Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Vectơ phẳng, tích vô hướng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$. Mặt khác $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$, suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\vec{0}$; vì $N$ là trung điểm $CD$ nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\vec{0}$. Ta có $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CN}$ và $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DN}$. Cộng hai đẳng thức: $2\overrightarrow{MN}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB})+(\overrightarrow{CN}+\overrightarrow{DN})+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}$. Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})$. Kiểm tra bằng tọa độ: $A=0,B=2,C=3,D=5$ thì $M=1,N=4$, $\overrightarrow{MN}=3$; còn $\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(3+3)=3$ khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\vec{a}=m\vec{b}$ và $\vec{a},\vec{b}$ ngược hướng nên $m<0$. Lấy độ dài hai vế: $\left|\vec{a}\right|=|m|\left|\vec{b}\right|$, suy ra $|m|=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. Kết hợp $m<0$ ta được $m=-\frac{1}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AK=\frac{2}{3}KB$ nên $AK:KB=2:3$, suy ra $AB=AK+KB=\frac{5}{2}AK$ hay $2\overrightarrow{AB}=5\overrightarrow{AK}$ (B đúng). Ta có $\overrightarrow{KA}=-\frac{2}{5}\overrightarrow{AB}$ (C đúng). Với A: $\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ ngược hướng, độ dài tỉ lệ $2:3$ nên $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\vec{0}$ (A đúng). D sai vì $\overrightarrow{KA}$ ngược hướng với $\overrightarrow{KB}$, đúng phải là $\overrightarrow{KA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{KB}$. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, thứ tự các điểm là I, A, ..., B trên cùng một đường thẳng, với A nằm giữa I và B và IA : AB = 1 : 3 (đoạn IA bằng 1 khoảng, đoạn AB bằng 3 khoảng bằng nhau). Khi đó $\overrightarrow{AI}$ có độ dài bằng 1 đơn vị, hướng từ A về I (trái), còn $\overrightarrow{AB}$ có độ dài 3 đơn vị, hướng từ A tới B (phải), tức $\overrightarrow{AB}=-3\overrightarrow{AI}$. Suy ra $3\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}=\vec{0}$, đúng với đáp án A. Kiểm tra các phương án khác: B sai vì $\overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ cùng hướng nên tổng không thể bằng $\vec{0}$; C đòi hỏi $\overrightarrow{BA}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{BI}$ tức A gần B hơn, trái hình vẽ; D đòi hỏi $\overrightarrow{AB}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AI}$, cũng trái hình vẽ.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$, theo quy tắc hình bình hành: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$. Độ dài đường chéo hình vuông cạnh $a$ là $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $C^{\prime }$ là trung điểm của $AB$. Khi đó $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{M{C}^{\prime }}$. Đẳng thức $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$ trở thành $2\overrightarrow{M{C}^{\prime }}+2\overrightarrow{MC}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{M{C}^{\prime }}=-\overrightarrow{MC}$, tức $M$ là trung điểm của $C{C}^{\prime }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vật đứng yên nên tổng ba lực bằng vec-tơ không: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\vec{0}$, suy ra $\overrightarrow{F_3}=-(\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2})$. Vì tam giác MAB vuông tại M nên $\overrightarrow{MA}\perp \overrightarrow{MB}$, do đó $|\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}|=\sqrt{|\overrightarrow{F_1}{|}^2+|\overrightarrow{F_2}{|}^2}=\sqrt{50^2+50^2}=50\sqrt{2}$ (N). Vậy cường độ lực $F_3=50\sqrt{2}$ N, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt cạnh hình vuông $ABCD$ bằng $a$, chọn tọa độ $A(0;0),B(a;0),C(a;a)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(a;a)$, $\overrightarrow{BA}=(-a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BA}=-a^2$. Độ dài: $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$, $|\overrightarrow{BA}|=a$. Vậy $\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BA}\right)=\frac{-a^2}{a\sqrt{2}\cdot a}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Về mặt hình học: góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB}$ là $45^{\circ }$ (góc giữa đường chéo và cạnh hình vuông), vì $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$ nên góc giữa $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$ là $135^{\circ }$, suy ra $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto $\vec{a},\vec{b}$ cùng hướng và đều khác $\vec{0}$ nên góc giữa chúng bằng $0^{\circ }$. Do đó $\vec{a}.\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 0^{\circ }=|\vec{a}||\vec{b}|$. Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \alpha =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-3}{3\cdot 2}=-\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }\le \alpha \le 180^{\circ }$ nên $\alpha =120^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ nên $\widehat{BAC}=60^{\circ }$ và $AB=AC=a$. Khi đó $$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|\cdot \left|\overrightarrow{AC}\right|\cos 60^{\circ }=a\cdot a\cdot \frac{1}{2}=\frac{a^2}{2}.$$ Vậy chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$, góc ngoài tại đỉnh $B$ giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ bằng $120^{\circ }$ (vì góc trong $\widehat{ABC}=60^{\circ }$). Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=|AB|\cdot |BC|\cos 120^{\circ }=a\cdot a\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{a^2}{2}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ cạnh $a$, ta có $|\overrightarrow{AB}|=a$, $|\overrightarrow{AC}|=a\sqrt{2}$ (đường chéo), và góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ bằng $45^{\circ }$. Do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=a\cdot a\sqrt{2}\cdot \cos 45^{\circ }=a^2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=a^2$. Vậy đáp án A đúng. (Cách khác: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$, nên $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}={\overrightarrow{AB}}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=a^2+0=a^2$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tính độ dài: $|\vec{u}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$; $|\vec{v}|=\sqrt{1^2+(-1{)}^2}=\sqrt{2}$; $|\vec{c}|=\sqrt{4+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{17}}{2}$; $|\vec{d}|=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$. Vậy chỉ có vecto $\vec{d}$ có độ dài bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Tích vô hướng: $\vec{u}\cdot \vec{v}=1\cdot (-2)+1\cdot 0=-2$. Độ dài: $|\vec{u}|=\sqrt{2}$, $|\vec{v}|=2$. Vậy $\cos (\vec{u},\vec{v})=\frac{-2}{\sqrt{2}\cdot 2}=\frac{-1}{\sqrt{2}}$, suy ra góc giữa hai vecto là $135^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto vuông góc khi tích vô hướng bằng 0. A: 2·4+3·6=26≠0. B: 1·(-1)+(-1)·1=-2≠0 (thực tế hai vecto này đối nhau). C: a·(-b)+b·a=-ab+ab=0, luôn vuông góc. D: 1·2+1·0=2≠0. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Hai vecto $\vec{a}=(4;-2)$ và $\vec{b}=(m;1)$ cùng phương khi và chỉ khi định thức $4\cdot 1-(-2)\cdot m=0$, tức $4+2m=0\Rightarrow m=-2$. Vậy chọn đáp án B.