Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Câu 4. Một công viên hình tam giác $ABC$ vuông tại $A$, biết $AB=40\text{ m}$, $AC=20\text{ m}$ và cạnh $BC$ tiếp giáp với đường nội đô. Trong công viên, người ta xây dựng một vườn hoa được giới hạn bởi đường parabol và hai cạnh $AB,AC$ của công viên, biết parabol có đỉnh là trung điểm của $AB$ và đi qua trung điểm của $AC$ (như hình vẽ).



Người ta muốn mở một con đường nhỏ rẽ từ đường nội đô đến vườn hoa, phục vụ cho việc chăm sóc hoa. Để tiết kiệm chi phí, người ta muốn mở con đường nói trên có chiều dài ngắn nhất. Hãy tính chiều dài con đường ngắn nhất đó (đơn vị mét, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một công ty quảng cáo $X$ muốn làm bức tranh trang trí hình $MNEIF$ ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật $ABCD$ có chiều cao $BC=6\text{ m}$, chiều dài $CD=12\text{ m}$ (hình vẽ bên dưới). Cho biết $MNEF$ là hình chữ nhật có $MN=4\text{ m}$, cung $EIF$ có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh $I$ là trung điểm của cạnh $AB$ và đi qua $2$ điểm $C,D$. Kinh phí làm bức tranh là $600000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$.

Hỏi công ty $X$ cần bao nhiêu triệu đồng để làm bức tranh đó? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 7. Chậu nước có chiều cao $2\text{ m}$; thiết diện qua trục cho ta hình ảnh hai parabol đối xứng nhau qua trục chậu nước, hai đỉnh parabol này cách nhau $1\text{ m}$. Hai đường tròn đáy và miệng chậu nước đều có bán kính $1\text{ m}$. Mực nước ban đầu trong chậu cao $0,2\text{ m}$. Dựng một hệ trục tọa độ $Oxy$ sao cho gốc tọa độ trùng với tâm của đường tròn đáy, tia $Ox$ đi qua tâm của miệng chậu nước. Gọi parabol $(P)$ là một đường sinh của chậu nước.

Ông An muốn làm một cái cổng hình Parabol như hình vẽ bên dưới. Chiều cao $GH=4\text{ m}$, chiều rộng $AB=4\text{ m}$, $AC=BD=0,9\text{ m}$. Ông An làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật $CDEF$ tô đậm có giá là $1200000$ đồng/m${}^2$, còn các phần để trắng làm xiên hoa có giá là $900000$ đồng/m${}^2$. Hỏi để làm hai phần nói trên ông An phải trả bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng phần mười)?

Một gia đình muốn làm cái cổng (như hình vẽ).

Phần phía trên cổng có hình dạng là một parabol với $IH=1,2\text{ m}$, phần phía dưới là một hình chữ nhật có kích thước $AD=2\text{ m}$, $CD=3\text{ m}$. Giả sử giá để làm phần cổng được tô màu (phần hình chữ nhật $ABCD$) là $1200000$ đ/m${}^2$ và giá để làm phần cổng phía trên là $1500000$ đ/m${}^2$. Tính số tiền gia đình đó phải trả là bao nhiêu triệu đồng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, một đơn vị dài trên các trục tương ứng với $10$ mét trên thực tế. Trên một khu đất bằng phẳng (mặt phẳng $(Oxy)$), có hai trạm phát tín hiệu định vị đặt cố định tại $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Một thiết bị dò tìm $M$ di chuyển trên mặt đất, có bộ thu tín hiệu từ cả hai trạm; theo đó thiết bị chỉ hoạt động ổn định tại các vị trí sao cho tổng khoảng cách từ $M$ đến hai trạm $A,B$ luôn bằng $10$ đơn vị (tương ứng $100$ mét trên thực tế). Tại vị trí $C(0;5;4)$ có đặt một trạm chỉ huy. Khoảng cách ngắn nhất từ thiết bị $M$ đến trạm chỉ huy $C$ bằng bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần mười).