Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Miền $0\le x\le 4$, $0\le y\le 5$ là hình chữ nhật với 4 đỉnh $(0,0),(4,0),(4,5),(0,5)$. Bất phương trình $x+y-3\ge 0$ (tức $x+y\ge 3$) loại góc $(0,0)$: đường thẳng $x+y=3$ cắt hình chữ nhật tại $(0,3)$ và $(3,0)$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0,3),(0,5),(4,5),(4,0),(3,0)$, tạo thành ngũ giác có 5 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào bất phương trình $x-2y<-8$: Với $B(1;5)$: $1-2\cdot 5=-9<-8$ thỏa mãn. Với $C(4;3)$: $4-6=-2>-8$ không thỏa. Với $A(1;1)$: $1-2=-1>-8$ không thỏa. Với $D(0;4)$: $0-8=-8$ không nhỏ hơn $-8$, không thỏa. Vậy điểm thuộc miền nghiệm là $B(1;5)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+2y-4\ge 0$ có bờ là đường thẳng $x+2y-4=0$ đi qua hai điểm $(4;0)$ và $(0;2)$ (hệ số góc âm, bằng $-\frac{1}{2}$). Vì $x+2y-4\ge 0$ là bất phương trình không nghiêm ngặt nên bờ được vẽ liền, và miền nghiệm gồm các điểm thỏa mãn. Thử gốc tọa độ $O(0;0)$: $0+2\cdot 0-4=-4<0$, nên gốc tọa độ KHÔNG thuộc miền nghiệm, tức miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc tọa độ (phía trên đường thẳng). Theo đề, miền nghiệm là phần không bị tô đậm, nên phần bị tô đậm phải là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng (chứa gốc tọa độ). Trong các hình, chỉ có hình ở phương án B có đường thẳng hệ số âm đi qua $(0;2)$ và $(4;0)$ với phần tô đậm nằm dưới đường thẳng (phần không tô đậm phía trên chính là miền nghiệm $x+2y-4\ge 0$, kể cả bờ). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, trong đó $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng phương án: A có $\frac{1}{x}$ (ẩn ở mẫu) nên không phải; B có $\sqrt{y}$ nên không phải; D có $y^2$ (bậc hai) nên không phải. Phương án C: $2x+y<10$ có dạng bậc nhất hai ẩn, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng cặp số với hệ $\{\begin{array}{l}2x-y\ge 1\\ x+y<3\end{array}$:
- $(1;1)$: $2(1)-1=1\ge 1$ đúng; $1+1=2<3$ đúng → là nghiệm.
- $(1;0)$: $2(1)-0=2\ge 1$ đúng; $1+0=1<3$ đúng → là nghiệm.
- $(3;1)$: $2(3)-1=5\ge 1$ đúng; $3+1=4<3$ sai → không phải nghiệm.
- $(0;-2)$: $2(0)-(-2)=2\ge 1$ đúng; $0+(-2)=-2<3$ đúng → là nghiệm.
Vậy cặp số không phải nghiệm của hệ là $(3;1)$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;a)$ vào bất phương trình $2x+y<5$: $2(-1)+a<5\iff a<7$. Số nguyên dương $a$ thỏa mãn là $a\in \{1,2,3,4,5,6\}$, gồm 6 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x,y$ lần lượt là số xe loại A và loại B được thuê ($0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$, $x,y\in {\mathbb{Z}}_{\ge 0}$).

Ràng buộc:
- Chở người: $20x+10y\ge 140\iff 2x+y\ge 14$.
- Chở hàng: $0,6x+1,5y\ge 9\iff 2x+5y\ge 30$.

Hàm mục tiêu: $f=4x+3y$ (triệu đồng), cần tìm giá trị nhỏ nhất.

Tọa độ đỉnh miền ràng buộc (kết hợp $0\le x\le 10$, $0\le y\le 9$):
- Giao hai đường thẳng $2x+y=14$ và $2x+5y=30$: trừ hai phương trình được $4y=16\Rightarrow y=4$, $x=5$. Điểm $(5;4)$ thỏa mọi ràng buộc, $f=4\cdot 5+3\cdot 4=32$.
- $(2,5;9)$: $f=10+27=37$.
- $(10;2)$: $f=40+6=46$.
- Các đỉnh khác như $(7;0)$, $(10;0)$, $(0;9)$ vi phạm ràng buộc hàng hoặc người.

Vậy giá trị nhỏ nhất là $f=32$ tại $x=5$, $y=4$ (thuê 5 xe loại A và 4 xe loại B, chở được $5\cdot 20+4\cdot 10=140$ người và $5\cdot 0,6+4\cdot 1,5=9$ tấn hàng, vừa đủ).

Số tiền thuê xe thấp nhất là $32$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$ (hoặc $\ge ,<,\le$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và ẩn chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét từng bất phương trình: (I) $2x-y>6$ có $x,y$ bậc nhất, là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. (II) $2^{2}x+3y\le 1$, tức $4x+3y\le 1$, có $x,y$ bậc nhất (chú ý $2^2=4$ là hằng số, không phải $2^{2x}$), là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. (III) $x^2-4y\ge 3$ có ẩn $x$ xuất hiện bậc hai, không phải bậc nhất. Vậy có 2 bất phương trình bậc nhất hai ẩn, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x-2y\ge 3\\ 2x+y<4\end{array}$: A $(0;1)$: $0-2=-2<3$ loại. B $(-1;2)$: $-1-4=-5<3$ loại. C $(3;1)$: $3-2=1<3$ loại. D $(1;-1)$: $1-2(-1)=3\ge 3$ thỏa; $2(1)+(-1)=1<4$ thỏa. Vậy điểm $(1;-1)$ thuộc miền nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ $\{\begin{array}{l}x-y>0\\ 2x-y>1\end{array}$ gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → ý a) đúng. Miền nghiệm là phần giao của hai nửa mặt phẳng mở (phần nằm dưới đường thẳng $y=x$ và dưới đường thẳng $y=2x-1$, không kể bờ), đây là một miền mở vô hạn chứa vô số điểm, ví dụ $(1;0)$, $(2;0)$, $(3;1)$, $\dots$ nên hệ có vô số nghiệm, không thể có nghiệm duy nhất → ý b) sai. Kiểm tra $M(1;0)$: $1-0=1>0$ và $2\cdot 1-0=2>1$, thỏa cả hai bất phương trình. Kiểm tra $N(0;-2)$: $0-(-2)=2>0$ và $2\cdot 0-(-2)=2>1$, cũng thỏa cả hai. Vậy cả $M$ và $N$ đều là nghiệm của hệ → ý c) đúng. Trong hình vẽ, hai đường thẳng $y=x$ và $y=2x-1$ cắt nhau tại $(1;1)$; phần tô đậm (xám) là phần không thuộc miền nghiệm, còn phần không tô đậm (góc mở giữa hai đường, không kể bờ vì các bất phương trình là loại nghiêm ngặt $>$) chính là miền nghiệm của hệ → ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai bất phương trình $x-y>0$ và $2x-y>1$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là miền mở vô hạn (giao của hai nửa mặt phẳng), chứa vô số điểm như $(1;0)$, $(2;0)$, $(3;1)$, $\dots$ nên hệ có vô số nghiệm, không có nghiệm duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(1;0)$: $1-0=1>0$, $2-0=2>1$ thỏa. $N(0;-2)$: $0+2=2>0$, $0+2=2>1$ thỏa. Cả hai điểm đều là nghiệm của hệ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $y=x$ và $y=2x-1$ cắt nhau tại $(1;1)$. Vì các bất phương trình là loại nghiêm ngặt, miền nghiệm là phần không tô đậm trong hình, không kể hai đường bờ.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-1\le 0$ nhân với 6 được $3x+2y\le 6$. Vì $x,y$ nguyên dương nên $x\ge 1,y\ge 1$. Với $x=1$: $2y\le 3\Rightarrow y=1$ (thỏa). Với $x=2$: $2y\le 0$, không có $y$ nguyên dương. Với $x\ge 2$ không có nghiệm. Vậy chỉ có nghiệm $(1;1)$, tức có 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Miền xác định là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các cặp đường thẳng biên:
- $2x+y=2$ và $x-y=2$: cộng hai phương trình được $3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$, đỉnh $A\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$.
- $2x+y=2$ và $5x+y=-4$: trừ hai phương trình được $3x=-6\Rightarrow x=-2,y=6$, đỉnh $B(-2;6)$.
- $x-y=2$ và $5x+y=-4$: trừ hai phương trình được $6x=-2\Rightarrow x=-\frac{1}{3},y=-\frac{7}{3}$, đỉnh $C\left(-\frac{1}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

Vì $F=y-x$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh:
- Tại $A$: $F=-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-2$.
- Tại $B$: $F=6-(-2)=8$.
- Tại $C$: $F=-\frac{7}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=-2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F=y-x$ trên miền đã cho bằng $-2$, đạt tại $\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$ và $\left(-\frac{1}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c\le 0$ (hoặc $<,>,\ge$) với $a,b$ không đồng thời bằng 0, và ẩn $x,y$ chỉ xuất hiện bậc nhất. Xét các phương án: A có $x^2,y^2$ (bậc hai) nên sai; B có $y^2$ nên sai; C có $x^2$ nên sai; D là $5x-y\ge 0$ với $x,y$ bậc nhất, thỏa mãn. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng điểm với hệ $\{\begin{array}{l}x-2y<0\\ x+3y>-2\end{array}$: Điểm $D(0;3)$: $0-2\cdot 3=-6<0$ và $0+3\cdot 3=9>-2$ → thuộc miền nghiệm. Điểm $C(-3;4)$: $-3-8=-11<0$ và $-3+12=9>-2$ → thuộc miền nghiệm. Điểm $A(-1;0)$: $-1-0=-1<0$ và $-1+0=-1>-2$ → thuộc miền nghiệm. Điểm $B(1;0)$: $1-0=1>0$, không thỏa $x-2y<0$ → không thuộc miền nghiệm. Vậy miền nghiệm không chứa điểm $B(1;0)$, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Giá hỗn hợp: (140x+180y)/(x+y) ≤ 170 ⟺ 140x+180y ≤ 170x+170y ⟺ 10y ≤ 30x ⟺ 3x−y ≥ 0 (với x,y ≥ 0).
a) Đúng: bất phương trình là 3x−y ≥ 0.
b) Sai: thay (3;10): 3·3−10 = −1 < 0, không thỏa.
c) Đúng: thay (5;6): 3·5−6 = 9 ≥ 0 và x=5≥0, y=6≥0, nên (5;6) thỏa hệ x≥0, y≥0, 3x−y≥0.
d) Sai: hệ trong đề dùng 3x−y ≤ 0, chiều ngược với bất phương trình đúng 3x−y ≥ 0 (hai bất phương trình x+y≥0 và x≥0,y≥0 chỉ là điều kiện hiển nhiên, không cứu được chiều sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
(140x+180y)/(x+y) ≤ 170 ⟺ 140x+180y ≤ 170x+170y ⟺ 3x−y ≥ 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
3·3−10 = −1 < 0 nên (3;10) không thỏa 3x−y ≥ 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
3·5−6 = 9 ≥ 0 và x=5≥0, y=6≥0 nên (5;6) là nghiệm của hệ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ dùng 3x−y ≤ 0, ngược chiều với bất phương trình đúng 3x−y ≥ 0.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp $(x;y)$ với $x,y\in \{1;2;3\}$ vào bất phương trình $x-2y+4\ge 0$, tức $x+4\ge 2y$.
- Với $x=1$: $5\ge 2y\Rightarrow y\le 2,5\Rightarrow y=1;2$ (2 cặp).
- Với $x=2$: $6\ge 2y\Rightarrow y\le 3\Rightarrow y=1;2;3$ (3 cặp).
- Với $x=3$: $7\ge 2y\Rightarrow y\le 3,5\Rightarrow y=1;2;3$ (3 cặp).
Tổng cộng $2+3+3=8$ cặp số nguyên thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ ràng buộc: $2x+y\le 8$, $x+3y\le 9$, $x\ge 0$, $y\ge 0$. Miền nghiệm là tứ giác với các đỉnh $O(0;0)$, $A(4;0)$, $B(0;3)$ và giao điểm $D$ của $2x+y=8$ và $x+3y=9$: giải hệ được $x=3$, $y=2$, tức $D(3;2)$. Tính $F=2x+3y$ tại các đỉnh: $F(O)=0$, $F(A)=8$, $F(B)=9$, $F(D)=2\cdot 3+3\cdot 2=12$. Vậy giá trị lớn nhất của lợi nhuận là $F_{\max }=12$ triệu đồng, đạt khi sản xuất $x=3$ đơn vị sản phẩm X và $y=2$ đơn vị sản phẩm Y.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng $ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\ge 0$ hoặc $ax+by+c\le 0$ với $a,b$ không đồng thời bằng 0. Xét từng phương án: A có $2x^2+3y>1$ chứa số mũ bậc hai của $x$, không phải bậc nhất. B có $x+3y^2\le 0$ chứa $y^2$, không phải bậc nhất. C có $x+y+xy>2$ chứa hạng tử $xy$ bậc hai, không phải bậc nhất. D có $3x-4y\ge 12$ dạng $ax+by+c\ge 0$ với $a=3,b=-4$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn yêu cầu mỗi bất phương trình đều bậc nhất và chỉ chứa hai ẩn. A có $x^2$ (bậc hai) nên loại. C chứa ba ẩn $x,y,z$ nên loại. D có tích $xy$ (bậc hai) nên loại. B gồm $2x+y\ge 1$ và $x-3y<4$, cả hai đều bậc nhất hai ẩn, nên B là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đề bài: số tiền mua cam là $15000x$ đồng, mua xoài là $30000y$ đồng, với điều kiện $x,y>0$ (số kg mua về sử dụng). Tổng tiền không vượt quá 200000 đồng nên bất phương trình là $15000x+30000y\le 200000$, chia cho 5000 được $3x+6y\le 40$.
a) Đúng: số tiền mua cam là $15000x$, mua xoài là $30000y$ với $x,y>0$.
b) Sai: bất phương trình đúng là $3x+6y\le 40$ (dấu $\le$, không phải $\ge$).
c) Thay $(5;4)$: $3\cdot 5+6\cdot 4=15+24=39\le 40$, nên cặp $(5;4)$ thỏa mãn bất phương trình → Đúng.
d) Với $x=4,y=5$: $3\cdot 4+6\cdot 5=12+30=42>40$, tức tổng tiền $=4\cdot 15000+5\cdot 30000=60000+150000=210000>200000$ đồng, vượt quá số tiền mẹ cho → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền mua cam là $15000x$ đồng, mua xoài là $30000y$ đồng, với $x,y>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện ngân sách: $15000x+30000y\le 200000\iff 3x+6y\le 40$, không phải $3x+6y\ge 40$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(5;4)$: $3\cdot 5+6\cdot 4=39\le 40$, nên $(5;4)$ thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với 4 kg cam và 5 kg xoài: $4\cdot 15000+5\cdot 30000=210000>200000$ đồng, vượt ngân sách nên không thể mua.