Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Cho mặt trụ $(T)$ có bán kính bằng $R=10$. Mặt phẳng $(P)$ tạo với trục của $(T)$ một góc $45^{\circ }$. Biết thiết diện tạo bởi $(P)$ và $(T)$ là một elíp $(E)$ có độ dài trục bé bằng hai lần bán kính của mặt trụ $(T)$. Diện tích của hình elíp giới hạn bởi $(E)$ là

Câu 11. Quỹ đạo của sao hỏa là elip có bán trục lớn $227,9$ triệu $\text{km}$, bán trục nhỏ bằng $226,9$ triệu $\text{km}$ và quay quanh mặt trời một vòng hết $687$ ngày. Khoảng cách xa nhất giữa sao hỏa và mặt trời gần số nào sau đây nhất?

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hypebol $(H):\frac{x^2}{7}-\frac{y^2}{9}=1$. Hypebol có tiêu cự bằng

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hypebol $(H):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.

Cho Parabol $(P):y^2=2px$ ($p>0$) đi qua điểm $M(1;2)$. Giá trị của $p$ bằng?

Xét tất cả các số phức $z$ thay đổi nhưng luôn thoả mãn $|z+4|+|z-4|=10$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|(1+i)z-4+4i|$ bằng:

Câu 4. Một mặt bàn bằng kính có hình dạng như hình 1. Để tạo ra mặt bàn đó, người ta dùng một tấm kính hình tam giác đều $ABC$ có cạnh bằng $14\text{ (dm)}$ và tại mỗi góc trong tam giác cắt tấm kính theo các đường parabol như nhau. Xét tại đỉnh $A$, parabol có đỉnh $M$ thuộc đường trung tuyến $AH$, tiếp xúc với hai cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $N,P$ sao cho $AM=\sqrt{3}\text{ dm},AN=AP=4\text{ dm}$ (Hình 2).



Diện tích mặt bàn thu được là một số có dạng $a\sqrt{b}{\text{ (dm}}^2\text{)}$ (với $a,b\in \mathbb{N}$ và $b$ không có ước chính phương khác $1$). Tính tổng $a+b$.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\text{ cm}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

Câu 6. Lô gô gắn tại các Showroom của hãng ô tô VINFAST là một hình tròn. Phần tô đậm (nằm giữa parabol đỉnh $I$ và đường gấp khúc $AJB$) được dát bạc với chi phí $10{\text{ triệu đoˆˋng/m}}^2$. Phần còn lại của hình tròn được phủ sơn với chi phí $2{\text{ triệu đoˆˋng/m}}^2$. Biết $AB=2\text{ m}$, $IA=IB=\sqrt{5}\text{ m}$ và $JA=JB=\frac{\sqrt{13}}{2}\text{ m}$. Tính tổng số tiền (đơn vị: triệu đồng) để dát bạc và phủ sơn toàn bộ lô gô nói trên (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Một hoa văn trang trí được thiết kế gồm hai đường tròn đồng tâm và bốn phần của bốn đường parabol chung đỉnh (đỉnh là tâm của hai đường tròn). Biết rằng hai đường tròn đó có bán kính lần lượt là $20\text{ cm}$ và $16\text{ cm}$; bốn đường parabol đó đôi một cắt nhau tại bốn điểm (khác đỉnh của parabol) là bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ (như hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (kết quả được tính theo ${\text{cm}}^2$ và làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 12. Biết $A,B$ là hai điểm di động trên Parabol $(P):f(x)=-x^2+2x+2$ và đường thẳng $\Delta :y=2x+6$ (tham khảo hình bên). Độ dài $AB$ nhỏ nhất bằng

Trang trí một sân hình chữ nhật kích thước $28\text{ m}\times 16\text{ m}$, trong đó hai Parabol $(P_1)$ đối xứng với $(P_2)$ qua đường thẳng đi qua hai trung điểm của chiều dài sân (hình vẽ), khoảng cách giữa hai đỉnh Parabol bằng $4\text{ m}$. Chi phí trang trí cho phần hoa văn là $180$ ngàn đồng trên một mét vuông, phần trắng là $160$ ngàn đồng trên một mét vuông. Tổng chi phí trang trí cho sân là bao nhiêu **triệu đồng**? *(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)*

Năm 2025 đánh dấu 80 năm Ngày Quốc khánh 2/9/1945 – 2/9/2025, ngày Bác Hồ đọc Tuyên ngôn Độc lập, khai sinh ra nước Việt Nam Dân chủ Cộng hòa. Trên lá cờ đỏ thiêng liêng tung bay hôm ấy, là ngôi sao vàng năm cánh – biểu tượng của tinh thần đoàn kết và sức mạnh dân tộc. Nhân dịp đặc biệt này, một nhóm học sinh đã lên ý tưởng thiết kế logo cho sự kiện kỷ niệm Ngày Quốc khánh là một ngôi sao vàng cách điệu, nội tiếp đường tròn. Biết năm cánh của ngôi sao được tạo bởi các đường Parabol, các đỉnh của ngôi sao tạo thành hình ngũ giác đều nội tiếp đường tròn $(C)$ bán kính $5\text{ cm}$, mỗi đỉnh Parabol cách tâm đường tròn $(C)$ một khoảng bằng $2\text{ cm}$. Để hoàn thiện bản thiết kế, các bạn ấy muốn tính diện tích phần ngôi sao, nhằm cân đối bố cục và tính lượng sơn cần dùng. Diện tích phần ngôi sao xấp xỉ bao nhiêu ${\text{cm}}^2$? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Một cái ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ở giữa ao có một mảnh vườn hình tròn bán kính 12m, người ta muốn bắc một cây cầu từ bờ AB của ao đến vườn. Hỏi độ dài ngắn nhất $l$ (đơn vị mét) của cây cầu là bao nhiêu (làm tròn đến chữ số hàng phần chục), biết:
- Hai bờ AE và BC nằm trên hai đường thẳng vuông góc với nhau, hai đường thẳng này cắt nhau tại điểm $O$;
- Bờ AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm $A$ và có trục đối xứng là đường thẳng $OA$;
- Độ dài đoạn $OA$ và $OB$ lần lượt là 40m và 20m;
- Tâm $I$ của mảnh vườn cách đường thẳng AE và BC lần lượt là 40m và 30m.

Một cổng của một tòa nhà có dạng parabol gồm hai phần: phần hai cánh cửa hình chữ nhật $CDEF$, còn lại là phần xiên hoa trang trí (hình bên). Biết rằng $GH=16\text{ m}$, $AB=8\text{ m}$ và $AC=BD=1,7\text{ m}$. Diện tích phần cổng làm xiên hoa trang trí bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)?

Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là $AB=8$ m. Người ra treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh $M,N$ nằm trên Parabol và hai đỉnh $P,Q$ nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí hoa, biết $MN=4$ m, $MQ=6$ m. Diện tích phần phía ngoài phông để trang trí hoa (phần không tô đen) là bao nhiêu mét vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Câu 10. Trên hệ trục tọa độ $Oxy$, cho hypebol $(H)$ có dạng như hình vẽ bên và độ dài trục thực bằng $16$. Điểm $N(-10;y_N)\in (H)$, giá trị $F_{1}N-F_{2}N$ bằng

Câu 6. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho parabol $(P):y=-x^2-2$ và đường tròn $(C):(x+4{)}^2+y^2=4$. Một chất điểm xuất phát từ một điểm bất kì thuộc $(P)$ di chuyển đến đường thẳng $(d):y=x$, tiếp tục di chuyển trên đường thẳng $(d)$ một đoạn bằng $1$ sau đó di chuyển đến một điểm thuộc đường tròn $(C)$. Tính quãng đường ngắn nhất mà chất điểm hoàn thành chặng đường trên? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Câu 2. Một mô hình $(H)$ cao $1\text{ m}$ có dạng hình "chóp lục giác cong đều" như hình vẽ bên dưới. Hai đáy của $(H)$ là hai hình lục giác đều bằng nhau, có tâm $I$ và $I^{\prime }$, cạnh bằng $3\text{ dm}$. Các cạnh bên của $(H)$ là các sợi dây thép $C_1,C_2,C_3,C_4,C_5,C_6$ nằm trên các đường hypebol có trục đối xứng $I{I}^{\prime }$. Biết hình tạo bởi các đoạn giao tuyến của $(H)$ với mặt phẳng $(\alpha )$ vuông góc với $I{I}^{\prime }$ là một lục giác đều. Khi mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua trung điểm của $I{I}^{\prime }$ thì lục giác đều có cạnh $l=2\text{ dm}$.

Câu 13. Một đám đất trong công viên hình vuông có cạnh $4\text{ m}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm đám đất để tạo ra hình bông hoa gồm bốn cánh (được tô màu như hình vẽ bên) với mục đích để trồng cỏ trang trí cho công viên. Hỏi diện tích phần đất có dạng hình bông hoa là bao nhiêu mét vuông?