a^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{OC}=a\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^2}{2}\ne a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CA}=(-a,-a)$, $\overrightarrow{OC}=(a/2,a/2)$, tích $=-a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}=(a,a)$; $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}=(-a,2a)$; tích $=-a^2+2a^2=a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo hình vẽ, điểm $M$ nằm trên đoạn $AB$ (giữa $A$ và $B$). Khi đó vectơ $\overrightarrow{AM}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$ vì cả hai đều hướng từ $A$ về phía $B$. Các vectơ $\overrightarrow{BM}$ (hướng ngược lại), $\overrightarrow{CM}$, $\overrightarrow{CD}$ không cùng hướng với $\overrightarrow{AM}$. Đáp án khớp với mã đề 0101: B.

a) Nhìn hình ta thấy $\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\Rightarrow$ ĐÚNG.
b) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\right|=2\left|\overrightarrow{IC}\right|=2IC=2\sqrt{10}\Rightarrow$ SAI (tự tính Pythagore ra $IC$).
c) Có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. $P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right).\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ $\Rightarrow P=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}A{B}^2+\frac{2}{3}A{C}^2\right)=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}.2^2+\frac{2}{3}.3^2\right)=\frac{28}{9}\Rightarrow$ ĐÚNG.
d) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow$ SAI.
a) Nhìn hình ta thấy $\overrightarrow{BI},\overrightarrow{AB}$ cùng phương $\Rightarrow$ ĐÚNG.
b) $\left|\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IC}\right|=2\left|\overrightarrow{IC}\right|=2IC=2\sqrt{10}\Rightarrow$ SAI (tự tính Pythagore ra $IC$)
c) Có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)=\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. $P=\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right).\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}.\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\left(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ $\Rightarrow P=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}A{B}^2+\frac{2}{3}A{C}^2\right)=\frac{2}{3}\left(-\frac{1}{3}.2^2+\frac{2}{3}.3^2\right)=\frac{28}{9}\Rightarrow$ ĐÚNG
d) $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\Rightarrow$ SAI

a) $VT=\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AJ}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}=VP$. b) $\overrightarrow{IG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}-2\overrightarrow{AB}$ $=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)-2\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}=-\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Chọn A (tự vẽ hình ra xem)

Chọn B. $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ quy tắc 3 điểm

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy tắc ba điểm trong tam giác $UVW$: $\overrightarrow{WU}+\overrightarrow{UV}=\overrightarrow{WV}$ (điểm chung $U$), nên phát biểu D đúng. A sai vì $\overrightarrow{WU}+\overrightarrow{WV}=\overrightarrow{WU}$ suy ra $\overrightarrow{WV}=\vec{0}$, vô lý. B sai vì $\overrightarrow{UW}+\overrightarrow{VU}=\overrightarrow{VW}\ne \overrightarrow{WV}$. C sai vì $\overrightarrow{WV}+\overrightarrow{VU}=\overrightarrow{WU}\ne \overrightarrow{UW}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}.\vec{v}=|\vec{u}||\vec{v}|\cos 60^{\circ }=5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=20$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\vec{0}$ (A đúng). Do đó $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GA}\ne \vec{0}$ vì $A\ne G$, nên B sai. C đúng vì $\overrightarrow{GB}-\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{AB}$. D đúng theo tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AG}$. Vậy phát biểu sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-(-3\overrightarrow{AC})=4\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ nằm trên cạnh $BC$ với $MB=2MC$ nên $\overrightarrow{MB}=-2\overrightarrow{CM}$, tức $M$ chia đoạn $BC$ theo tỉ số $\frac{\overrightarrow{MB}}{\overrightarrow{MC}}=-2$. Theo công thức chia đoạn thẳng: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{1+2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{1+2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vậy $k=\frac{1}{3}$, $h=\frac{2}{3}$, do đó $h+k=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$. (Kiểm tra: tổng hai hệ số bằng 1 đúng với điểm nằm trên đường thẳng $BC$.)

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh bằng phương pháp tọa độ vectơ, gốc tại O. Đặt $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c},\overrightarrow{OD}=\vec{d}$. Vì $A,O,C$ thẳng hàng và $B,O,D$ thẳng hàng (O nằm giữa do tứ giác lồi), tồn tại $\lambda ,\mu >0$ sao cho $\vec{c}=-\lambda \vec{a},\vec{d}=-\mu \vec{b}$; suy ra $\vec{c}\cdot \vec{d}=\lambda \mu (\vec{a}\cdot \vec{b})$.

Gọi $\vec{h}=\overrightarrow{OH},\vec{k}=\overrightarrow{OK}$. Vì $H$ là trực tâm tam giác $ABO$ (có đỉnh $O$ là gốc): $AH\perp OB$ và $BH\perp OA$ nên
$$(\vec{h}-\vec{a})\cdot \vec{b}=0\Rightarrow \vec{h}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{b};(\vec{h}-\vec{b})\cdot \vec{a}=0\Rightarrow \vec{h}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{b}.$$
Tương tự, $K$ trực tâm tam giác $CDO$:
$$\vec{k}\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d},\vec{k}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{d}.$$

Ta có $I$ trung điểm $AD$, $J$ trung điểm $BC$ nên
$$\overrightarrow{JI}=\overrightarrow{OI}-\overrightarrow{OJ}=\frac{\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c}}{2}.$$
Tính $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{JI}=\frac{1}{2}(\vec{k}-\vec{h})\cdot (\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c})$, khai triển 4 tích:
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{a}=\vec{k}\cdot \vec{a}-\vec{h}\cdot \vec{a}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\lambda }-\vec{a}\cdot \vec{b}$ (vì $\vec{a}=-\vec{c}/\lambda$);
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d}-\vec{h}\cdot \vec{d}=\vec{c}\cdot \vec{d}+\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\lambda }$ (vì $\vec{h}\cdot \vec{d}=-\mu \vec{h}\cdot \vec{b}=-\mu \vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\lambda }$);
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }-\vec{a}\cdot \vec{b}$ (vì $\vec{k}\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }$);
- $(\vec{k}-\vec{h})\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{d}-\vec{h}\cdot \vec{c}=\vec{c}\cdot \vec{d}+\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }$ (vì $\vec{h}\cdot \vec{c}=-\lambda \vec{a}\cdot \vec{b}=-\frac{\vec{c}\cdot \vec{d}}{\mu }$).

Cộng lại:
$$(\vec{k}-\vec{h})\cdot (\vec{a}+\vec{d}-\vec{b}-\vec{c})=\left(-\frac{cd}{\lambda }-ab\right)+\left(cd+\frac{cd}{\lambda }\right)+\left(\frac{cd}{\mu }+ab\right)-\left(cd+\frac{cd}{\mu }\right)=0,$$
(trong đó $cd=\vec{c}\cdot \vec{d},ab=\vec{a}\cdot \vec{b}$; mọi số hạng đều triệt tiêu).

Vậy $\overrightarrow{HK}\cdot \overrightarrow{JI}=0$, tức là $HK\perp JI$. $■$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình, $M$ thuộc $AB$, $N$ thuộc $AC$ và $MN\parallel BC$ (đường trung bình/ song song với đáy). Xét từng đáp án:
- A: $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng với $\overrightarrow{BC}$ nên đối hướng với $\overrightarrow{CB}$ → sai.
- B: $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không song song → không cùng hướng.
- C: $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ song song và cùng chiều (cùng đi từ trái sang phải theo hình vẽ) → cùng hướng. Đúng.
- D: $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{AB}$ cùng nằm trên đường thẳng $AB$ nhưng ngược chiều nhau ($M$ nằm giữa $A$ và $B$) → đối hướng.
Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định bằng quy tắc ba điểm:
- A: $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ (đúng, vì $\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ theo hiệu hai vec-tơ cùng gốc).
- B: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$ (đúng theo quy tắc ba điểm).
- C: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{BA}$ (đúng).
- D: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}\ne \overrightarrow{BA}$ (sai).
Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$. Trong hình hộp, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và vì $M$ là trung điểm $C{C}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$. Vậy $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, trùng với đáp án A (khớp đáp án nguồn trang 19).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A_1{C}_1\parallel AC$ nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{A_1{C}_1}$ bằng góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$. Trong hình vuông $ABCD$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên góc giữa hai đường chéo cạnh... cụ thể $\widehat{BAC}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai vectơ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0),B(2;0),D(0;2),C(2;2)$, khi đó $M(1;0)$. Đường thẳng $DM$ qua $(0;2)$ và $(1;0)$ có phương trình $y=2-2x$; đường thẳng $AC$ là $y=x$. Giao điểm $I$: $x=2-2x\Rightarrow x=\frac{2}{3}$, nên $I\left(\frac{2}{3};\frac{2}{3}\right)$. Suy ra $\overrightarrow{CI}=\left(-\frac{4}{3};-\frac{4}{3}\right)=2\left(-\frac{2}{3};-\frac{2}{3}\right)=2\overrightarrow{IA}$. Vậy mệnh đề đúng là A. Kiểm tra các phương án khác: $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$ nên B, D sai; $\overrightarrow{CI}=-2\overrightarrow{AI}$ nên C sai.