Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
f(x)=x/(x²+1), TXĐ là $\mathbb{R}$. f'(x)=(1−x²)/(x²+1)². a) f'=0 tại x=±1, đổi dấu từ + sang − tại x=1 (cực đại) và từ − sang + tại x=−1 (cực tiểu) → hàm có hai điểm cực trị: ĐÚNG. b) Với x∈(5;+∞) thì |x|>1 nên f'(x)<0 → hàm nghịch biến: ĐÚNG. c) Hàm đạt GTLN = 1/2 tại x=1 và GTNN = −1/2 tại x=−1 (vì f(1)=1/2, f(−1)=−1/2 và f(x)→0 khi x→±∞) → khẳng định không có GTLN, GTNN là SAI. d) Không có tiệm cận đứng (TXĐ là $\mathbb{R}$) và $\lim f(x)=0$ khi x→±∞ nên không có tiệm cận ngang (đường y=0 không phải tiệm cận vì f(x) đạt giá trị 0 tại x=0) → đồ thị không có tiệm cận nào: ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
f'(x)=(1−x²)/(x²+1)²=0 tại x=±1 và f' đổi dấu tại cả hai điểm, nên hàm có hai điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên (5;+∞) có x²>1 nên f'(x)<0, hàm nghịch biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đạt GTLN 1/2 tại x=1 và GTNN −1/2 tại x=−1.
d) (AI giải đề cho tôi)
TXĐ là $\mathbb{R}$ nên không có tiệm cận đứng; ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=0$ nhưng f(0)=0 nên y=0 không phải tiệm cận ngang; không có tiệm cận xiên. Vậy đồ thị không có tiệm cận nào.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=(x+2)(x-1{)}^2$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, dấu của $f^{\prime }$ do $(x+2)$ quyết định: $f^{\prime }(x)<0$ khi $x<-2$ và $f^{\prime }(x)>0$ khi $x>-2$ (trừ $x=1$ nơi $f^{\prime }=0$). Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;-2)$ và đồng biến trên $(-2;+\infty )$ (vì $f^{\prime }\ge 0$ trên khoảng này và chỉ bằng 0 tại một điểm). Tại $x=-2$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương nên $x=-2$ là điểm cực tiểu, không phải cực đại (B sai). Tại $x=1$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (dương cả hai bên) nên $x=1$ không phải điểm cực trị (C sai). Trên $(-2;1)$ ta có $f^{\prime }>0$ nên hàm đồng biến, D sai. Vậy khẳng định đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^3-x^2+2$ có đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-2x=x(3x-2)$. Cho $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=\frac{2}{3}$. Xét dấu của $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<0$; $y^{\prime }<0$ khi $0<x<\frac{2}{3}$; $y^{\prime }>0$ khi $x>\frac{2}{3}$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $y(0)=2$, tức điểm cực đại là $(0;2)$. (Hàm đạt cực tiểu tại $x=\frac{2}{3}$, $y=\frac{8}{27}-\frac{4}{9}+2=\frac{50}{27}$, tương ứng điểm cực tiểu $\left(\frac{2}{3};\frac{50}{27}\right)$.) Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=2x^3-9x^2+12x+5$ có $y^{\prime }=6x^2-18x+12=6(x-1)(x-2)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=1$ hoặc $x=2$ (hai nghiệm phân biệt). Vì $y^{\prime }$ đổi dấu qua mỗi nghiệm: $y^{\prime }>0$ ngoài khoảng $(1;2)$ và $y^{\prime }<0$ trong khoảng $(1;2)$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=2$. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, tương ứng đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-\frac{1}{3}{x}^3-x+7$ có đạo hàm $y^{\prime }=-x^2-1<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ và không có điểm cực trị. Vậy số điểm cực trị là $0$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=3x^2+6x+m$. Phương trình $y^{\prime }=0$ có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\Delta >0$: $\Delta =6^2-4\cdot 3\cdot m=36-12m>0\iff m<3$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) là k = y'(x₀) = -3x₀² + 6x₀ + 9. Đây là hàm bậc hai với a = -3 < 0, đạt giá trị lớn nhất tại x₀ = -b/(2a) = 6/6 = 1. Khi đó k_max = -3(1)² + 6(1) + 9 = 12. Vậy hệ số góc lớn nhất của tiếp tuyến là 12, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x₀, y₀) trên đồ thị (C) là k = y'(x₀) = 3x₀² − 6x₀ + 4 = 3(x₀ − 1)² + 1 ≥ 1. Giá trị nhỏ nhất đạt được khi x₀ = 1, khi đó k_min = 1. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, nhánh bên trái đi xuống, nhánh bên phải có điểm thấp nhất tại $x=2$ với $f(2)=6$, sau đó tăng dần. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ (đáp án B). Tại $x=0$ và $x=6$ không phải điểm cực trị; tại $x=2$ không phải cực đại. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2x+3}{x+1}$ có tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{2(x+1)-(2x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-1}{(x+1{)}^2}<0$ với mọi $x\ne -1$. Vì đạo hàm không bao giờ bằng 0 và hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định, hàm số không có điểm cực trị. Vậy hàm số có 0 điểm cực trị, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=f(x)=-x^3+3x^2+2$, có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. a) Trên đoạn $[-2;1]$: $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; trên $[-2;0]$ hàm nghịch biến, trên $[0;1]$ đồng biến nên GTNN bằng $f(0)=2$ → đúng. b) $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<2$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$ → đúng. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu → đúng. d) Điểm cực trị: cực tiểu $(0;2)$, cực đại $(2;6)$ (vì $f(2)=6$). Khoảng cách $=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-2;1]$, so sánh $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; hàm nghịch biến trên $[-2;0]$ và đồng biến trên $[0;1]$ nên GTNN $=f(0)=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ khi $x\in (0;2)$ nên hàm đồng biến trên $(0;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$, nên $x=0$ là điểm cực tiểu ($f(0)=2$).
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, khoảng cách $=\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$. a) $f^{\prime }(x)>0$ khi $0<x<2$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$ → đúng. b) Trên đoạn $[-2;1]$: $f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$; so sánh với giá trị tại hai đầu và điểm tới hạn, GTNN bằng $2$ → đúng. c) $f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu → đúng. d) Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, khoảng cách $=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ trên $(0;2)$ nên hàm số đồng biến trên khoảng này.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-2)=22$, $f(0)=2$, $f(1)=4$ nên GTNN trên $[-2;1]$ bằng $2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=0$ nên $x=0$ là điểm cực tiểu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị $(0;2)$ và $(2;6)$ có khoảng cách $\sqrt{4+16}=2\sqrt{5}\ne 5\sqrt{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-6x=3x(x-2)$, $y^{\prime }=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Dấu $y^{\prime }$: âm trên $(-\infty ;0)$, dương trên $(0;2)$, âm trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=0$ (cực tiểu tại $x=2$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại $y=2$, và đạt cực tiểu tại $x=2$ với giá trị cực tiểu $y=-2$. Xét các mệnh đề: A sai vì giá trị cực tiểu bằng $-2$ chứ không phải $2$; B sai vì hàm số chỉ có hai điểm cực trị ($x=0$ và $x=2$); C sai vì giá trị cực đại bằng $2$ chứ không phải $0$; D đúng vì hàm số đạt cực đại tại $x=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x+1}$ xác định trên $\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có $y^{\prime }=\frac{(2x+1)(x+1)-(x^2+x+4)}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x-3}{(x+1{)}^2}=\frac{(x-1)(x+3)}{(x+1{)}^2}$. $y^{\prime }=0$ khi $x=1$ hoặc $x=-3$. Xét dấu: trên $(-\infty ;-3)$, $y^{\prime }>0$; trên $(-3;-1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(-1;1)$, $y^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $y^{\prime }>0$. Vậy $x=-3$ là điểm cực đại với $y_{CĐ}=\frac{9-3+4}{-2}=-5$, còn $x=1$ là điểm cực tiểu với $y_{CT}=\frac{1+1+4}{2}=3$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x-1)(x+4)$ với các nghiệm $x=-4,x=0,x=1$. Xét dấu $f^{\prime }$: trên $(-\infty ;-4)$, $f^{\prime }<0$; trên $(-4;0)$, $f^{\prime }>0$; trên $(0;1)$, $f^{\prime }<0$; trên $(1;+\infty )$, $f^{\prime }>0$. Do đó $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=-4$ (cực đại) và từ $-$ sang $+$ tại $x=0$ và $x=1$ (cực tiểu). Vậy hàm số có $2$ điểm cực tiểu, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định trên $(0;+\infty )$. Ta có $y^{\prime }=2x\ln x+x=x(2\ln x+1)$. Với $x>0$, $y^{\prime }=0\iff \ln x=-\frac{1}{2}\iff x=e^{-1/2}$. Trên $(0;e^{-1/2})$ thì $2\ln x+1<0$ nên $y^{\prime }<0$; trên $(e^{-1/2};+\infty )$ thì $y^{\prime }>0$. Vậy hàm số đạt cực tiểu tại $x=e^{-1/2}$, giá trị cực tiểu là $y=e^{-1}\cdot \ln e^{-1/2}=\frac{1}{e}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2e}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f^{\prime }(x)=x(x-2{)}^3$. Dấu của $f^{\prime }$: với $x<0$: $x<0$ và $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$; với $0<x<2$: $x>0$ và $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$; với $x>2$: $f^{\prime }(x)>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$. a) Hàm có 2 điểm cực trị: $x=0$ (cực đại) và $x=2$ (cực tiểu) → Đúng. b) Sai vì có 2 điểm cực trị. c) Trên $(-\infty ;1)$, hàm đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và nghịch biến trên $(0;1)$, nên không nghịch biến trên toàn khoảng → Sai. d) Trên $(2;+\infty )$ hàm đồng biến nên $f(2025)>f(2024)$, tức $f(2024)<f(2025)$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
f' đổi dấu từ + sang − tại x=0 và từ − sang + tại x=2, nên hàm có 2 điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm có 2 điểm cực trị (x=0 và x=2), không phải 1.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên (-∞;0) hàm đồng biến (f'>0), nên không nghịch biến trên toàn khoảng (-∞;1).
d) (AI giải đề cho tôi)
Trên (2;+∞) hàm đồng biến nên f(2025)>f(2024).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ tại $x=-1$ và $x=1$ nên hàm số có hai điểm cực tiểu tại $x=\pm 1$ với giá trị cực tiểu bằng $0$; $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ tại $x=0$ nên có một điểm cực đại tại $x=0$ với giá trị cực đại bằng $3$. Vậy hàm số có ba điểm cực trị (A, C, D đúng). Mệnh đề B 'Hàm số có giá trị cực đại bằng 0' sai vì giá trị cực đại là $3$ (giá trị $0$ là giá trị cực tiểu).

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x+1$, có $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$. a) Đúng: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x=1$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. b) Sai: trên $(-1;1)$ có $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến. c) Đúng: hai điểm cực trị $x_1=-1$, $x_2=1$ nên $x_1{x}_2=-1$ (cũng là $-b/a$ của $3x^2-3=0$). d) Sai: $A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(-1;2)$. Diện tích $=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\frac{1}{2}|2\cdot (-1)-(-4)\cdot 0|=1\ne 12$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3x^2-3$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(-1;1)$, $y^{\prime }=3x^2-3<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai điểm cực trị là nghiệm của $3x^2-3=0$, tức $x_1=-1$, $x_2=1$, nên $x_1{x}_2=-1$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A(-1;3)$, $B(1;-1)$, $C(-1;2)$. Diện tích tam giác $ABC=\frac{1}{2}|\det (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|=\frac{1}{2}|2\cdot (-1)-(-4)\cdot 0|=1\ne 12$.