Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Ba đường conic cơ bản (Toán học Lớp 10)

Xét 2 số phức $z_1,z_2$ thỏa mãn $|z+3|+|z-3|=10$ và $|z_1^2|+|z_2^2|=|z_1-z_2{|}^2$. Giá trị nhỏ nhất của $|z_1+z_2|$ bằng

Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z-1-2i|=2$ và $|\bar{z}+4|+|z-4|=10$?

Trung tâm Bồi dưỡng Văn hóa xây dựng một khuôn viên có hình dạng là một Elip có độ dài trục lớn là $10\text{ m}$ và độ dài trục bé là $8\text{ m}$. Để tăng tính thẩm mỹ, khi thực hiện đã chia khuôn viên thành hai phần bằng một đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$, phần gạch chéo dùng để trồng hoa và phần còn lại dùng để trồng cỏ. Biết đồ thị hàm số bậc ba $y=f(x)$ có tâm đối xứng trùng với tâm đối xứng của Elip và tiếp xúc với Elip lần lượt tại hai điểm $A,B$ (với $A,B$ là giao điểm của Elip với hai đường thẳng đi qua tiêu điểm của Elip, đồng thời song song với trục bé) như hình vẽ.
[IMAGE:img_q22_ellipse]

Cho biết chi phí trồng hoa $1{\text{ m}}^2$ là $150$ nghìn đồng, trồng cỏ $1{\text{ m}}^2$ là $100$ nghìn đồng. Tính tổng chi phí để hoàn thành công trình trên bằng bao nhiêu nghìn đồng? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z + 4 + z - 4 = 8 trên mặt phẳng phức là:

Một công viên nhỏ trong một khu dân cư có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là $40\text{ m}$ và chiều dài là $60\text{ m}$. Ban quản lý lát gạch phần đất dạng parabol và hình tròn bán kính $10\text{ m}$ như hình vẽ. Phần còn lại sẽ trồng cỏ và cây xanh. Ban quản lý dự định làm một đoạn đường nhỏ nối hai phần lát gạch. Biết $AB=20\text{ m},OH=30\text{ m}$, hỏi chiều dài ngắn nhất của đoạn đường đó là bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng phần chục)?

Hình vẽ dưới đây mô tả một cây cầu vượt có mặt cắt đứng là một phần parabol nối hai điểm $A,B$ và nhận đường trung trực của đoạn $AB$ làm trục đối xứng, $AB=400\text{ m}$. Khoảng cách từ đỉnh cây cầu đến $AB$ bằng $8\text{ m}$. Xét tiếp tuyến $d$ tại điểm $M$ trên mặt cầu, người ta quy ước $\tan (\Delta ,d)$ là độ dốc tại $M$ của mặt cầu, với $\Delta$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A,B$. Độ dốc lớn nhất của mặt cầu là bao nhiêu?

Một cái cổng có kích thước như hình dưới. Vòm cổng có dạng một Parabol. Tính diện tích hai cánh cửa cổng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Một cái cổng có kích thước như hình dưới. Vòm cổng có dạng một Parabol. Tính diện tích hai cánh cửa cổng (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
[IMAGE_1]

Tháp giải nhiệt tại nhà máy Nhiệt điện Phả Lại (Tỉnh Hải Dương, Việt Nam) có mặt cắt qua trục theo phương thẳng đứng là một hình hypebol $(H)$. Tháp có chiều cao là $120\text{ m}$, bán kính đáy dưới bằng $40\text{ m}$. Một nhóm kỹ sư đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Ox,Oy$ làm các trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết rằng đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30\text{ m}$ và gốc $O$ ở vị trí có độ cao $80\text{ m}$ so với mặt đất.

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ (quy ước đơn vị đo trên các trục là kilômét) một vệ tinh viễn thông $M$ di chuyển trên quỹ đạo là một đường Elip nằm trong mặt phẳng $(Oxy)$. Quỹ đạo này nhận hai trạm phát tín hiệu tại mặt đất làm tiêu điểm là $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$. Trong suốt quá trình vận hành, vệ tinh luôn duy trì tổng khoảng cách từ nó đến hai trạm phát $A$ và $B$ cố định bằng $10\text{ km}$. Một máy thu dữ liệu được đặt tại đỉnh của một tháp điều khiển có tọa độ $C(0;0;4)$. Tính khoảng cách ngắn nhất từ máy thu $C$ đến vệ tinh $M$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $C(0;6;1)$ và đường thẳng $\Delta$ song song với trục $Oz$. Một điểm $M$ di động trên $\Delta$ sao cho $0\le z_M\le 10$. Biết rằng tổng khoảng cách từ hai điểm $A(3;0;0)$ và $B(-3;0;0)$ đến $\Delta$ bằng $2\sqrt{34}$. Khi khoảng cách $MC$ ngắn nhất, điểm $M$ trùng với $M_0(x_0;y_0;z_0)$. Tính $S=x_0+20y_0+11z_0$.

Câu 5. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. Tiêu cự của elip đó là

Tháp giải nhiệt tại nhà máy Nhiệt điện Phả Lại (Tỉnh Hải Phòng, Việt Nam) có mặt cắt qua trục theo phương thẳng đứng có hình dạng là một phần của hypebol $(H)$. Tháp có chiều cao $120$ mét, hai đáy dạng hình tròn nằm trong hai mặt phẳng song song với nhau; bán kính đáy dưới bằng $40$ mét.

Một nhóm kỹ sư đã thiết lập hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ sao cho mặt cắt dạng hypebol của tháp nhận $Ox,Oy$ làm các trục đối xứng; lấy đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết rằng đoạn giao nhau giữa trục $Ox$ với tháp bằng $30$ mét và gốc $O$ ở vị trí cao độ $80$ mét so với mặt đất (đáy dưới của tháp).

Người ta bơm nước vào một cái thùng nhựa đựng nước như hình 1 với hai đáy là hai đường tròn có bán kính $30\text{ cm},15\text{ cm}$, chiều cao thùng là $30\text{ cm}$. Mặt phẳng cắt đi qua trục của chậu nước chứa đường kính bất kỳ hai đáy có thiết diện như hình 2 với phần đường cong là một parabol. Biết vận tốc bơm nước vào thùng là $20\text{ lıˊt/phuˊt}$. Tính vận tốc nước dâng ở bề mặt cong của thùng nhựa khi độ cao mực nước là $10\text{ cm}$? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Trong mặt phẳng, xét hình vẽ sau:
- Hình vuông $ABCD$ có độ dài cạnh bằng $36$ với $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$.
- Hai điểm $E,F$ lần lượt thuộc hai cạnh $AD$ và $BC$ sao cho $\frac{AE}{AD}=\frac{BF}{BC}=\frac{1}{9}$.
- Parabol $(P)$ đi qua ba điểm $E,I,F$.
- Lấy điểm $X$ thuộc tia đối của tia $JI$ ($X$ có thể trùng với $J$).
- Đường thẳng $XD$ và $XC$ lần lượt cắt parabol $(P)$ tại $Y$ và $Z$.

Diện tích hình phẳng gạch chéo trong hình trên có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

Trong mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$, cho elip $(E)$ có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$. Tiêu cự của elip $(E)$ bằng

Câu 3: Khi dạo chơi trên một công viên bạn Đoàn di chuyển trên đường Parabol, bạn Kết di chuyển trên đường tròn (minh họa bằng hình vẽ bên). Khoảng cách giữa đỉnh $A$ của Parabol và tiếp điểm $B$ của đường tròn là $16\text{ m}$; $HK\perp AB$ và $AH=6\text{ m},HK=9\text{ m}$. Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa hai bạn Đoàn và Kết, biết rằng đường tròn có bán kính bằng $3\text{ m}$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 1: Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên dưới) có dạng hình tròn đường kính $AB$ bằng $12\text{ m}$. Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường parabol đối xứng nhau qua $AB$, nằm trong hình tròn, đi qua các điểm $A,B$ và có đỉnh cách mép hình tròn $1\text{ m}$. Phần giới hạn bởi $2$ parabol được trồng hoa với chi phí $300$ nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí $900$ nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 4. Anh Nghĩa có một khu đất hình thang vuông $ABCD$ với $AB=100\text{ (m)}$, $DC=60\text{ (m)}$ và $AD=40\text{ (m)}$. Anh ấy đã đào một cái hồ để nuôi cá, hồ được bao bởi cạnh $AB$ và một phần của đường cong $(\mathcal{H})$, biết rằng $(\mathcal{H})$ chứa các điểm $K$ sao cho tích khoảng cách từ $K$ đến $AD$ và $BC$ luôn bằng $600\sqrt{2}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Anh Nghĩa xây thêm một nhà kho để chứa thức ăn cho cá được tạo bởi cạnh $AD,DC$ và đường cong Parabol $(P)$ có đỉnh $A$, biết rằng phần đất để xây nhà kho có diện tích $S=\frac{1600}{3}{\text{ (m}}^2\text{)}$. Anh Nghĩa suy nghĩ và muốn xây một con đường thẳng đi từ nhà kho đến ao cá để vận chuyển thức ăn cho cá. Hãy tính độ dài con đường ngắn nhất? (Đơn vị: mét, làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong tất cả các số phức $z$ thỏa mãn $|z+2|=\left|\frac{z+\bar{z}}{2}+4\right|$, gọi số phức $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) là số phức có môđun nhỏ nhất. Tính $S=a+b^2$.