Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, nên $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AD}$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AD}$, do đó ${\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|}^2=A{B}^2+4A{D}^2=(4a{)}^2+4a^2=20a^2$, suy ra $\left|\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\right|=2\sqrt{5}a$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\overrightarrow{IA}=-2\overrightarrow{IB}$ suy ra $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$. Chọn điểm $O$ tùy ý: $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI}+2(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI})=\overrightarrow{0}\Rightarrow 3\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}$, tức $I$ nằm giữa $A$ và $B$ với $\frac{IA}{IB}=2$. Do đó $\overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Khi đó $\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BA}$ nên $\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|=AB$. Điều kiện trở thành $\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}\right|=AB$. Mặt khác $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$, suy ra $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}$. Gọi $N$ là điểm sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AC}$ (tức $N$ là ảnh của $M$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{AC}$), khi đó $\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{NB}$ (vì $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{MB}$... chính xác là $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NM}=-\overrightarrow{AC}$, do đó $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{AC}$; xét $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{AC}$, nên $\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AC}\right|=\left|\overrightarrow{BN}\right|$). Vậy tập hợp điểm $M$ thỏa mãn tương ứng với tập điểm $N$ thỏa $BN=AB$: đường tròn tâm $B$ bán kính $AB$. Do phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách, tập hợp $M$ cũng là đường tròn có bán kính $AB$. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\cos B=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, suy ra góc giữa hai véc tơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{BC}$ (là góc $B$ của tam giác) bằng $60^0$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0)$, $B(a;0)$, $C(a;a)$, $D(0;a)$, khi đó $M(a;\frac{a}{2})$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=(a;\frac{a}{2})$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BD}=-a^2+\frac{a^2}{2}=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa độ: $\overrightarrow{AB}=(-4-1;2-(-1))=(-5;3)$; $\overrightarrow{BC}=(3-(-4);0-2)=(7;-2)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=(-5)(7)+3(-2)=-35-6=-41$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $\vec{a}=(-2;3),\vec{b}=(4;1)$:
a) $\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$, nên $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=(-2)(-6)+3\cdot 2=18\ne 12$ → sai.
b) $\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=2(-8)+4\cdot 5=4$ → đúng.
c) $\vec{c}=(m;1)$, $\vec{a}\cdot \vec{c}=-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}$ → đúng.
d) $\vec{d}=(x;y)$: $-2x+3y=4$, $4x+y=-2\Rightarrow y=-2-4x$, thay vào: $-2x-6-12x=4\Rightarrow x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}-\vec{b}=(-6;2)$, $\vec{a}(\vec{a}-\vec{b})=12+6=18\ne 12$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{a}+\vec{b}=(2;4)$, $2\vec{a}-\vec{b}=(-8;5)$, tích vô hướng $=-16+20=4$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{c}=(m;1)$ vuông góc $\vec{a}$ khi $-2m+3=0\Rightarrow m=\frac{3}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ $-2x+3y=4,4x+y=-2$ được $x=-\frac{5}{7},y=\frac{6}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thoi $ABCD$ cạnh 2, góc $B=60^{\circ }$ nên góc $D=60^{\circ }$, góc $A=$ góc $C=120^{\circ }$.
a) Đường chéo $AC$ là phân giác góc $A=120^{\circ }$ nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $60^{\circ }$: đúng.
b) Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ bằng $120^{\circ }$, nên góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$: sai.
c) Góc giữa $\overrightarrow{DA}$ và $\overrightarrow{DC}$ là góc $D=60^{\circ }$, nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=2\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=2\ne 3$: sai.
d) Gọi $O$ giao hai đường chéo: $BD=2\cdot 2\sin 60^{\circ }=2\sqrt{3}$ nên $OB=\sqrt{3}$; góc $ABD=30^{\circ }$ nên góc giữa $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $180^{\circ }-30^{\circ }=150^{\circ }$, do đó $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{BA}=\sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }=2\sqrt{3}\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-3$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường chéo $AC$ phân giác góc $A=120^{\circ }$ nên $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=60^{\circ }$: đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DA}$ bằng $180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }\ne 30^{\circ }$: sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc $D=60^{\circ }$ nên $\overrightarrow{DA}\cdot \overrightarrow{DC}=2\cdot 2\cdot \cos 60^{\circ }=2\ne 3$: sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OB=\sqrt{3}$, góc giữa $\overrightarrow{OB}$ và $\overrightarrow{BA}$ bằng $150^{\circ }$, tích vô hướng $=\sqrt{3}\cdot 2\cdot \cos 150^{\circ }=-3$: đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $B(0;0),A(4a;0),C(0;3a)$. Khi đó $M$ trung điểm $AB$ là $M(2a;0)$, trọng tâm tam giác $ACM$ là $G\left(\frac{4a+0+2a}{3};\frac{0+3a+0}{3}\right)=(2a;a)$.

a) $\overrightarrow{CM}=(2a;-3a)$, còn $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(2a;0)-(0;9a)=(2a;-9a)\ne \overrightarrow{CM}$. Sai.

b) $\overrightarrow{BG}=(2a;a)$, còn $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(6a;0)+(0;a)=(6a;a)$. Chờ đã, kiểm tra lại: $\frac{3}{2}\cdot 4a=6a\ne 2a$. Vậy $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$, không phải $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}$. Sai.

c) $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{BA}$, do đó $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{BA}=0$. Đúng.

d) $\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(2a)(2a)+(a)(-3a)=4a^2-3a^2=a^2\ne -a^2$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{CM}=(2a;-3a)$ nhưng $\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}-3\overrightarrow{BC}=(2a;-9a)$, hai vectơ không bằng nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}=(2a;a)$ nhưng $\frac{3}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(6a;a)$. Đúng ra $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{BA}$, tích vô hướng bằng $0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BG}\cdot \overrightarrow{CM}=(2a)(2a)+(a)(-3a)=a^2\ne -a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9 (giải đầy đủ):

a) Vì $E$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Vì $F\in AC$ với $AF=2FC$ nên $\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. Vì $K$ là trung điểm $EF$:
$$\overrightarrow{AK}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$$ (đpcm)

b) Từ $\overrightarrow{PC}=-3\overrightarrow{PB}$, với gốc $A$: $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP}=-3(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})\Rightarrow 4\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$, tức $\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$. Suy ra
$$\overrightarrow{KP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AK}=\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\right)\overrightarrow{AB}+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right)\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{12}\overrightarrow{AC}.$$

c) Đặt $D=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ và dựng điểm cố định $G$ thỏa $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$ (không phụ thuộc $M$). Với mọi điểm $M$, đặt gốc tại $A$:
$$\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=2(\vec{A}-\vec{M})-2(\vec{B}-\vec{M})-(\vec{C}-\vec{M})=\vec{M}+2\vec{A}-2\vec{B}-\vec{C}.$$
Khi đó
$$\overrightarrow{GM}=\vec{M}-\vec{G}=\vec{M}-(2\vec{B}+\vec{C}-2\vec{A})=\vec{M}+2\vec{A}-2\vec{B}-\vec{C}=\overrightarrow{MN}.$$
Vậy $\overrightarrow{GM}=\overrightarrow{MN}$, tức $M$ là trung điểm của $GN$; do đó ba điểm $G,M,N$ thẳng hàng, nghĩa là đường thẳng $MN$ luôn đi qua điểm cố định $G$ (với $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$) khi $M$ thay đổi.

d) Gọi $I$ là trung điểm $AB$, $J_1$ (đặt $L$) là trung điểm $AC$. Ta có $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=2\overrightarrow{JI}$ và $\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JC}=2\overrightarrow{JL}$. Điều kiện trở thành
$$|\overrightarrow{JI}|=|\overrightarrow{JL}|⟺JI=JL.$$
Vậy tập hợp điểm $J$ là đường trung trực của đoạn $IL$ (với $I$ trung điểm $AB$, $L$ trung điểm $AC$; chú ý $IL\parallel BC$ và $IL=\frac{1}{2}BC$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Cho tam giác ABC, M xác định bởi BM = 3MC.

1) Ta có BM = AM − AB và MC = AC − AM (đẳng thức vector: BM = BC − MC... kiểm tra: BM = MC·3, và BM = AM − AB, MC = AC − AM). Suy ra AM − AB = 3(AC − AM) ⟹ 4AM = AB + 3AC ⟹ AM = (1/4)AB + (3/4)AC. (đpcm)

2) G là trọng tâm tam giác ABM nên BG = (1/3)(BA + BM). Ta có BA = −AB và BM = (3/4)BC = (3/4)(AC − AB). Do đó
BG = (1/3)(−AB + (3/4)AC − (3/4)AB) = (1/3)(−(7/4)AB + (3/4)AC) = −(7/12)AB + (1/4)AC.

3) BK = BA + AK = −AB + m·AC. Ba điểm B, G, K thẳng hàng ⟺ BK = t·BG:
−AB + m·AC = t(−(7/12)AB + (1/4)AC).
Vì AB, AC không cùng phương, so sánh hệ số: −1 = −7t/12 ⟹ t = 12/7; m = t/4 = 3/7.
Vậy m = 3/7 (khi đó K thuộc đoạn AC vì 0 < 3/7 < 1, thỏa mãn).

4) Điều kiện PA·PB = 3PB². Vì PA = PB + BA:
PB² + BA·PB = 3PB² ⟺ BA·PB = 2PB².
Đặt a = BA, p = BP (nên PB = −p): −a·p = 2|p|² ⟺ |p|² + (1/2)a·p = 0 ⟺ |p + a/4|² = |a|²/16.
Gọi I là điểm thỏa mãn BI = −(1/4)BA = (1/4)AB, tức I nằm trên tia đối của tia BA (tia kéo dài từ A qua B, ngoài đoạn AB phía B), với BI = AB/4. Khi đó IP = IB + BP = (1/4)BA... chính xác là IP = BP + BI = p + a/4, nên điều kiện trở thành IP² = AB²/16, tức IP = AB/4.

Lưu ý về tâm I (điểm từng bị mô tả nhầm): từ |p + a/4|² với p = BP, ta cần BI = −(1/4)BA = (1/4)AB, tức I nằm trên tia đối của tia BA (phía ngoài đoạn AB, sau B), KHÔNG thuộc đoạn AB. Khi đó IP = BP + BI đúng bằng p + a/4.

Kiểm tra: P = B thì PA·PB = BA·0 = 0 = 3·0 = 3PB², thỏa mãn, và B thuộc đường tròn (IB = AB/4 = R). ✓

Vậy tập hợp điểm P là đường tròn tâm I với BI = (1/4)AB (I trên tia đối tia BA, ngoài đoạn AB), bán kính R = AB/4.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 11: Cho $A(5;4),B(2;1),C(-3;-2)$.

1) $\overrightarrow{AC}=(-8;-6)$, $\overrightarrow{CB}=(5;3)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=-40-18=-58$.

$\overrightarrow{CA}=(8;6)$ nên $|\overrightarrow{CA}|=10$, $|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{34}$. Do đó
$$\cos \left(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB}\right)=\frac{-58}{10\sqrt{34}}=\frac{-29}{5\sqrt{34}}=\frac{-29\sqrt{34}}{170}.$$

2) Gọi $B^{\prime }=A+t\overrightarrow{AC}$ với $t=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}{|}^2}$. Ta có $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=24+18=42$, $|\overrightarrow{AC}{|}^2=100$ nên $t=\frac{21}{50}$.
$$B^{\prime }=\left(5-\frac{8\cdot 21}{50};4-\frac{6\cdot 21}{50}\right)=\left(\frac{41}{25};\frac{37}{25}\right).$$

3) Hai tam giác $ABM$ và $ABC$ có chung đỉnh $A$, đáy nằm trên đường thẳng $AC$ nên cùng đường cao hạ từ $B$ xuống $AC$. Do đó $\frac{S_{ABM}}{S_{ABC}}=\frac{AM}{AC}=\frac{1}{3}$, tức $AM=\frac{1}{3}AC$.

Vì $M$ thuộc đường thẳng $AC$ (không yêu cầu thuộc đoạn $AC$) nên có hai khả năng:
- $M=A+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\left(5-\frac{8}{3};4-2\right)=\left(\frac{7}{3};2\right)$;
- $M=A-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\left(5+\frac{8}{3};4+2\right)=\left(\frac{23}{3};6\right)$.

Vậy $M\left(\frac{7}{3};2\right)$ hoặc $M\left(\frac{23}{3};6\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 12: Cho $A(2;1)$, $B(3;-2)$, $C(5;-3)$.

a) $\overrightarrow{AB}=(1;-3)$, $\overrightarrow{BC}=(2;-1)$ nên $\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{BC}=(1-4;-3+2)=(-3;-1)$.

b) $\overrightarrow{BA}=(-1;3)$, $\overrightarrow{BC}=(2;-1)$. $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC}=-2-3=-5$; $|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{10}$, $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{5}$. Vậy $\cos ABC=\frac{-5}{\sqrt{10}\sqrt{5}}=\frac{-5}{\sqrt{50}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

c) $E$ thuộc $BC$: $E=(3+2t;-2-t)$. Điều kiện $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BC}=0$ với $\overrightarrow{AE}=(1+2t;-3-t)$: $2(1+2t)-(-3-t)=5+5t=0\Rightarrow t=-1$. Vậy $E(1;-1)$.

d) $M=(m;0)$. Ta có $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MG}$ với $G$ là điểm thỏa $\overrightarrow{AG}=2\overrightarrow{GB}$, tức $G=\frac{A+2B}{3}=\left(\frac{8}{3};-1\right)$. Biểu thức cần nhỏ nhất bằng $3\left(|MG|+|MA|\right)$. Lấy $A^{\prime }$ đối xứng $A$ qua trục hoành: $A^{\prime }(2;-1)$. Khi đó $|MA|=|M{A}^{\prime }|$ và cần min $|M{A}^{\prime }|+|MG|$ với $M$ trên trục hoành. Đặt $a=m-2$, $b=\frac{8}{3}-m$ (chú ý $a+b=\frac{2}{3}$), điều kiện cực trị $\frac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{b}{\sqrt{b^2+1}}$ cho $a=b=\frac{1}{3}$, suy ra $m=\frac{7}{3}$. Vậy $M\left(\frac{7}{3};0\right)$, giá trị nhỏ nhất $=3\cdot 2\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+1}=2\sqrt{10}$ (kiểm tra: $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}=(1;-3)$, $|3\overrightarrow{MA}|=\sqrt{10}$, tổng $2\sqrt{10}$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 13: Đò đi từ bờ Nam sang bờ Bắc, sông chảy về hướng Đông. Chọn trục Ox hướng Đông, Oy hướng Bắc.

a) Biểu diễn trên mặt phẳng Oxy:
- $\overrightarrow{v_1}=-3\vec{i}+5\vec{j}$ là vận tốc của đò so với dòng nước: tọa độ điểm đầu mút (từ gốc) là $(-3;5)$, tức mũi tên từ $O(0;0)$ đến điểm $A(-3;5)$. Độ lớn $|\overrightarrow{v_1}|=\sqrt{(-3{)}^2+5^2}=\sqrt{34}\approx 5,83$ m/s. Vector này hướng lên phía Bắc và lệch về phía Tây (chệch một góc so với phương vuông góc với bờ) — đúng như bác lái đò phải chèo chệch ngược dòng để đò đi thẳng sang bờ đối diện.
- $\overrightarrow{v_2}=5\vec{j}$ là vận tốc thực của đò so với bờ: mũi tên từ $O(0;0)$ đến điểm $B(0;5)$, hướng thẳng đứng theo trục Oy (vuông góc với bờ, về phía Bắc), độ lớn $|\overrightarrow{v_2}|=5$ m/s.

b) Theo định lý tổng vận tốc: vận tốc thực của đò so với bờ bằng tổng vận tốc đò so với nước và vận tốc nước so với bờ:
$$\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_n}\Rightarrow \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{v_2}-\overrightarrow{v_1}=5\vec{j}-(-3\vec{i}+5\vec{j})=3\vec{i}.$$
Vậy vận tốc của dòng nước so với bờ là $\overrightarrow{v_n}=3\vec{i}$ (hướng về phía Đông, đúng chiều sông chảy), và tốc độ dòng nước là:
$$|\overrightarrow{v_n}|=3\text{ (m/s)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$ ta có $\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{AD}$. Do đó $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$. Theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (vì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$). Vậy đáp án là $\overrightarrow{AC}$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$ (ngược hướng).
b) Sai: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$, và $|\overrightarrow{DB}|=a\sqrt{2}\ne 4a$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$).
c) Đúng: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (cùng hướng, cùng độ dài $a$), nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=|\overrightarrow{BC}{|}^2=a^2$.
d) Đúng: G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$ (vì $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{CA}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DB}$ nên $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{2}\ne 4a$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AD}=a^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{3}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khúc gỗ đi dọc theo bờ sông nên tổng lực theo phương vuông góc với bờ sông bằng 0. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{F_2}$ hợp với phương bờ sông góc $45^{\circ }$ (phía trên), $\overrightarrow{F_1}$ hợp góc $30^{\circ }$ (phía dưới). Thành phần vuông góc: $F_2\sin 45^{\circ }=F_1\sin 30^{\circ }\Rightarrow F_2=400\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=400\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{400}{\sqrt{2}}=200\sqrt{2}\approx 283$ N.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(10;-5)$, $\overrightarrow{BE}=(a-7;a-b+1)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BE}=10(a-7)-5(a-b+1)=10a-70-5a+5b-5=5a+5b-75=2025$. Suy ra $5(a+b)=2100$, tức $a+b=420$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ khác véc tơ 0: $\vec{a}.\vec{b}=\left|\vec{a}\right|.\left|\vec{b}\right|.\cos \left(\vec{a};\vec{b}\right)$. Do đó khẳng định đúng là B. (A chỉ đúng khi hai véc tơ cùng hướng; C, D sai về công thức.)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: A(0;0), B(1;0), C(0;2) (góc vuông tại A), I(0,5;0) trung điểm AB.
a) I là trung điểm AB nên IA + IB = 0. Đúng.
b) CA = (0;-2), CB = (1;-2), IC = (0;2). Tổng = (1;-2), độ dài = √5 ≠ √17/2. Sai.
c) DA = BC nên AD = CB = (1;-2). Khi đó ½AD + ½AC = (0,5;-1) + (0;1) = (0,5;0) = IB. Đúng.
d) IA có hướng từ I đến A (ngược chiều trục), AB có hướng từ A đến B (cùng chiều trục), nên hai vectơ ngược hướng. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
I là trung điểm AB nên IA + IB = 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với A(0;0), B(1;0), C(0;2), I(0,5;0): CA+CB+IC = (0;-2)+(1;-2)+(0;2) = (1;-2), độ dài bằng √5, không bằng √17/2.
c) (AI giải đề cho tôi)
AD = CB = (1;-2), nên ½AD + ½AC = (0,5;-1)+(0;1) = (0,5;0) = IB.
d) (AI giải đề cho tôi)
I nằm giữa A và B nên IA ngược hướng với AB.