Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên theo quy tắc hình bình hành, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ với $D$ là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật $ABDC$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|=AD=BC$ (hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau) $=14$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1,5 giờ, vị trí tàu là $A+1,5\vec{v}=(1;2)+1,5(3;4)=(1+4,5;2+6)=(5,5;8)$. Vậy $a=5,5$, $b=8$, nên $2a+b=11+8=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD=2AB=2a$ nên $AB=a$. Chọn hệ trục tọa độ $A(0;0)$, $B(a;0)$. Tia $AD$ tạo với $AB$ góc $120^{\circ }$, đặt $AD=d$ thì $D\left(-\frac{d}{2};\frac{d\sqrt{3}}{2}\right)$. Vì $AB\parallel CD$, $CD=2a$ nên $C=\left(2a-\frac{d}{2};\frac{d\sqrt{3}}{2}\right)$.

Hình thang cân nên $AD=BC$:
$${\left(a-\frac{d}{2}\right)}^2+\frac{3d^2}{4}=d^2\iff a^2-ad=0\iff d=a(d>0).$$
Vậy $AD=a$, $D\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $C\left(\frac{3a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

Đường thẳng $CD$ nằm ngang (tung độ $\frac{a\sqrt{3}}{2}$), $AH\perp CD$ nên $AH$ thẳng đứng, do đó $H\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$ và $\overrightarrow{AH}=\left(0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, $|AH|=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Ta có $\overrightarrow{CD}=\left(-2a;0\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-\frac{a}{2};\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$, nên
$$\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}=\left(-2a+2a;-2a\sqrt{3}\right)=\left(0;-2a\sqrt{3}\right).$$
Khi đó
$$\overrightarrow{AH}\cdot \left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)=0\cdot 0+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-2a\sqrt{3}\right)=-3a^2.$$

Kiểm tra lại: $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{CD}=0$ vì $AH\perp CD$; $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AD}=0\cdot \left(-\frac{a}{2}\right)+\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2}{4}$. Về hình học, vectơ $\overrightarrow{AH}$ có phương thẳng đứng (góc định hướng $90^{\circ }$) còn $\overrightarrow{AD}$ có phương tạo với $AB$ góc $120^{\circ }$, nên góc giữa hai vectơ là $120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$; do đó $\overrightarrow{AH}\cdot \overrightarrow{AD}=|AH|\cdot |AD|\cos 30^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2}{4}$ (khớp với kết quả tọa độ). Vậy $\overrightarrow{AH}\cdot \left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)=0-4\cdot \frac{3a^2}{4}=-3a^2$.

Kết luận: $\overrightarrow{AH}\cdot \left(\overrightarrow{CD}-4\overrightarrow{AD}\right)=-3a^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình bình hành $ABCD$, ta có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ nên hai véctơ này cùng hướng. Theo hình vẽ, $\overrightarrow{DC}$ hướng từ trái sang phải (từ D đến C), và $\overrightarrow{AB}$ cũng hướng từ trái sang phải (từ A đến B). Các véctơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{CD}$ ngược hướng với $\overrightarrow{DC}$; $\overrightarrow{BD}$ là đường chéo, không song song với $\overrightarrow{DC}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ câu 8, ba điểm A, I, B thẳng hàng theo thứ tự A - I - B. Trên đoạn thẳng, từ A đến I có 2 khoảng bằng nhau và từ I đến B có 3 khoảng bằng nhau, nên về độ dài $IA=\frac{2}{3}IB$. Vì I nằm giữa A và B nên hai vectơ $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ ngược hướng, do đó $\overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{IB}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng, khác vectơ 0 thì góc giữa chúng bằng 0°, nên $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 0°=|\vec{a}||\vec{b}|$. Vậy đáp án A đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: góc ABC = 60° nên AB và BC không cùng phương. b) Đúng: CA − CB = BA (quy tắc hiệu vectơ, cùng xuất phát từ C). c) Đúng: M trung điểm BC nên AM = ½(AB + AC) (tính chất trung điểm trong công thức trung bình cộng vectơ). d) Đúng: AB + BC = AC, theo định lí cosin AC² = AB² + BC² − 2·AB·BC·cos60° = 4a² + 16a² − 8a² = 12a², nên |AC| = 2a√3.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì góc ABC = 60° ≠ 0° và 180° nên AB và BC không cùng phương.
b) (AI giải đề cho tôi)
CA − CB = BA theo quy tắc hiệu hai vectơ cùng xuất phát từ C.
c) (AI giải đề cho tôi)
M là trung điểm BC nên AM = ½(AB + AC), do đó ½AB + ½AC = AM.
d) (AI giải đề cho tôi)
AB + BC = AC. Theo định lí cosin: AC² = 4a² + 16a² − 2·2a·4a·cos60° = 12a², nên |AB + BC| = 2a√3.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (quy tắc hình bình hành). Vậy $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right|=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ (vì $BC=AD=4$). Đáp số: $5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên tổng ba lực bằng vectơ không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$.

Đặt $|\overrightarrow{F_1}|=|\overrightarrow{F_2}|=a$ thì theo giả thiết $|\overrightarrow{F_3}|=\sqrt{3}a$.

Bình phương hai vế của $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=-\overrightarrow{F_3}$:
$$|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}{|}^2=|\overrightarrow{F_3}{|}^2$$
$$|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2+2\overrightarrow{F_1}\cdot \overrightarrow{F_2}=3a^2$$
$$2a^2+2a^2\cos \theta =3a^2$$

với $\theta$ là góc giữa $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ ($0^{\circ }\le \theta \le 180^{\circ }$).

Suy ra $\cos \theta =\frac{1}{2}$, do đó $\theta =60^{\circ }$.

Vậy khi vật đứng yên, góc tạo bởi $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$ bằng $60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong lục giác đều $ABCDEF$ tâm $O$, ba điểm $B$, $O$, $E$ thẳng hàng nên vectơ $\overrightarrow{OB}$ có phương của đường thẳng $BE$. Trong lục giác đều, cạnh $FA\parallel BE$ và cạnh $CD\parallel BE$, do đó các đường thẳng đi qua các đỉnh của lục giác và cùng phương với $\overrightarrow{OB}$ là: $BE$, $FA$, $CD$. Các vectơ khác $\vec{0}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác, cùng phương với $\overrightarrow{OB}$ là: $\overrightarrow{BE},\overrightarrow{EB},\overrightarrow{FA},\overrightarrow{AF},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{DC}$ — tổng cộng 6 vectơ. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{a}-\vec{b}=(2-(-3);7-5)=(5;2)$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vectơ cùng hướng và đều khác $\vec{0}$ thì góc giữa chúng bằng $0^{\circ }$. Do đó $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 0^{\circ }=|\vec{a}||\vec{b}|$. Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha$. Vì $\vec{a}.\vec{b}=-|\vec{a}||\vec{b}|$ nên $\cos \alpha =-1$, suy ra $\alpha =180^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \alpha =3\cdot 2\cdot \cos \alpha =6\cos \alpha$. Vì $\vec{a}.\vec{b}=-3$ nên $\cos \alpha =-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}$. Với $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$, ta được $\alpha =120^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức tích vô hướng: $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-3}{3\cdot 2}=-\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ nên $\alpha =120^{\circ }$. Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 5 đỉnh của ngũ giác ABCDE, mỗi vectơ được xác định bởi một cặp đỉnh có thứ tự (điểm đầu, điểm cuối) với hai đỉnh phân biệt. Số cách chọn điểm đầu là 5, sau đó chọn điểm cuối là 4 (khác điểm đầu), nên số vectơ khác vectơ 0 là $5\times 4=20$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23a: Tam giác $ABC$ đều cạnh $2a$ nên $AB=2a$, do đó $\left|\overrightarrow{AB}\right|=2a$ → C đúng. A sai vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ khác hướng; B sai vì vectơ không bằng số vô hướng; D sai vì vô hướng khác vectơ.

Câu 23b: Trong tam giác đều $ABC$, đường cao $AH$ cũng là trung tuyến nên $H$ là trung điểm $BC$, suy ra $HC=\frac{BC}{2}=\frac{AC}{2}$, tức $\left|\overrightarrow{AC}\right|=2\left|\overrightarrow{HC}\right|$ → B đúng. A sai vì $\overrightarrow{HB}$ và $\overrightarrow{HC}$ ngược hướng; C sai vì $\left|\overrightarrow{AH}\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}AC=\sqrt{3}\left|\overrightarrow{HC}\right|$; D sai vì hai vectơ khác hướng.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\vec{u}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với hình bình hành $ABCD$ tâm $O$:
- A: $\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{CA}$ đúng theo quy tắc hình bình hành tại đỉnh $C$.
- B: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$ (vì $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$), nên đúng.
- C: $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{CB}$, còn $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Vì $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}$ nên hai vế đối nhau, khẳng định C sai.
- D: $\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DC}=\vec{0}$, đúng.
Vậy khẳng định sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ nằm trên trung tuyến $AM$ và thỏa mãn $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ (tính chất trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số $2:1$, tức $AG=\frac{2}{3}AM$ với cùng chiều từ $A$ đến $M$). Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$, đáp án C.