Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp vào bất phương trình $2x+y<3$: A. $(1;0)$: $2\cdot 1+0=2<3$ thỏa mãn. B. $(1;1)$: $2+1=3$, không thỏa vì $3<3$ sai. C. $(1;2)$: $2+2=4\ge 3$, không thỏa. D. $(0;3)$: $0+3=3$, không thỏa. Vậy chỉ có $(1;0)$ là nghiệm, đáp án A, khớp với bảng đáp án nguồn (Câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ gồm các bất phương trình bậc nhất (ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất) đối với cùng hai ẩn. Xét từng phương án: A) có $x^2+y>1$ chứa $x^2$ nên không phải bậc nhất. B) có $xy>1$ chứa tích $xy$ (bậc hai) và $x+y=2$ là phương trình, không phải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. C) hệ chứa ba ẩn $x,y,z$ (do $x+z\ge 0$) nên không phải hệ hai ẩn. D) cả hai bất phương trình $x+y>1$ và $2x-y\le 4$ đều bậc nhất với hai ẩn $x,y$, thỏa mãn định nghĩa. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (Câu 12: D).

a) sai. b) đúng. c) sai. d) sai. Lưu ý (đối chiếu với đề in): đề in "hệ phương trình bậc nhất hai ẩn" nhưng đây là một hệ bất phương trình. Miền nghiệm là tứ giác có các đỉnh $(2,5;9)$, $(5;4)$, $(10;2)$, $(10;9)$ (không phải tam giác) và có diện tích 36,25 (đvdt).

Vì $x$, $y$ là các số nguyên không âm và $x+y\le 3$ nên $x\in \{0;1;2;3\}$:
• $x=0\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$ (4 điểm);
• $x=1\Rightarrow y\in \{0;1;2\}$ (3 điểm);
• $x=2\Rightarrow y\in \{0;1\}$ (2 điểm);
• $x=3\Rightarrow y=0$ (1 điểm).
Tổng số điểm là $4+3+2+1=10$.
Đáp số: 10.

- Bước 1. Vẽ đường thẳng $d:x+y-2=0$ đi qua hai điểm $A(2;0)$ và $B(0;2)$.
- Bước 2. Lấy gốc tọa độ $O(0;0)\notin d$, thay vào bất phương trình: $0+0-2=-2\le 0$ (đúng). Suy ra $O$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình.
- Bước 3 (kết luận). Miền nghiệm của bất phương trình $x+y-2\le 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ (kể cả bờ $d$) chứa gốc tọa độ $O$ (gạch bỏ nửa mặt phẳng không chứa $O$).

a) Chi phí thuê $x$ xe loại $A$ là $4x$ (triệu đồng), thuê $y$ xe loại $B$ là $3y$ (triệu đồng). Tổng chi phí là $T=4x+3y$ (triệu đồng). Đúng.
b) Số người chở được là $20x+10y$, số tấn hàng chở được là $0,6x+1,5y$. Theo đề cần chở ít nhất 140 người và ít nhất 9 tấn hàng nên hệ đúng là $$\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}$$ Hệ (*) dùng dấu "<" nên sai. Sai.
c) Tứ giác $ABCD$ là miền nghiệm của hệ đúng ở ý B, với $A(10;2)$, $B(10;9)$, $C\left(\frac{5}{2};9\right)$, $D(5;4)$. Điểm $B(10;9)$ thuộc tứ giác nhưng $20\cdot 10+10\cdot 9=290$ không nhỏ hơn 140. Do đó tứ giác $ABCD$ không phải miền nghiệm của hệ (*). Sai.
d) $T=4x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$: $$T(10;2)=46;T(10;9)=67;T\left(\frac{5}{2};9\right)=37;T(5;4)=32.$$ Giá trị nhỏ nhất là 32, đạt tại $x=5$, $y=4$ (thỏa mãn $x,y\in \mathbb{N}$). Vậy chi phí vận chuyển thấp nhất là 32 triệu đồng. Đúng.
a) Chi phí thuê $x$ xe loại $A$ là $4x$ (triệu đồng), thuê $y$ xe loại $B$ là $3y$ (triệu đồng). Tổng chi phí là $T=4x+3y$ (triệu đồng). Đúng.
b) Số người chở được là $20x+10y$, số tấn hàng chở được là $0,6x+1,5y$. Theo đề cần chở ít nhất 140 người và ít nhất 9 tấn hàng nên hệ đúng là $$\{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 20x+10y\ge 140\\ 0,6x+1,5y\ge 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0\le x\le 10\\ 0\le y\le 9\\ 2x+y\ge 14\\ 2x+5y\ge 30\end{array}$$ Hệ (*) dùng dấu "<" nên sai. Sai.
c) Tứ giác $ABCD$ là miền nghiệm của hệ đúng ở ý B, với $A(10;2)$, $B(10;9)$, $C\left(\frac{5}{2};9\right)$, $D(5;4)$.
Điểm $B(10;9)$ thuộc tứ giác nhưng $20\cdot 10+10\cdot 9=290$ không nhỏ hơn 140.
Do đó tứ giác $ABCD$ không phải miền nghiệm của hệ (*). Sai.
d) $T=4x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác $ABCD$:
$$T(10;2)=46;T(10;9)=67;T\left(\frac{5}{2};9\right)=37;T(5;4)=32.$$
Giá trị nhỏ nhất là 32, đạt tại $x=5$, $y=4$ (thỏa mãn $x,y\in \mathbb{N}$).
Vậy chi phí vận chuyển thấp nhất là 32 triệu đồng. Đúng.

Miền nghiệm của hệ là ngũ giác có các đỉnh $O(0;0)$, $(1;0)$, $(4;3)$, $(2;4)$, $(0;4)$.
(Đỉnh $(4;3)$ là giao điểm của hai đường thẳng $x-y-1=0$ và $x+2y-10=0$; đỉnh $(2;4)$ là giao điểm của hai đường thẳng $y=4$ và $x+2y-10=0$.)
$$F(0;0)=0;F(1;0)=1;F(4;3)=10;F(2;4)=10;F(0;4)=8.$$
Vậy giá trị lớn nhất của $F(x;y)$ là 10.
Đáp án: 10.

Hệ B có $x^2$, hệ C có ba ẩn $x,y,z$, hệ D có $\sqrt{x}$ nên không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Hệ A thỏa mãn. Chọn A.

Thay $x=-3$, $y=5$:
A. $-3+5=2>1$ (đúng).
B. $-3+15-15=-3<0$ (đúng).
C. $-3-5-1=-9<0$ (đúng).
D. $-3+5-3=-1>0$ (sai).
Vậy $(-3;5)$ không là nghiệm của bất phương trình $x+y-3>0$. Chọn D.

Bất phương trình $x+4y\le z$ có ba ẩn $x,y,z$ nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x,y$. Chọn B.

Đường thẳng đi qua hai điểm $\left(\frac{3}{2};0\right)$ và $(0;-3)$ có phương trình $2x-y=3$.
Điểm $O(0;0)$ thuộc phần không bị tô đậm và $2\cdot 0-0=0<3$.
Phần không bị tô đậm (không kể bờ) là miền nghiệm của bất phương trình $2x-y<3$. Chọn C.

Thay $(-2;2)$ vào hệ: $-2+2\cdot 2=2<3$ và $3\cdot 2=6\ge 4$, cả hai đều đúng. Các cặp $(0;0)$, $(-1;1)$ không thỏa mãn $3y\ge 4$; cặp $(-3;3)$ có $-3+2\cdot 3=3$, không thỏa mãn $x+2y<3$.

Đường thẳng đi qua hai điểm $(0;1)$ và $(2;0)$ có phương trình $x+2y=2$. Điểm $O(0;0)$ thuộc miền không bị gạch và $0+2\cdot 0=0<2$; bờ không kể vào miền nghiệm. Vậy miền không bị gạch là miền nghiệm của bất phương trình $x+2y<2$.

a) Pha $x$ mê Trà sữa Truyền thống và $y$ mê Trà sữa Oolong cần $2x+3y$ lít cốt trà và $x+2y$ hộp sữa đặc.

Lượng nguyên liệu dùng không được vượt quá lượng dự trữ nên $2x+3y\le 24$ và $x+2y\le 14$.

Số mê trà sữa không âm nên $x\ge 0$, $y\ge 0$.

Vậy ta có hệ bất phương trình $$\{\begin{array}{l}2x+3y\le 24\\ x+2y\le 14\\ x\ge 0\\ y\ge 0\end{array}$$.

b) Tổng số tiền lãi (đơn vị: nghìn đồng) là $F=400x+700y$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ở câu a) trên mặt phẳng tọa độ, ta được miền tứ giác $OMNP$ (kể cả bờ) với $O(0;0)$, $M(12;0)$, $P(0;7)$ và $N$ là giao điểm của hai đường thẳng $2x+3y=24$, $x+2y=14$.

Giải hệ $\{\begin{array}{l}2x+3y=24\\ x+2y=14\end{array}$ được $x=6$, $y=4$, nên $N(6;4)$.

Ta có $F(0;0)=0$, $F(12;0)=4800$, $F(6;4)=400\cdot 6+700\cdot 4=5200$, $F(0;7)=4900$.

Giá trị lớn nhất của $F$ là 5200 khi $x=6$, $y=4$.

Vậy lớp cần pha chế 6 mê Trà sữa Truyền thống và 4 mê Trà sữa Oolong thì số tiền lãi nhiều nhất là 5200 nghìn đồng.

Hệ $\{\begin{array}{l}x-y<0\\ 2x\ge 1\end{array}$ gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Các hệ còn lại đều chứa $x^2$, $y^2$ hoặc $xy$.

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by>c$ (hoặc $<,\ge ,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Vậy $2x-y>1$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Theo đề bài, $x,y$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\{\begin{array}{l}2x+1,5y\le 900\\ 20x+5y\le 6000\iff 4x+y\le 1200\\ x\le y\le 2x,x\ge 0,y\ge 0\end{array}$. Hàm tiền lãi là $F(x,y)=350x+100y$ (nghìn đồng). Miền nghiệm có các đỉnh $(0;0)$, $(180;360)$, $(225;300)$, $(240;240)$. Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh: $F(180;360)=99000$, $F(225;300)=108750$, $F(240;240)=108000$. Vậy lãi cao nhất đạt tại $(x;y)=(225;300)$, suy ra $T=2\cdot 225+3\cdot 300=1350$.

Gọi $x,y$ ($x\ge 0,y\ge 0$) lần lượt là diện tích ($\text{ha}$) trồng bắp và trồng cà chua. Theo đề bài ta có hệ bất phương trình: $\{\begin{array}{l}x\ge 0,y\ge 0\\ x+y\le 6\\ 10x+20y\le 100\iff x+2y\le 10\end{array}$. Miền nghiệm là tứ giác lồi có các đỉnh $A(0;0)$, $B(0;5)$, $C(2;4)$, $D(6;0)$. Số tiền thu được là $F(x,y)=30x+50y$ (triệu đồng). Tính giá trị tại các đỉnh: $F(0;0)=0$, $F(0;5)=250$, $F(2;4)=260$, $F(6;0)=180$. Vậy số tiền nhiều nhất bác Hai thu được là $260$ triệu đồng.

Ta có: $2x-1\ge x\iff 2x-x\ge 1\iff x\ge 1$.
Vậy tập nghiệm là $[1;+\infty )$.

Bất phương trình tương đương: $a(x+1)>2$.
Vì $x\in (1;2)$ nên $x+1>0$, bất phương trình trở thành $a>\frac{2}{x+1}$.
Bất phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in (1;2)\iff a\ge {\max }_{[1;2]}\frac{2}{x+1}$.
Hàm số $g(x)=\frac{2}{x+1}$ nghịch biến, nên với $x\in (1;2)$ ta có $\frac{2}{x+1}<\frac{2}{1+1}=1$.
Do đó $a\ge 1$.
Vì $a$ nguyên trong khoảng $(-10;10)$ nên $a\in \{1;2;3;4;5;6;7;8;9\}$, có tất cả 9 giá trị.